高考數(shù)學(xué)專題2 第6講 圓錐曲線中的定點、定值問題

1、第6講圓錐曲線中的定點、定值問題例7已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為eq r(2)1，離心率為eeq f(r(2),2).(1)求橢圓E的方程；(2)過點(1,0)作直線l交E于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使eq o(MP,sup6()eq o(MQ,sup6()為定值？若存在，求出這個定點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由審題破題(1)利用待定系數(shù)法求E的方程；(2)探求定點可以先根據(jù)特殊情況找出點，再對一般情況進(jìn)行證明解(1)設(shè)橢圓E的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，由已知得eq blcrc (avs4al

2、co1(acr(2)1，,f(c,a)f(r(2),2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(ar(2)，,c1.)所以b2a2c21.所以橢圓E的方程為eq f(x2,2)y21.(2)假設(shè)存在符合條件的點M(m,0)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則eq o(MP,sup6()(x1m，y1)，eq o(MQ,sup6()(x2m，y2)，eq o(MP,sup6()eq o(MQ,sup6()(x1m)(x2m)y1y2x1x2m(x1x2)m2y1y2.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，由eq blcrc (avs4alco1(f(x2,2)y21，

3、,ykx1，)得x22k2(x1)220，即(2k21)x24k2x2k220，則x1x2eq f(4k2,2k21)，x1x2eq f(2k22,2k21)，y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1eq f(k2,2k21)，所以eq o(MP,sup6()eq o(MQ,sup6()eq f(2k22,2k21)meq f(4k2,2k21)m2eq f(k2,2k21)eq f(2m24m1k2m22,2k21).因為對于任意的k值，eq o(MP,sup6()eq o(MQ,sup6()為定值，所以2m24m12(m22)，得meq f(5,4).所以Meq blc(

4、rc)(avs4alco1(f(5,4)，0)，此時，eq o(MP,sup6()eq o(MQ,sup6()eq f(7,16).當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x1，則x1x22，x1x21，y1y2eq f(1,2)，由meq f(5,4)，得eq o(MP,sup6()eq o(MQ,sup6()eq f(7,16).綜上，符合條件的點M存在，且坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)，0).構(gòu)建答題模板第一步：引進(jìn)參數(shù).從目標(biāo)對應(yīng)的關(guān)系式出發(fā)，引進(jìn)相關(guān)參數(shù).一般地，引進(jìn)的參數(shù)是直線的夾角、直線的斜率或直線的截距等；第二步：列出關(guān)系式.根據(jù)題設(shè)條件，表達(dá)出對應(yīng)

5、的動態(tài)直線或曲線方程；第三步：探求直線過定點.若是動態(tài)的直線方程，將動態(tài)的直線方程轉(zhuǎn)化成yy0kxx0的形式，則kR時直線恒過定點x0，y0；若是動態(tài)的曲線方程，將動態(tài)的曲線方程轉(zhuǎn)化成fx，ygx，y0的形式，則R時曲線恒過的定點即是fx，y0與gx，y0的交點；,第四步：下結(jié)論；第五步：回顧反思.在解決圓錐曲線問題中的定點、定值問題時，引進(jìn)參數(shù)的目的是以這個參數(shù)為中介，通過證明目標(biāo)關(guān)系式與參數(shù)無關(guān)，達(dá)到解決問題的目的.跟蹤訓(xùn)練7已知拋物線y24x的焦點為F，直線l過點M(4,0)(1)若點F到直線l的距離為eq r(3)，求直線l的斜率；(2)設(shè)A，B為拋物線上的兩點，且直線AB不與x軸垂直

6、，若線段AB的垂直平分線恰過點M，求證：線段AB中點的橫坐標(biāo)為定值(1)解由已知得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x4)，由題意知拋物線的焦點坐標(biāo)為(1,0)，因為點F到直線l的距離為eq r(3)，所以eq f(|3k|,r(1k2)eq r(3)，解得keq f(r(2),2)，所以直線l的斜率為eq f(r(2),2).(2)證明設(shè)線段AB中點的坐標(biāo)為N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為直線AB不與x軸垂直，所以AB斜率存在，所以直線MN的斜率為eq f(y0,x04)，直線AB的斜率為eq f(4x0,y0)，直線AB的方程為yy0eq f(4x0,y0)(xx0)，聯(lián)立方程得eq blcrc (avs4alco1(yy0f(4x0,y0)xx0，,y24x，)消去x，得eq blc(rc)(avs4alco1(1f(x0,4)y2y0yyeq oal(2