【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形成性考核冊(cè)答案(附題目)1

1、 PAGE PAGE 13【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè) 1 答案：第 1 章 函數(shù)第 2 章 極限與連續(xù)（一）單項(xiàng)選擇題下列各函數(shù)對(duì)中）中的兩個(gè)函數(shù)相等x 2A.f (x) (x)2，g(x) xB.f (x) ， g(x) xx 2x 2 1C.f (x) lnx3 ，g(x) 3lnxD.f (x) x1，g(x) x 1分析：判斷函數(shù)相等的兩個(gè)條件（1）對(duì)應(yīng)法則相同（2）定義域相同A 、f (x) (x)2 x，定義域|xg(x) x，定義域?yàn)镽定義域不同，所以函數(shù)不相等；B、 f (x) x g(x) x 對(duì)應(yīng)法則不同，所以函數(shù)不相等；x2Cf (x) ln x3 3ln x ，定義域?yàn)閨

2、 x g(x) 3ln x ，定義域?yàn)閨 x 所以兩個(gè)函數(shù)相等x2Df (x) x 1，定義域?yàn)镽g(x) x2 1 x 1，定義域?yàn)閨 x Rx x 1定義域不同，所以兩函數(shù)不等。故選Cf (x的定義域?yàn)?,f (x f (x的圖形關(guān)于對(duì)稱A. 坐標(biāo)原點(diǎn)B.x 軸C.y 軸D.y x分析f (x) f (x，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f (x) f (x，關(guān)于y 軸對(duì)稱y f xy f 1 xy x 對(duì)稱，奇函數(shù)與偶函數(shù)的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱g x f x f xg x f x f x g xg x f x f x為偶函數(shù)，即圖形關(guān)于y 軸對(duì)稱故選C下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B）A.y x2 )B.y x

3、 cosxa x a xC.y D.y x)2、yxln(x2)1 x2 y x，為偶函數(shù)By x xcosx xcos x y x，為奇函數(shù)或者x 為奇函數(shù)，cosx 為偶函數(shù)，奇偶函數(shù)乘積仍為奇函數(shù)C、 y x a x ax2 y x ，所以為偶函數(shù)Dy x x故選B下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C）A.y x 1B.y x1,x 02y x2y ,x 0分析：六種基本初等函數(shù)y c（常值）常值函數(shù)y x, 為常數(shù)冪函數(shù)（3） y ax 0,a 1指數(shù)函數(shù)y logax 0,a 1對(duì)數(shù)函數(shù)y sinxy cosxy tanxy cotx三角函數(shù)y arc sin x,1,1,y arccos

4、反三角函數(shù)y arc tan x, y arc cot x分段函數(shù)不是基本初等函數(shù)，故D 選項(xiàng)不對(duì)對(duì)照比較選C下列極限存計(jì)算不正確的是（D）A.limx2x x 2 21B.limln(1 x) 0 x0C.lim sinx0D.lim x sin 1 0 xx、已知lim 1x xn 0n 0 x2xxlimx2limx2lim111x x2 x x2 2x2x2x1 210 x2B、limln(1 x) ln(1 0) 0 x0初等函數(shù)在期定義域內(nèi)是連續(xù)的C、lim sin x 1 sin x 0 xxx x x1 是無(wú)窮小量， sin x 是有界函數(shù)，x無(wú)窮小量有界函數(shù)仍是無(wú)窮小量sin

5、 111D、limxsin1 limx ，令t 0,x ，則原式limsint 111x故選Dxxxxt0t當(dāng) x 0 時(shí)，變量（C）是無(wú)窮小量sinx1B.xx1C.xsinxD.ln(x 2)xaf x 0 f xx a 時(shí)的無(wú)窮小量A、lim sin xx0 x 1，重要極限B、lim1x0 x ，無(wú)窮大量C、lim x sin 1 0 ，無(wú)窮小量 x 有界函數(shù)sin 1 仍為無(wú)窮小量x0 xxD、limln(x 2)=ln0+2 ln 2x0故選C若函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0滿足（A），則 f (x) 在點(diǎn) x0連續(xù)。A.limxx0f (x) f (x0)B.f (xx0的某個(gè)鄰域

6、內(nèi)有定義C.limxx0f (x) f (x0)D.limxx0f (x) limxx0f (x)0 0分析：連續(xù)的定義：極限存在且等于此點(diǎn)的函數(shù)值，則在此點(diǎn)連續(xù)即lim fx fx0 xx 0連續(xù)的充分必要條件lim xxx fx lim fx lim fx fx0 xx xx 0000故選A（二）填空題x 2 9函數(shù) f (x) x 3 x)的定義域是 |x 分析：求定義域一般遵循的原則偶次根號(hào)下的量00對(duì)數(shù)符號(hào)下量（真值）為正反三角中反正弦、反余弦符號(hào)內(nèi)的量，絕對(duì)值小于等于1正切符號(hào)內(nèi)的量不能取 2 0,1,2然后求滿足上述條件的集合的交集，即為定義域x 2 9f (x) x x要求x2

7、90 x 或x 3x3 0 得x 3求交集31 x 0 x 定義域?yàn)?x | x 3已知函數(shù)f (x x2 x ，則f (x) x2-x分析：法一，令t x1得x t1則f t)t 2tt2t則f x x2xf (x 1) x(x 1) x 11x 1f (t 1x)x 2xlim1 1x elim1x1 ex分析：重要極限xxxx0推廣limf x 則lim(1) f x exaxaf xlim f x 0 則lim(1 1 ) x ) xaxa112x11lim(1)xx2x lim(1x)2 e22x xx 若函數(shù)f (x) )x ,，在x 0處連續(xù)，則k e xk ,x 0分析：分段函

8、數(shù)在分段點(diǎn) x0處連續(xù)lim f x limxx xx f x f x 000lim f x lim x k 0 k kx0 x0所以k exlim f x lim1x1 exx0 x0 x 1,x 0函數(shù) y x ,x 的間斷點(diǎn)是x 0分析：間斷點(diǎn)即定義域不存在的點(diǎn)或不連續(xù)的點(diǎn)初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的分段函數(shù)主要考慮分段點(diǎn)的連續(xù)性（利用連續(xù)的充分必要條件）lim f x lim x 1 0 1 1x0lim x0 xx0 lim sin x x0不等，所以 x 0 為其間斷點(diǎn)lim f (x) Ax xxx0f (x A 稱為 x x0時(shí)的無(wú)窮小量分析： lim( f (x) A)

9、 lim f (x) lim A A A 0 xx0 xx0 xx0所以 f (x) A 為 x x0（三）計(jì)算題設(shè)函數(shù)求： f (2) , f (0) , f (1) 時(shí)的無(wú)窮小量x ,x 0f (x) x ,x 0f 2 2 f 0 0f e2x 1求函數(shù) y lgx2x 1的定義域2x11解：y lg有意義，要求解得x 或x 0 xx 022則定義域?yàn)閤| x 或x 12x 0在半徑為 R 積表示成其高的函數(shù)解：DAROhEBC設(shè)梯形ABCD 即為題中要求的梯形，設(shè)高為h，即OE=h，下底直角三角形AOE 中，利用勾股定理得OE2ROE2R2 h2R2 h2h則上底2AE 2R2 h R

10、2 h2hS 22R2R2 h2 h R 求lim sin 3x x0 sin 2xlim sin3 xsin3xlim3xsin3 xx0lim3x0 3 1 3 3x0 sin2xsin 2xx0 x02xsin2x22x122求limx 2 1x1sin(x解：limx2 1 lim (x 1)(x 1) limx1 11 2x1sin(x1)求lim tan 3x x0 xx1sin(x 1)sin(x1)1x1x 1x1lim tan3 x limsin3x1limsin3x13 113 3x0 x求limx0sin limx0 xcos3x1 1 x 2 11 x21 x21 x2

11、1 x2( 1 x2 1)sin xx03x1 1 x2cos3x1x2( 1 x2( 1 x2 1)sin x解：x0sin xx01 x21 x2sin 11 1 0 x0求lim(x ) x x0 (1) xx x 31 11)x1 ) x 1x1xxxe1解： lim(x x 3)x lim(x 13)xxx3)xxxx)3 3x3e4e3求lim x 2 6x 8 x4 x 2 5x 4x2 6x8x4x2x 2422lim lim limx4 x2 5x4設(shè)函數(shù)x x 1x4 x 1413(x 2),x 1討論 f (x) 的連續(xù)性，并寫(xiě)出其連續(xù)區(qū)間f (x) x , 1 x 1x

12、 1,x 1x 1,x 1處討論連續(xù)性（1）lim f x lim x 1x1limf xx1limx 1 11 0 x1limx （2）所以x1x lim x1xx x 處不連續(xù)limf x limx2122 1limf xx1 lim x 1 x f1 所以limx1f xf x f f xx 1 處連續(xù)x1由（1）（2）得fx1在除點(diǎn) x 1 外均連續(xù)f x的連續(xù)區(qū)間為 （一）單項(xiàng)選擇題電大天堂【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè) 2 答案：第 3 章 導(dǎo)數(shù)與微分設(shè) f (0) 0 且極限limf (x)存在，則limf (x)（C）x0 xx0 xA.f (0)B.f (0)C.f (x)D.0

13、cvxf (x) x 可導(dǎo)，則f (x0 2h) f (x 0（D）A. 2 f(x00h02h)B.f (x )0C.2 f (x0)D. f (x )0f (1 x) f (1)f (x) ex limx0 x（A）A.eB.2eC.1eD.1e24設(shè)f (x) x(x1)(x2)(x99)，則f (0) （D）A.99B. 99C.99!D. 99!下列結(jié)論中正確的是（ C ）f (xx0有極限，則在點(diǎn) x0可導(dǎo)f (x) x0f (xx0 x0 x0可 導(dǎo) 有極限f (xx0有極限，則在點(diǎn) x0連續(xù)（二）填空題x2sin1 ,x 0設(shè)函數(shù)f (x) x，則f (0) 00,x 0d f

14、 (lnx)2 lnx5設(shè)f (ex ) e2x 5ex ，則dxxxx1x曲線 f (x) 1在2處的切線斜率是k 22222f (x) sin x 在(4y x 224y x 2 x y 2x2 x ln x)y x ln x y 1x（三）計(jì)算題求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y ：x331x y (x3)exy (x 2 3)ex x2ex y cot x x 2lnxy csc2 x x 2xlnx y x 2ln xy 2x ln x xln 2 xcos x 2xyx3y x(sin x 2 x ln 2) 3(cos x 2 x )x 41ln x x2ysin xsin x(yx2x)(l

15、nxx2)cosxsin 2 xsin xy x 4 sin x lnxy 4x3 cosxlnxx ysin x x23xy 3x (cos x 2x) (sin x x 2 )3x ln3 32 x y ex tan x lnxy ex tan x求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y ：ex cos2 x y e x2y ln cos x 32x sinx3y e 1 x1 x2y cos x33x 2 3x 2 tanx3y xxx y 3xx7y x8y 717x 8y 721(x x 2 ) 3 1(11x 2 )832y cos 2 e xy ex sin(2ex )y cosex2y2xex2

16、sinex2y sin n x cos nxy n sin n1 x cos x cos nx n sin n x sin(nx) y 5sin x2y 2xln5cosx2 5sin x2y esin2 xy sin2xesin2 xy xx2ex2y xx2 (x2xlnx)2xex2y x e x e exe xy x e x ( e xln x ) e e x e x在下列方程中， y y( x) 是由方程確定的函數(shù)，求 y ：y cos x e2 yycos x y sin x 2e 2 y yyy sinxcos x 2e2 yy cos y ln xy sin y.yln x c

17、os y. 1xycosyx(1 sin y ln x)2x sin y x 2y2xcosy.y2sin y 2yxx2 yy 2y(2x cos y x 2 )y 22 yx 2 sinyy 2 sinyy2xy 2ysin y2xy 2 cos y x 2 y x ln yy y 1yyyy 11ln x e y y 21 ey y2yyxy1x(2y e y)y 2 1 e x sin y2 yy e x cos y.y sin xyex siny2 y ex cosye y e x y 3e y y e x 3y 2 ye xy e y 3y2y 5 x 2 yy 5x ln 5 y

18、2 y ln 2y5 x ln 5 12y ln求下列函數(shù)的微分d y ：y cot x csc xdy y1cos2 xln x sin xcos x sin 2 x)dxdy 1 sin x ln x cos xxdxsin 2 x1 x1 x21x1 x21xx)21 x11(1x)x)21 x21 x)dx dx1 1 x y 31 xln y 1 x x)y 1 ( 1 1y3 1 x1 x3)y 11 x(113 3 1 x 1 x1 x)y sin 2 e xdy 2sinexex3 exdx sinex )exdxy tane x3dy sec2 ex3 3x2dx 3x2ex

19、3 sec2 xdx求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： y x lnxy 1 ln xy 1x y x sinxy x cos x sin xy x sin x 2 cos x y arctanx1y 1 x2y 2x x2 )2y 3x2y23x2 ln3（四）證明題y4x23xln232ln33x2設(shè) f (x) 是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證 f (x) 是偶函數(shù) 證：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù) 所以 f (x) f (x)f (x)(1) f (x f (x) f (x)所以 f (x) 是偶函數(shù)。電大天堂【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè) 3 答案：第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）單項(xiàng)選擇題f (x) 滿足條件則存在 a bf )

20、 A. 在(a,b)內(nèi)連續(xù)B. 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)f (b) f (a) b aC. 在(a,b)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D. 在a,b內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù) f (x) x 24x 1的單調(diào)增加區(qū)間是）A.(, 2)B.(1,C.(2, )D.(2, )函數(shù)y x2 4x 5在區(qū)間(6, 6)內(nèi)滿足）A. 先單調(diào)下降再單調(diào)上升B. 單調(diào)下降C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降D. 單調(diào)上升函數(shù)f (x)滿足f (x) 0的點(diǎn)，一定是f (x)的（C）A. 間斷點(diǎn)B. 極值C. 駐點(diǎn)D. 拐點(diǎn)設(shè) f (x) 在(a , b) 內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)， x0 (a , b) ，若 f (x) 滿足（ C ），則

21、f (x) 在 x0取到極小值A(chǔ).f (x0C.f (x) 0 , f (x0) 0 , f (x) 0B.f (x0) 0D.f (x) 0 , f (x0) 0 , f (x) 0) 00000f (x在(a bf (x) 0 , f (x) 0 f (x在此區(qū)間內(nèi)是（ A ）A. 單調(diào)減少且是凸的B. 單調(diào)減少且是凹的C. 單調(diào)增加且是凸的D. 單調(diào)增加且是凹的（二）填空題設(shè)f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，x(a,b)，且當(dāng)x x 時(shí)f (x) 0，當(dāng)x x時(shí)f (x) 0，則x 是f (x)的 極0000小值點(diǎn)若函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0可導(dǎo)，且 x0是 f (x) 的極值點(diǎn)，則 f

22、(x0) 0y x 2 的單調(diào)減少區(qū)間是(,0f (x) e的單調(diào)增加區(qū)間是(0,)若函數(shù) f (x) 在a , b 內(nèi)恒有 f (x) 0 ，則 f (x) 在a , b 上的最大值是 f (a) 函數(shù)f (x) 25x 3x3 的拐點(diǎn)是x=0（三）計(jì)算題求函數(shù) y (x 1) (x 5)2 的單調(diào)區(qū)間和極值y (x 1)2(x 5 駐點(diǎn)x 2, x 5列表： 2(x 5)(x 2)Xyy(Xyy(,2)+上升2極大27(2,5)-下降5極小0(5,)+上升極小值： f (5) 0求函數(shù)y x2 2x 3在區(qū)間0, 內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值 令：y 2x2 0 x 駐點(diǎn)）f (0) 3

23、最大值最小值f 6f 2f (3) 6f (1) 2y ax x 1是拐點(diǎn)bx cx d 中的a , b , c , d ，使函數(shù)圖形過(guò)點(diǎn)(2 , 44) 和點(diǎn)(1, 10) ，且 x 2 是駐點(diǎn)，44 2xda 110 abc d解： b 30 12a c c 160 6a bd 24(x 2)2 2x(x 2)2 2x求曲線y2 2x 上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A(2, 0)的距離最短 解：設(shè)p(x, y)是y2 2x上的點(diǎn)，d 為p 到A 點(diǎn)的距離，則： (x 2)2 2x(x 2)2 2x2(x 2)2 2x令d2(x 2)2 2xx 10 x 1 y 2 2x上點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)A(2,0)的距

24、離最短。圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L(zhǎng) 設(shè)園柱體半徑為R，高為h，則體積V R 2 h (L2 h 2 )h3令： V h(2h) h2 L2 3h2 0 L 3hh L332R L當(dāng)h 233 , R32L時(shí)其體積最大。3一體積為 V 的圓柱體，問(wèn)底半徑與高各為多少時(shí)表面積最小？ 設(shè)園柱體半徑為R，高為h，則體積V 2h表面積 2 2 VRV 2V令： S 2 04V R R 3 h 3V答：當(dāng) R 32h 3時(shí)表面積最大。欲做一個(gè)底為正方形，容積為 62.5 立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最省？ 解：設(shè)底連長(zhǎng)為x，高為h。則：62.562.5 x2h h x 2側(cè)面積為： S

25、 x 2 4xh x 2 250250 x令 S 2x x 20 x3 125 x 5答：當(dāng)?shù)走B長(zhǎng)為 5 米，高為 2.5 米時(shí)用料最省。（四）證明題當(dāng) x 0時(shí)，證明不等式 x ln(1 x)ln(1 x)證：由中值定理得： x) ln1 1( 0) x) xx x)11 x x)當(dāng)x時(shí)）當(dāng) x 0時(shí)，證明不等式e x設(shè)f (x) e x (x 1)x 1f (x) e x 1 0當(dāng)x 時(shí)）當(dāng)x 時(shí)f (x)單調(diào)上升且f (0) 0 f (x) 0,即ex (x 證畢（一）單項(xiàng)選擇題456若f (x)的一個(gè)原函數(shù)是1 ，則f (x) （D）dxdxd f (x)dx f (x)A.lnxB.

26、 1x 212C.D.xx3下列等式成立的是）A f (x)dx f (x) B.df (x) f(x)C.d f (x)dx f (x)D.若f (x) cosx，則f (x)dx （B）A. sin xcB.cos xcC. sin xcD.cosxc d x 2 f (x3 )dx （ B）dx11A.f (x3)B.x2 f (x3)若 f (x)dx F (x) c ，則f (x)D.f (x3331f (x )dx（B）1x1F(x )cB.2F(x )cC.F(2x )cF(x)cx由區(qū)間ab上的兩條光滑曲線 y f (xy g(x) x a x b 所圍成的平面區(qū)域的面積是（C） f (x)g(x)dxB. bg(x) f(x)dxaC. aaf (x) g(x)dxD. f (x) g(x)dx a（二）填空題函數(shù) f (x) 的不定積分是 f (x)dx F