二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)分析

1、邢臺(tái)學(xué)院物理系自動(dòng)控制理論課程設(shè)計(jì)報(bào)告書設(shè)計(jì)題目:專 業(yè):班 級(jí):學(xué)生姓名:學(xué) 號(hào):指導(dǎo)教師:二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)分析自動(dòng)化年 3 月 日專業(yè)： 自動(dòng)化班級(jí)： 2周3月至3月3月至3月3月至3月3 黃忠霖. 自動(dòng)控制原理的 MATLAB 實(shí)現(xiàn). 國防工業(yè)出版社，,20074自動(dòng)控制原理及其應(yīng)用（黃堅(jiān)第二版）高等教育出版社年 3 月 日摘 要RLC電路等都是二階系統(tǒng)的實(shí)例。二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)分析在自動(dòng)控制原理中具有普遍的意義。分為隨動(dòng)性能指標(biāo)和抗擾性能指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)過程性能穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)穩(wěn)定后實(shí)際輸出與期望輸出之間的差值本次課程設(shè)計(jì)以二階系統(tǒng)為例，研究控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)。關(guān)鍵詞：二階系統(tǒng) 性能指標(biāo) 穩(wěn)

2、態(tài)性能指標(biāo) 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)誤差 調(diào)節(jié)時(shí)間1.二階系統(tǒng)性能指標(biāo)概述. 12. 應(yīng)用模擬電路來模擬典型二階系統(tǒng)。. 13.二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能. 43.3.1 二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式及分類 .43.3.2 過阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算 .53.3.3 欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算 .73.3.4 改善二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的措施 .144. 二階系統(tǒng)性能的MATLAB 仿真 . 185 總結(jié)及體會(huì). 19參 考 文 獻(xiàn). 19二階系統(tǒng)性能指標(biāo)概述RLC電路等都是二階系統(tǒng)的實(shí)例。二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)分析在自動(dòng)控制原理中具有普遍的意義。分為隨動(dòng)性能指標(biāo)和抗擾性能指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)過程性能穩(wěn)態(tài)誤差是系

3、統(tǒng)穩(wěn)定后實(shí)際輸出與期望輸出之間的差值2. 應(yīng)用模擬電路來模擬典型二階系統(tǒng)。12l 是典型二階系統(tǒng)原理方塊圖，其中 T01 秒；T10.1 秒；K1分別為 10；5；2.5；1。圖 21 二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：K1K1G(S) （21）T ST S ST S 011K其中，K 開環(huán)增益。10閉環(huán)傳遞函數(shù)：2K1W(S) （22）（23）（24）nT S S K T S22 2 1T SS2 212n1其中， K T1K1TTnT1 0102K T1 11（1）當(dāng)0 1。即欠阻尼情況時(shí)，二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減振蕩，如圖 22中曲線所示。tet 0)（25）Ct) 1 t 0)d12式中： 12

4、dn121峰值時(shí)間可由式（25）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，并令它等于零得到：（26）t pd 12n超調(diào)量 Mp：由求得M C(t)1p2M e（27）p4調(diào)節(jié)時(shí)間 ，采用 2允許誤差范圍時(shí)，近似的等于系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)t的四sn倍，即4（28）t sn（2）當(dāng) ，即臨界阻尼情況時(shí)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為單調(diào)的指數(shù)曲線，1如圖 22中曲線所示。輸出響應(yīng) C(t)為 t(t0)（29）Ct)1e t)nn調(diào)節(jié)時(shí)間 可由下式求得tsCt)1e t tn s（210）)n s（3）當(dāng) ，即過阻尼情況時(shí)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為單調(diào)的指數(shù)曲線：1S tS tn12e（t0）（211）Ct)1(e)21S22 1式中S 2 ；S 2

5、n；1)1n22當(dāng) 遠(yuǎn)大于 1 時(shí)，可忽略-S 的影響，則12( nt（t0）（212）（213）Ct)1e這時(shí)調(diào)節(jié)時(shí)間 近似為：ts4t s2 n0123456tpts圖 22 二階系統(tǒng)階躍輸入下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)+5VH1H21u1u510Kr(t)510KU1U2200K10K-C(t)510K圖 23 二階系統(tǒng)模擬電路圖1G(S)0.2S S 1 S(S 10) ；24其中2 500n3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能3.3.1 二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式及分類常見二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 3-所示其中K，T 為環(huán)節(jié)參數(shù)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為K(s)Ts sK21化成標(biāo)準(zhǔn)形式2(s) （首 1 型）ns22

6、 s2nn（3-5）(s) 1（尾 1 型）T2s2Ts1（3-6）式中，T1K1 1T， 。1 2 KTKTT1n1 、 分別稱為系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率，是二階系統(tǒng)重要的特征n參數(shù)。二階系統(tǒng)的首 1 1 標(biāo)準(zhǔn)型。二階系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D(s) s2 s 02nn其特征特征根為1,2 1 2nn若系統(tǒng)阻尼比取值范圍不同，則特征根形式不同，響應(yīng)特性也不同，由此可將4二階系統(tǒng)分類，見表 3-3。表 3-3 二階系統(tǒng)（按阻尼比 ）分類表et1,2 1 2nnetnntne sin 12 ttnn2cos 1 e 2 tnnntnsin t 01,2jncos tn零阻尼n ,，12n,e且無重

7、根，則把函數(shù)e ，e ， 稱為該微分方程所描述運(yùn)動(dòng)的模態(tài)，也nttt12叫振型。如果特征根中有多重根 ，則模態(tài)是具有 ，,形式的函數(shù)。tt e2t j e如果特征根中有共軛復(fù)根與e(j)t可寫(j)t t e t 。成實(shí)函數(shù)模態(tài)e 與 tt響應(yīng)則是其相應(yīng)模態(tài)的線性組合。3.3.2 過阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算設(shè)過阻尼二階系統(tǒng)的極點(diǎn)為 11 21 21 1Tn2Tn12T T )12系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換12C(s) (s)R(s) n(s1T )(s1T ) s125進(jìn)行拉氏反變換，得出系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)tteeT1T2ht) 10tT2TT111T12（3-7）過阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

8、是無振蕩的單調(diào)上升曲線。根據(jù)式（3-7令T T 12無量綱調(diào)節(jié)時(shí)間t T ，如圖 3-7 所示。s1圖中為參變量，由s2 s 2 (s1 T )(s1T )nn121T T )圖 3-7 過阻尼二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間特性可解出122 T T12當(dāng)T T （或 1T 比 1T et 2122211很快衰減為零，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間主要由 1T 對(duì)應(yīng)的模態(tài)e 決定。此時(shí)可將t T111過阻尼二階系統(tǒng)近似看作由 確定的一階系統(tǒng)，估算其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。圖 3-71曲線體現(xiàn)了這一規(guī)律性。圖3-8 給出系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線。例3-46角速度隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 3-9 K 為開環(huán)增益， 0.1s 為伺服電Tt 1s，問K

9、 應(yīng)s取多大？解 根據(jù)題意，考慮使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間盡量短，應(yīng)取阻尼比 1。由圖 3-9，令閉環(huán)特征方程1K121s2 s (s )2 s2 s0TTT1T1T21T T 20.1 0.2比較系數(shù)得1K T T 0.1 0.2 2.5221查圖 3-7，可得系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間t T 0.95s，滿足系統(tǒng)要求。s13.3.3 欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算1欠阻尼二階系統(tǒng)極點(diǎn)的兩種表示方法欠阻尼二階系統(tǒng)的極點(diǎn)可以用如圖 3-10 所示的兩種形式表示。（1）直角坐標(biāo)表示 1 j j （3-8）22（2dnn cos （3-9）n sin 1 2由式（3-51s12C(s) (s)R(s) nn (s ) s

10、22 s2s s222nnnns1 12 nn(s ) (s ) s12222222nnnn系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為 ht) 1e cos 1 t e t sin 1 2t2tnn1nn2 etn t sin 1 11 cos 1t 2221nn2721etnsin 1 t arctan12 1n2（3-10）系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為1 2kt)t)L( ) sL11nn(s ) 1 2222 nnesin 1 t t2nn1n2（3-11）典型欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖 3-11 所示。響應(yīng)曲線位于兩條包絡(luò)線1e1 之間，如圖3-12 所示。包絡(luò)線收斂速率取決于2（特征n tn 1 2n始值h(0

11、) 0，初始斜率h(0) 0，終值h() 1。83（1）峰值時(shí)間t ：令ht) kt) 0，利用式（3-11）可得psin 1 t 02n即有1 t , , ,2n由圖 3-1，并根據(jù)峰值時(shí)間定義，可得t p1 2n（3-12）（2）超調(diào)量 ：將式（3-12）代入式（3-10）整理后可得00ht )1e 2pht )h()e 2100100（3-13）ph()可見，典型欠阻尼二階系統(tǒng)的超調(diào)量 只與阻尼比 有關(guān)，兩者的關(guān)系如圖003-13 所示。9圖 3-13 欠阻尼二階系統(tǒng) %與的關(guān)系曲線（3）調(diào)節(jié)時(shí)間t ：用定義求解系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間比較麻煩，為簡便計(jì)，通常按階s躍響應(yīng)的包絡(luò)線進(jìn)入 5誤差帶的時(shí)

12、間計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí)間。令ee tn t11 0.05n1122可解得1ln0.05 )23.52t nsn（ ）（3-14）式（3-12（3-14）給出典型欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算公式。可見，典型欠阻尼二階系統(tǒng)超調(diào)量 只取決于阻尼比 ，而調(diào)節(jié)時(shí)間t 則與阻尼比00s和自然頻率 均有關(guān)。按式（3-14）計(jì)算得出的調(diào)節(jié)時(shí)間t 偏于保守。一定nsnt 實(shí)際上隨阻尼比 3-14 給出當(dāng)T 1snt T時(shí)間t 與阻尼比 0.707（ ，ss 實(shí)際調(diào)節(jié)時(shí)間最短，5 0.707為000010根據(jù)式（3-133-14）及式（3-83-9動(dòng)態(tài)性能、系統(tǒng)參數(shù)及閉環(huán)極點(diǎn)分布間的規(guī)律性。當(dāng) 固定， 平sn面按圖 3

13、-15 中圓弧軌跡（I）移動(dòng)，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)超調(diào)量減??；同時(shí)由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，增加，調(diào)節(jié)n時(shí)間t 減小。圖 3-16(a)給出 =1， 改變時(shí)的系統(tǒng)s單位階躍響應(yīng)過程。n當(dāng)固定， 平面按圖 3-15sn中的射線軌跡（II）移動(dòng)，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)超調(diào)量 不變；由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸， 增加，調(diào)節(jié)時(shí)間 t 減小。圖 3-16(b)給出了ns=0.5( )， 變化時(shí)的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)過程。n11一般實(shí)際系統(tǒng)中，T是系統(tǒng)的固定參數(shù)，不能隨意改變，而開環(huán)增益K是各環(huán)節(jié)總的傳遞系數(shù)，可以調(diào)節(jié)。K增大時(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)在 平面按圖 3-15 中的垂sIII 3-16(c)給出T 1，K變化時(shí)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的過程。12=1, 改變時(shí)

14、的階躍響應(yīng)；(b)=0.5改變時(shí)的階躍響應(yīng)；(c)T=1,K 改變時(shí)的階躍響應(yīng)n圖 綜合上述討論：要獲得滿意的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能，應(yīng)該適當(dāng)選擇參數(shù)，使二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于 線附近，使系統(tǒng)具有合適的超調(diào)量，并根據(jù)情況盡量使其遠(yuǎn)離虛軸，以提高系統(tǒng)的快速性。分重要的。133.3.4 改善二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的措施采用測(cè)速反饋和比例加微分控制方式，可以有效改善二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。例 3-8 在如圖 3-22(a)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖分別如圖 3-22(b)和(c)K 0.216t開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)，計(jì)算出動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)（ ，t ）并進(jìn)行對(duì)比分s析。解 圖 3-22（ab ，%t 3-133-14）計(jì)算。而圖3-2

15、2(c)表示的系統(tǒng)有一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)，s不符合上述公式應(yīng)用的條件。將各系統(tǒng)的性能指標(biāo)的計(jì)算及比較列于表 3-6 中。圖 3-22 所示的系統(tǒng)可以用表 3-7 中相應(yīng)的公式（或用MATLAB）計(jì)算其動(dòng)態(tài)性能改善。表 3-6 原系統(tǒng)、測(cè)速反饋和比例加微分控制方式下系統(tǒng)性能的計(jì)算及比較tGG(b)sts(s(a)s10 (s) (s) t(110K )s10(1 ) ss(a)222tt系0.53.16n開 零點(diǎn)-4.63-4.63141.15t動(dòng)態(tài)性能p0072.22.1ts 3-22(b)使系統(tǒng)的振蕩性得到抑制，超調(diào)量減??；圖3-22(c)所示系統(tǒng)采用了比例加微分控制，微分信號(hào)有超前性，相當(dāng)于系統(tǒng)的

16、調(diào)節(jié)作用提前，阻止了系統(tǒng)的過調(diào)。相反饋則是從大功率的輸出端反饋到前端信號(hào)較弱的地方，一般不需要信號(hào)放大。作；而測(cè)速反饋不會(huì)有這樣的問題。從經(jīng)濟(jì)角度考慮，比例加微分實(shí)現(xiàn)簡單，費(fèi)用低；測(cè)速反饋裝置價(jià)格高。實(shí)際采用哪一種方法，應(yīng)根據(jù)具體情況適當(dāng)選擇。1加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響比較圖 3-22(a)和(b)所示兩系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以看出，后者比前者多圖 3-23 3-22(b)所示系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)較圖 3-22(a)所示系統(tǒng)閉環(huán)極(b)點(diǎn)t 小 (a) 3-22(a)所示系統(tǒng)。s附加開環(huán)零點(diǎn)是通過改變閉環(huán)極點(diǎn)（改變模態(tài)）來影響閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的。2附加閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響圖 3-22(b)，(c)兩系統(tǒng)有相同的開環(huán)傳遞函數(shù)，只是閉環(huán)傳遞函數(shù)中后者統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。15附加閉環(huán)零點(diǎn)是通過改變單位階躍響應(yīng)中各模態(tài)的加權(quán)系數(shù)影響閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的。將圖 3-22(c)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)等效分解如圖 3-24所示。從信號(hào)的合成關(guān)系上可見，圖 3-22(c)所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)h t)是在圖 3-22(b)系統(tǒng)單位(c)階躍響應(yīng)h t)基礎(chǔ)上疊加了一個(gè)K k t)而成的。即有(b)( tbh(t) h (t) K h( )tcbtb點(diǎn)靠虛軸越近(K 越大)，這種影響越強(qiáng)烈。t附加閉環(huán)極點(diǎn)的作用與附加閉環(huán)零點(diǎn)恰好相