2021課標(biāo)版理數(shù)高考總復(fù)習(xí)專題專題十五坐標(biāo)系與參數(shù)方程（講解練）理科數(shù)學(xué)教學(xué)講練

1、專題十五坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考理數(shù)考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.極坐標(biāo)系在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O,由O點(diǎn)出發(fā)的一條射線Ox,一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?,合稱為一個(gè)極坐標(biāo)系.O點(diǎn)稱為極點(diǎn),Ox稱為極軸.平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長(zhǎng)度和從Ox到OM的角度來(lái)刻畫(如圖所示).這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(,)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo).稱為極徑,稱為極角.2.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M為平面上的一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)為(x,y),極坐標(biāo)為(,).由圖可知下面的關(guān)系式成立:或順便指出,上式對(duì)0也成立.這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式.3.簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程曲

2、線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn),半徑為r的圓=r(02)圓心為(r,0),半徑為r的圓=2rcos 圓心為,半徑為r的圓=2rsin (0)過(guò)極點(diǎn),傾斜角為的直線(1)=(R)(2)=+(R)過(guò)點(diǎn)(a,0),與極軸垂直的直線cos =a過(guò)點(diǎn),與極軸平行的直線sin =a(0b0)(為參數(shù))中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+=1(ab0)(為參數(shù))中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線-=1(a0,b0)(為參數(shù))2.常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程與普通方程頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線y2=2px(p0)(t為參數(shù))考向突破考向參數(shù)方程例(2019甘肅酒泉中學(xué)模擬,21)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的傾斜

3、角為(00)在曲線C:=4sin 上,直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直,垂足為P.(1)當(dāng)0=時(shí),求0及l(fā)的極坐標(biāo)方程;(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí),求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.解析本題主要考查了極坐標(biāo)的概念和求極坐標(biāo)方程的基本方法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法,體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)因?yàn)镸(0,0)在C上,當(dāng)0=時(shí),0=4sin=2.由已知得|OP|=|OA|cos=2.設(shè)Q(,)為l上除P的任意一點(diǎn).在RtOPQ中,cos=|OP|=2.經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)P在曲線cos=2上.所以,l的極坐標(biāo)方程為cos=2.(2)設(shè)P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA

4、|cos =4cos ,即=4cos .因?yàn)镻在線段OM上,且APOM,故的取值范圍是.所以,P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為=4cos ,.方法2參數(shù)方程與普通方程的互化方法1.將參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?常見(jiàn)的消參方法有:代入消參法、加減消參法、平方消參法等,對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程,常利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式消參,如sin2+cos2=1.2.將參數(shù)方程化為普通方程時(shí),要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)普通方程中點(diǎn)的坐標(biāo)的影響,注意兩種方程的等價(jià)性,避免產(chǎn)生增解的情況.3.將普通方程化為參數(shù)方程時(shí),應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)膮?shù),把點(diǎn)(x,y)的橫、縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示,同時(shí)注意參數(shù)的意義和取值范圍.例2(2018課標(biāo),22,10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O的參數(shù)方程為(為參數(shù)),過(guò)點(diǎn)(0,-)且傾斜角為的直線l與O交于A,B兩點(diǎn).(1)求的取值范圍;(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.解析本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系.(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1.當(dāng)=時(shí),l與O交于兩點(diǎn).當(dāng)時(shí),記tan =k,則l的方程為y=kx-.l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)1,解得k1,即或.綜上,的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為.設(shè)A,B,P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=,且tA,tB滿足t2-2t