選修45不等式選講知識點詳解例題習題

1、最新考綱：1.理解絕對值的幾何意義，并認識以下不等式建立的幾何意義及取等號的條件：(1)|ab|aba，bab|accba，|(R)(2)|(bR).2.會利用絕對值的幾何意義求解以下種類的不等式：|axbc，ax|b|c，|xc|xb|.認識柯西不等式的幾種不一樣形式，理解它們的幾何意義，并會證明.4.經(jīng)過一些簡單問題認識證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、剖析法、反證法、放縮法、數(shù)學概括法1含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|aaf(x)a或f(x)0)?(2)|f(x)|0)?af(x)0(2)對|ab|ab|當且僅當ab0時等號建立()|(3)|axb|c(c0)的解等價于ca

2、xbc.()(4)不等式|x1|x2|1，xy2，則x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)不等式|2x1|x1的解集是()2x|0 x2x|1x2ABCx|0 x1Dx|1x3分析解法一：x1時，知足不等關(guān)系，清除、，應選A.CDB1x1，x2，解法二：令f(x)則f(x)1的解集為x|0 x2113x，x2，答案A3設(shè)|a|1，|b|2B|ab|ab|2C|abab2不可以比較大小|D分析|ab|ab|2a|2.答案B若a，b，c(0，且abc，則abc的最大值為()4)1A1B2D2分析(abc)2(1abc)2(1222a1111)(bc)3.1當且僅當abc3時，等號建立(

3、abc)23.故abc的最大值為3.故應選C.答案C5若存在實數(shù)x使xa|x1|3建立，則實數(shù)a的取值范圍是|_分析利用數(shù)軸及不等式的幾何意義可得x到a與到1的距離和小于，3所以a的取值范圍為2a4.答案2a4考點一含絕對值的不等式的解法解|xa|xb|c(或c)型不等式，其一般步驟是：令每個絕對值符號里的代數(shù)式為零，并求出相應的根把這些根由小到大排序，它們把定義域分為若干個區(qū)間在所分區(qū)間上，去掉絕對值符號構(gòu)成若干個不等式，解這些不等式，求出它們的解集這些不等式解集的并集就是原不等式的解集解絕對值不等式的重點是適合的去掉絕對值符號(1)(2015山東卷)不等式|x1|x5|2的解集是()A(，

4、4)B(，1)C(1,4)D(1,5)(2)(2014湖南卷)若對于x的不等式|ax2|3的解集為x5x1，33則a_.解題指導切入點：“脫掉”絕對值符號；重點點：利用絕對值的性質(zhì)進行分類議論分析(1)當x1時，不等式可化為(x1)(x5)2，即42，明顯建立，所以此時不等式的解集為(，1)；當1x5時，不等式可化為x1(x5)2，即2x62，解得x5時，不等式可化為(x1)(x5)2，即42，明顯不建立，所以此時不等式無解綜上，不等式的解集為(，4)應選A.(2)|ax2|3，1ax0時，axa，與已知條件不符；當a0時，xR，與已知條件不符；當a時，51，又不等式的解集為x51，故axx3

5、.0aa33答案(1)A(2)3用零點分段法解絕對值不等式的步驟：(1)求零點；(2)劃區(qū)間、去絕對值號；分別解去掉絕對值的不等式；(4)取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值對點訓練已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.當a3時，求不等式f(x)3的解集；若f(x)|x4|的解集包括1,2，求a的取值范圍2x5，x2，解(1)當a3時，f(x)x，1，232x，x3.5當x2時，由f(x)3得2x53，解得x1；當2xc或|xa|xb|k的解集為，則實數(shù)k的取值范圍是|R_解題指導切入點：絕對值的幾何意義；重點點：把恒建立問題轉(zhuǎn)變?yōu)樽钪祮栴}分析(1)|x1|x2|(x1)(x2)|，|

6、321117117aa，解得a.22344即實數(shù)a的取值范圍是1117.17，44解法一：依據(jù)絕對值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，1,2在數(shù)軸上對應的點分別為P，A，B，則原不等式等價于PAPBk恒建立AB3，即|x1|x2|3.故當k3時，原不等式恒建立解法二：令y|x1|x2|，3，x1，則y2x1，1xk恒建立，從圖象中能夠看出，只需k3即可故|k3知足題意答案(1)117，117(2)(，3)44解含參數(shù)的不等式存在性問題，只需求出存在知足條件的x即可；不等式的恒建立問題，可轉(zhuǎn)變?yōu)樽钪祮栴}，即f(x)a恒建立?()(acd，則abcd；(2)abcd是abcd的充要條件|cd得(ab)2(cd)

7、2.所以abcd.(2)若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得abcd.若abcd，則(22ab)(cd)，即ab2abcd2cd.因為abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.所以|ab|cd是|ab|cd|的充要條件剖析法是證明不等式的重要方法，當所證不等式不可以使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用剖析法來找尋證明門路，使用剖析法證明的重點是推理的每一步一定可逆對點訓練(2014新課標全國卷)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1.證明：1abbcac3；a2b2c2b

8、ca1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.1所以3(abbcca)1，即abbcca3.a2b2c2因為bb2a，cc2b，aa2c，a2b2c2故bca(abc)2(abc)，a2b2c2即bcaabc.222abc方法例律總結(jié)方法技巧1絕對值不等式求解的根本方向是去除絕對值符號2絕對值不等式在求與絕對值運算相關(guān)的最值問題時需靈巧運用，同時還要注意等號建立的條件3在證明不等式時，應依據(jù)命題供給的信息選擇適合的方法與技巧如在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)易錯點睛1對含有參數(shù)的不等

9、式求解時，分類要完好2應用基本不等式和柯西不等式證明時要注意等號建立的條件課時追蹤訓練(七十)一、填空題1不等式|2x1|3的解集為_分析|2x1|3?x13?x3212.答案(1,2)2若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實數(shù)k_.分析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集為x|1x3，k2.答案2不等式|2x1|x1|2的解集為_3|1分析當x2時，原不等式等價為(2x1)(x1)2，即3x332.21(21)(1)21即x0，此時2x0.當x1時，原不等式等價為(2x1)(x1)2，即3x2，22x3，此時不等式無解，綜上，原不等式的解為3x0，即原不等式的解集為2.，0

10、32答案3，04已知對于x的不等式|x1|x|k無解，則實數(shù)k的取值范圍是_分析|x1|x|xx，當k1時，不等式|x1|1|1|x|k無解，故k1.答案(，1)5(2015西安統(tǒng)考)若對于實數(shù)x的不等式|x5|x3|a無解，則實數(shù)a的取值范圍是_分析|x5|x3|(x5)(x3)|8，故a8.答案(，8重慶卷若函數(shù)fxx1|2|xa的最小值為，則實數(shù)a6(2015)()|5_.分析當a1時，f(x)3|x1|0，不知足題意；當a13xa，x，121a時，fxx2a，xa，fxminfaaa當)1()xa，xa，()123125，解得a4.答案6或4若對于x的不等式|a|x1|x2|存在實數(shù)解

11、，則實數(shù)a的取值范7|圍是_分析f(x)|x1|x2|2x1x1，31x0的解集為，則實數(shù)a的取值范圍8|1R是_分析若x1(x1)2對隨意的x1，)恒建立，即(a1)(a1)2x0對隨意的x1，)恒建立，a10，(舍去)或a1212得a1.綜上，a05a540解；當a時，將不等式42a，則有a或a5a整理，得a40a54010.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(，41,0)答案(，41,0)二、解答題13已知不等式2|x3|x4|2a.(1)若a1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范圍解(1)當a1時，不等式即為2|x3|x4|2，若x4，則3x102，x4，舍去；若

12、3x4，則x22，3x4；8若x3，則103x2，3x3.8綜上，不等式的解集為x3x4.(2)設(shè)f(x)2|x3|x4|，則3x10，x4，f(x)x2，3x1，a2，即a的取值范圍為2，.14(2015新課標全國卷)已知函數(shù)fxx1|2|xa，a()|0.當a1時，求不等式f(x)1的解集；若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)1化為|x1|2|x1|10.當x1時，不等式化為x，無解；40 x時，不等式化為x，解得2x；當1031當x1時，不等式化為x，解得x012所以f(x)1的解集為x3x2.xa，x，12a.象與x軸圍成的三角形的三個

13、極點分別為A2a1，0，Ba1,0)，Ca，a3(2(221)，ABC的面積為3(a1).22由題設(shè)得3(a1)6，故a2.所以a的取值范圍為(2，)15設(shè)函數(shù)f(x)|x1|xa|.若a1，解不等式f(x)3；假如?xR，f(x)2，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)|x1|x1|，2x，x1.作出函數(shù)f(x)|x1|x1|的圖象由圖象可知，不等式f(x)3的解集為3x2或x2.若a1，f(x)2|x1|，不知足題設(shè)條件；2xa1，xa，若a1，f(x)1a，ax1，f(x)a1，1x0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.求abc的值；1a21b2c2的最小值(2)求49解(1)因為