6.1-能帶理論-布洛赫定律

1、經典自由電子論量子自由電子論能帶理論第三章 金屬電子論12能帶理論 對能帶的初步認識 根據原子結構理論，每個電子都占有一個分立的能級。泡利(Pauli)不相容原理指出，每個能級只能容納2個電子。 當N個原子相互靠近形成一個固體時，泡利不相容原理仍然成立，即在整個固體中，也只能有2個電子占據相同的能級。 當這兩個原子的距離足夠近時，它們的同能級(例如2s)軌道的電子就會相互作用，以致不能再維持在相同的能級。 當固體中有N個原子，這N個原子的2s軌道的電子都會相互影響。這時就必須出現N個不同的分立能級來安排所有這些(例如2s)軌道的電子，而這些電子共有2N個。 2s軌道的N個分立的能級組合在一起，

2、成為2s的能帶。 固體：每立方1029數量級的原子核和電子的多粒子系統(tǒng)3電子數量增加時能級擴展成能帶 4 例如Na，核外電子結構為：1s22s22p63s1。 當N個Na原子相互靠近形成一個固體時，形成能帶，為1s帶，2s帶，2p帶，3s帶，3p帶。 內層電子受到外來影響小，3s帶受到外來影響最大。 Na的3s電子是價電子，所以3s帶也叫價帶。由于鈉原子只有1個3s電子，所以在Na固體的3s價帶上，只有一半的能級被電子所占據。 自然，這些3s帶里被電子占據的能級應該是能量較低的能級，而能量較高的能級很少有電子占據。 Na的3p帶也叫導帶，由于Na的3p能級沒有電子，所以Na固體的3p帶也沒有電

3、子，是空帶。 如果受到外來能量的激發(fā)，3s帶的電子可能躍遷到3p帶上去。 在3s帶和3p帶之間有一段能量區(qū)域是永遠不可能有電子的，這個能量區(qū)域叫禁帶，也稱帶隙。5 在Na的3s價帶上，當溫度為絕對零度時，只有一半的低能級被電子占據，另一半的(高)能級沒有電子占據。 能帶中有一半的能級被電子占據，最高的占據能級稱為費密能級。 而當溫度大于絕對零度時，有一些電子獲得了能量，跳到價帶里的較高能級，而在相對應的較低的能級上失去了電子，產生了相同數量的空穴。能帶中電子隨溫度升高而進行能級躍遷絕對零度時，所有外層電子占據低的能級；溫度升高，部分電子被激發(fā)到原未被填充的能級 6能帶理論 研究固體中電子分布、

4、運動的主要理論基礎能帶理論 定性地闡明了晶體中電子運動的普遍性的特點 晶體中電子的平均自由程為什么遠大于原子的間距 能帶論提供了分析半導體理論問題的基礎，推動了半導體技術的發(fā)展 隨著計算機技術的發(fā)展，能帶理論的研究從定性的普遍性規(guī)律發(fā)展到對具體材料復雜能帶結構的計算 說明了導體、非導體的區(qū)別能帶理論的建立71. 單電子近似 將價電子看成獨立地在一個等效勢場中運動, 它包括離子實的勢場, 其它價電子的平均勢場以及考慮電子波函數反對稱性而帶來的交換作用。采用哈特里?？?Hartree-Fock) 自洽場方法處理等效勢場2. 絕熱近似 討論共有化電子的運動狀態(tài)時假定原子實處在其平衡位置, 而把原子實

5、偏離平衡位置的影響看成微擾3. 周期場近似 對于理想晶體, 原子規(guī)則排列成晶格, 晶格具有周期性, 因而等效勢場 V(r) 也應具有周期性能帶理論是一個近似的理論9這樣，晶體中的電子就是在晶格周期性的等效勢場中運動，滿足薛定諤方程為：晶格周期性勢場任意晶格矢量。周期勢場示意圖+布洛赫定理在這樣一個具有晶格周期性的等效勢中, 薛定諤方程的解有什么特點？晶格周期性勢場晶體中的電子就是在晶格周期性的等效勢場中運動，滿足薛定諤方程在量子力學建立以后，布洛赫（F.Bloch）和布里淵（Brillouin）等人就致力于研究周期場中電子的運動問題。他們的工作為晶體中電子的能帶理論奠定了基礎。12布洛赫 19

6、05年10月23日出生于瑞士的蘇黎世，上完中學后，他本來想當一名工程師，于是就直接進入蘇黎世的聯邦工業(yè)大學。一年后，決定轉學物理，通過薛定諤、德拜等教授的課程，他逐漸熟悉了量子力學。后來他到德國萊比錫大學跟海森堡繼續(xù)研究。1928年獲得博士學位。以晶體中電子的量子力學和金屬導電理論方面的內容做論文。1933年到美國。1934年起在斯坦福大學任教。1939年加入了美國國籍。1952年獲得諾貝爾獎。1954年曾擔任過歐洲核子研究中心的第一任主任，回到斯坦福大學后，曾經研究過超導電性和低溫下的其它現象。1983年9月10日逝世于慕尼黑，享年78歲。 布洛赫是一位在近代物理理論和實驗都作出過巨大貢獻的

7、物理學家。他早年的博士論文“金屬的傳導理論”就是一項很有價值的科學文獻，提供了金屬和絕緣體結構的近代圖像，是半導體研究的理論基礎。他的名字在固體物理學中多次提到，例如：所謂的布洛赫方程、布洛赫波函數、布洛赫自旋波、布洛赫壁，以及鐵磁物質磁化時的布洛赫效應、自發(fā)磁化的布洛赫 T3/2 定律等等都是出自他的創(chuàng)建。 13一維晶體中單個電子在周期性勢場中的運動問題處理 第一步簡化 絕熱近似：離子實質量比電子大，離子運動速度慢，討論電子問題，認為離子是固定在瞬時位置上 第二步簡化 利用哈特里一?？俗灾螆龇椒ǎ嚯娮訂栴}簡化為單電子問題，每個電子是在固定的離子勢場以及其它電子的平均場中運動 第三步簡化 所

8、有離子勢場和其它電子的平均場是周期性勢場 14三維晶體中單個電子在周期性勢場中的運動問題處理 能量本征值的計算 選取某個具有布洛赫函數形式的完全集合，晶體電子態(tài)的波函數按此函數集合展開 電子波函數的計算 根據每個本征值確定電子波函數展開式中的系數，得到具體的波函數 將電子的波函數代入薛定諤方程，確定展開式的系數所滿足的久期方程，求解久期方程得到能量本征值153.3 布洛赫定理布洛赫證明：對于在晶格周期勢中運動的電子，其波函數具有以下性質 布洛赫定理為一矢量勢場 具有晶格周期性時，電子的波函數滿足薛定諤方程 布洛赫函數晶格周期性函數1.定理表述表述一：對于周期性勢場其中，Rn為布拉維格子的所有格

9、矢，單電子薛定諤方程 的本征波函數是按布拉維格子周期性調幅的平面波，即且表述二：對于上述薛定諤方程的每一本征解，存在一波矢k，使得對于屬于布拉維格子的所有格矢Rn都有：3.3 布洛赫定理17布洛赫定理電子的波函數 布洛赫函數晶格周期性函數 布洛赫函數是平面波與周期函數的乘積。 當平移晶格矢量 ，波函數只增加了位相因子18 利用周期性邊界條件確定平移算符的本征值，最后 給出電子波函數的形式 引入平移算符，證明平移算符與哈密頓算符對易，兩者 具有相同的本征函數2 布洛赫定理的證明19勢場的周期性反映了晶格的平移對稱性：晶格平移任意矢量 勢場不變 在晶體中引入描述這些平移對稱操作的算符平移任意晶格矢

10、量對應的平移算符20作用于任意函數 平移算符作用于周期性勢場平移算符 的性質 21 各平移算符之間對易對于任意函數22平移算符和哈密頓量對易對于任意函數和 微分結果一樣23平移算符的本征值三個方向 上的原胞數目引入周期性邊界條件T 和 H 存在對易關系，具有共同的本征函數總的原胞數24對于對于對于 整數25引入矢量 倒格子基矢滿足平移算符的本征值26平移算符的本征值將 作用于電子波函數 布洛赫定理表述二如果將波函數寫成則所以根據Bloch定理（表述二），有Bloch定理表述一 布洛赫函數 晶格周期性函數Bloch波是調幅的平面波eik.r，調幅函數un(k,r)具有與晶體相同的周期性。 遵從周

11、期勢電子薛定諤方程的電子，或用Bloch波函數描述的電子稱為Bloch電子。Bloch波是周期性調幅的平面波！周期性結構中的波，都具有Bloch波的形式。3. 說明波矢k的取值由周期性邊界條件決定波矢k的取值和物理意義其中，bi (i=1, 2, 3)是倒格子基矢 許可的k可看成是，在倒格子空間中以bi/Ni為基矢的布拉維格子的格矢。許可的k值由上述布拉維格子的格點表示是一些分立的矢量！30平移算符本征值的物理意義 1) 原胞之間電子波 函數位相的變化2) 平移算符本征值量子數簡約波矢，不同的簡約波矢，原胞之間的位相差不同它的物理意義是表示原胞之間電子波函數位相的變化。不同 k 值表示原胞間的

12、位相差是不同的。稱為簡約波矢, 是對應于平移操作本征值的量子數313) 簡約波矢改變一個倒格子矢量 平移算符的本征值不變必須把 k 限制在一定范圍內, 使它既能概括所有不同的 1,2, 3 取值, 同時又沒有兩個 k 相差一個倒格子矢量 Gn與晶格振動時相類似, 最明顯的辦法是把 k 限制在 k 空間 b1、b2、b3 形成的倒格子原胞之中, 但實際上這往往不是最方便的通常是選由原點出發(fā)的各倒格子矢量的垂直平分面, 所圍成的第一布里淵區(qū), 它具有環(huán)繞原點更為對稱的優(yōu)點。33簡約波矢 改變一個倒格子矢量，平移算符的本征值不變?yōu)榱耸购喖s波矢 的取值和平移算符的本征值一一對應，將簡約波矢的取值限制在第一布里淵區(qū)簡約波矢簡約波矢的取值第一布里淵區(qū)體積34簡約波矢 在 空間中，可取的 為第一布里淵區(qū)均勻分布的點每個代表點的體積狀態(tài)密度簡約布里淵區(qū)的波矢數目一維周期場中電子的波函數 滿足 Bloch 定理,若晶格常數為 a 的電子波函數為 試求電子在該態(tài)的波矢。 解: 根據 Bloch 定理,而練習所以布洛赫定理小結1.布洛赫定理的內容：當勢場具有晶格周期性時，電子波函數滿足2. 證明過程平移算符 對易關系H 與 T 的共同本征態(tài) 周期性邊界條件簡約波矢3.波矢k的取值和物理意義簡約波矢 第一布里淵區(qū)37能帶理論是單電子近似的理論 把每個電子的運動看成是獨立的、在一個