浙江版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題10.1橢圓及其性質(zhì)（講解練）教學(xué)講練

1、專題十圓錐曲線與方程10.1橢圓及其性質(zhì)高考數(shù)學(xué) 浙江專用考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距,符號(hào)表示:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|).注意:(1)當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),軌跡是線段F1F2;(2)當(dāng)2ab0),焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(ab0).給定橢圓+=1,m0,n0(mn),要根據(jù)m、n的大小來判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上,焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)坐標(biāo)軸上.(2)若焦點(diǎn)位置不定,則可設(shè)橢圓方程為Ax2+By2=

2、1(A0,B0,且AB).考向突破考向一橢圓定義的應(yīng)用例1已知F1,F2是橢圓C:+=1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上的一點(diǎn),且.若PF1F2的面積為9,則b=.解析設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,則所以2r1r2=(r1+r2)2-(+)=4a2-4c2=4b2,又因?yàn)?r1r2=b2=9,所以b=3.答案3考向二橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法例2一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,P(2,)是橢圓上一點(diǎn),且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(ab0).由點(diǎn)P(2,)在橢圓上知+=

3、1.因?yàn)閨PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=22c,則=,又c2=a2-b2,所以聯(lián)立得得a2=8,b2=6,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.答案A考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)考向基礎(chǔ)1.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2.點(diǎn)P(x0,y0)和橢圓+=1(ab0)的關(guān)系(1)P(x0,y0)在橢圓內(nèi)+1.【知識(shí)拓展】1.焦點(diǎn)三角形:橢圓上的點(diǎn)P(x0,y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的PF1F2稱作焦點(diǎn)三角形.如圖,|PF1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=.(1)cos =-1.(2)=r1r2sin =b2=b2tan=c|y0|.當(dāng)|y0|=b,即P為短軸端點(diǎn)

4、時(shí),最大,且最大值為bc.(3)其中r1=a+ex0,r2=a-ex0(e為橢圓的離心率)稱為焦半徑,簡(jiǎn)記為“左加右減”,且r1a-c,a+c,r2a-c,a+c.2.AB為橢圓+=1(ab0)的弦.設(shè)直線AB的斜率存在且為k(k0),且A(x1,y1),B(x2,y2),弦中點(diǎn)M(x0,y0).則(1)弦長(zhǎng)l=|x1-x2|=|y1-y2|.(2)k=-.(3)直線AB的方程:y-y0=-(x-x0).(4)線段AB的垂直平分線方程:y-y0=(x-x0).(5)如果AB過焦點(diǎn)(焦點(diǎn)弦),則弦長(zhǎng)l=2ae(x1+x2)=2a2ex0(過左焦點(diǎn)取“+”,過右焦點(diǎn)取“-”,簡(jiǎn)記為“左加右減”),

5、進(jìn)一步有l(wèi)min=.(此時(shí)AB垂直x軸,線段AB稱為通徑)3.橢圓+=1與+=k(其中ab0,k0)有相同的離心率.4.設(shè)P,A,B是橢圓上不同的三點(diǎn),其中A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則直線PA與PB的斜率之積為定值-.考向突破考向一求離心率的值(范圍)例1(2018浙江嘉興4月教學(xué)測(cè)試,17)已知橢圓+=1(ab0),直線l1:y=-x,直線l2:y=x,P為橢圓上任意一點(diǎn),過P作PMl1且與直線l2交于點(diǎn)M,作PNl2與直線l1交于點(diǎn)N,若|PM|2+|PN|2為定值,則橢圓的離心率為.解析設(shè)M,N,由題意知四邊形OMPN為平行四邊形,所以Px1+x2,(x1-x2),所以+=1.又|PM|2+|

6、PN|2=(|MN|2+|OP|2)=(x1+x2)2+(x1-x2)2=為定值,所以1-=0,即a=2b,從而c=b,故離心率e=.答案 考向二求解焦點(diǎn)三角形問題例2(2018浙江教育綠色評(píng)價(jià)聯(lián)盟適應(yīng)性試卷,21)已知橢圓C:+y2=1的左,右焦點(diǎn)分別是F1,F2,點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接PF1,PF2,設(shè)F1PF2的內(nèi)角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0).(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求|PF1|PM|的最大值. 解析(1)設(shè)P(x0,y0)(y00),則+=1.又F1(-,0),F2(,0),所以直線PF1,PF2的方程分別為:y0 x-(x0+)y+y0=0,:y0 x-(x0-)y-y0=0.(4分)因?yàn)?,所以=.因?yàn)?m,-2x02,所以=,所以m=x0,因此-m.(8分)(2)|PF1|=x0+2.(9分)|PM|=.(11分)所以|PF1|PM|=.設(shè) f(x)=(-2x0,則-2x.令f (x)0,則xb0) 的右焦點(diǎn)為F,橢圓C上的兩點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且滿足=0,|FB|FA|2|FB|,則橢圓C的離心率的取值范圍是()A.B.C.D.-1,1)解析作出橢圓的左焦點(diǎn)F,由橢圓的對(duì)稱性可知,四邊形AFBF為平行四邊形,又=0,所以FAFB,故平行四邊形AFBF為矩形,所以|AB|=|