大一下學期高等數學期末考試試題及答案

1、高數高數第 第5頁 共 2 頁高等數學 A(下冊)期末考試試題【A 卷】院（系）別班級學號姓名成績大題大題小題一二3三四五六七1245得分本題共5 小題，每小題4 分，滿分20 把答案直接填在題中橫線上）1、已知向量a 、b 滿足a b 0，a 2，b 2，則ab 3 z22、設z xln(xy)，則y23、曲面x2 y2 z 9在點(1,2,4)處的切平面方程為4、設f (x)是周期為2 的周期函數，它在,)上的表達式為f (x) x，則f (x)的傅里葉級數在x 3處收斂于，在x 處收斂于5、設L 為連接(1,0) 與(0,1) 兩點的直線段，則(x y)ds L本題共5 小題，每小題7

2、分，滿分35 分）2x2 3y2 z1、求曲線9在點M處的切線及法平面方程0z2 3x2 y22z 2x2 2 y2 z 6 x2 y2 所圍成的立體體積n13、判定級數n1(1)n ln是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？n2z4、設z f (xy,)sin y ，其中f 具有二階連續(xù)偏導數，求,5、計算曲面積分dS z其中是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的頂部三、（本題滿分 9 分）z x2 y2 x y z 1截成一橢圓，求這橢圓上的點到原點的距離的最大值與最小值四、（本題滿分 10 分）計算曲線積分(ex sin y m)dx (ex c

3、os y mx)dy ，L其中m L A(a,0) 至原點O(0,0) x2 y2 ax (a 0)五、（本題滿分 10 分）求冪級數n1xnn的收斂域及和函數六、（本題滿分 10 分）I 2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy ，其中 z 1 x2 y2 (z 0) 的上側x2 x2 y2設f (x)為連續(xù)函數，f (0) a，F(t) z f (x2 y2 z2)dv，其中tt是由曲面 z z 所圍成的閉區(qū)域，求 t 2 x2 t 2 x2 y2F (t)t3備注：考試時間為 2 小時；考試結束時，請每位考生按卷面 答題紙 不得帶走試卷。高等數學 A(下冊)期末考試試題【A

4、 卷】參考解答與評分標準一、填空題4 20 分】 1、4 ； 1 ；3、2x4y z 14； 43，0； 、.2y22二、試解下列各題【每小題 7 分，共 35 分】3y dy z dz 2xdxdxdy5xdz7x1、解：方程兩邊對x 求導，得， 從而，.【4】 y dy z dz 3xdx4ydx4zdxdx該曲線在處的切向量為T (1,5,7) 1(8,10,7).【】故所求的切線方程為 x 1 y 14 88z 2.【6】8107法平面方程為 8x110y17z20 即 8x10y 7z 12【7】 z 2x2 2 y2、解：z 6 x2y2 x2y 2 xOy面上的投影區(qū)域為D:x2

5、xyy2 2 .【2】2故所求的體積為V dv 2 d2d 62 dz (632)d 【】21021220、解：由lim n unn limnln(1) limln(1)n nnnn1 0n1u發(fā)散【】n又| u| ln(11 ) ln(11) u|,lim|u| limln(11 ) 0 .故所給級數收斂且條件收斂7】nnn n1nnnz、解：(fy f1)0 yf 1f，【】2x f 1 x fy 1x ) 1yf 21 x x ) f xyf 1f x【7】11112y2y22y2122y2111y22y322 z ，在xOy面上的投影區(qū)域為Da2 a2 x2 y2 (x, y) | x

6、2 y2 a2 h21 z2 1 z2 z2xya2 x2 y2 ，】dS adxdyad aln(a2a2 a2 h2 2 ) a ln a .【】za2Dxyx2 y200a2 22ha2 a2 h2x2 y2 z2d三9 x2 y2 z2d【1】Lx, yz) x2 y z (z x2 y2 ) (x y z 1) ， L 2x 2x 013Lx 2y2y13yy則由L 2z z 0 x y ， z 223 于是得到兩個可能極值點z x2 y2x yz 113M (13,2 13122(,2 3).【】1313139953.故dOM|953,dOM |max2min1【9】【10 分L

7、與直線段OA 所圍成的閉區(qū)域為D ，則由格林公式，得I (ex sin y (ex cos y mx)dy md 28 ma2 【】LOAD而I (ex sinydx(ex cosymx)dy madxma 【】1OA0(ex sin y (ex cos y mx)dy IIL21 ma 8 ma2【10】aan1naan1n10 分】解： lim lim R 3，收斂區(qū)間為 (3,3)【】n1nn 13n13 n又當x 3時，級數成為，發(fā)散；當x 時，級數成為，收斂【】nn1nn1故該冪級數的收斂域為 3,3 【5】sxn1xn（n3n x ，則xn11x11 1s(x)()n1 , ( | x | 3) 【8】3nn13n1331 x/33 x于是s(x) x s(x)dx xdx ln3xln3ln3x（3 x3 10】00 3x0【10 分】解：取1z 0( x2y 1) 的下側，記 與1所圍成的空間閉區(qū)域為 ，則由高斯公式，有I22x3dydz2y3dzdx1z2 1 dxdy 6 x2 y2 zdv【】2126d d 2 000dz 【7】而I 2x3dydz 2y3dzdx 11z 2 1dxdy 31z 2 1dxdy 3 dxdy 3 . 【 9 】x2 y2 1I II 10】21七6 分Ft 2 d nd4rcos 42 r2dr. 【2】