mpa聯(lián)考數(shù)學(xué)不定積分

1、第四章 不 定 積 分求原來那個(gè)函數(shù)的問題.已知某曲線的切線斜率為2x, 本章研究微分運(yùn)算的逆運(yùn)算已會求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算.解決相反的問題,就是已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分,例如某質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動,已知運(yùn)動速度函數(shù) 求路程函數(shù).求此曲線的方程.1.2.不定積分. indefinite integral1第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分公式不定積分的性質(zhì)小結(jié) 思考題 作業(yè) indefinite integral第四章 不定積分2一、原函數(shù)與不定積分的概念幾何問題解例設(shè)曲線方程上任一點(diǎn)的切線斜率都等于切點(diǎn)處橫坐標(biāo)的兩倍,求曲線的方程.設(shè)曲線方程為滿足此條件的函數(shù)有無窮多個(gè),

2、如等都是.一般,所求曲線方程為C為任意常數(shù).不定積分的概念與性質(zhì)3定義1例1. 原函數(shù)如果在區(qū)間I上,則稱或原函數(shù).一個(gè)或由知是原函數(shù).也是的原函數(shù),其中為任意常數(shù).不定積分的概念與性質(zhì)4一般,的原函數(shù)(C為任意常數(shù)).因一個(gè)函數(shù)如果有原函數(shù),就有無窮多個(gè).在區(qū)間I上的一個(gè)在區(qū)間I上的任一原函數(shù)都其中C為某一常數(shù).則定理定理表明:的一整族函數(shù)形如是f(x)的全部原函數(shù).原函數(shù), 結(jié) 論 的形式,不定積分的概念與性質(zhì)可表為5故證的另一個(gè)原函數(shù),則又只要找到f (x)的一個(gè)原函數(shù),就知道它的全部原函數(shù).在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù),則f(x)在區(qū)間I上的任一原函數(shù)都可表為其中C為某一常數(shù).定理的形式,要

3、證常數(shù)因?yàn)椴欢ǚe分的概念與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)恒為零的函數(shù)必為常數(shù)某個(gè)常數(shù)6積分變量積分常數(shù)被積函數(shù)定義2被積表達(dá)式2. 不定積分不定積分.(1) 定義全部原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為函數(shù)f (x)的 總和(summa)記為不定積分的概念與性質(zhì)積分號71. 被積函數(shù)是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù),被積表達(dá)式是原函數(shù)的微分.2. 不定積分表示那些導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)的所或說其微分等于被積表達(dá)式的所有函數(shù).有函數(shù).因此絕不能漏寫積分常數(shù)C.3. 求已知函數(shù)的原函數(shù)或不定積分的運(yùn)算稱 為積分運(yùn)算,它是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算.不定積分的概念與性質(zhì)8例 求解解例 ?不定積分的概念與性質(zhì)9(2)不定積分的幾何意義積分曲線稱為的積分曲線.的圖形向平行

4、于y 軸的方向任意上下移動,得出的無窮多條曲線,稱為的圖形是平面的一條曲線,是將曲線族.不定積分的概念與性質(zhì)10 由于不論常數(shù)C 取何值,同一x處其導(dǎo)數(shù)等于f(x),各切線相互平行.有積分曲線族即x不定積分的概念與性質(zhì)11不定積分的概念與性質(zhì)解故所求曲線方程為(3) 積分常數(shù)的確定求通過點(diǎn) 且其切線斜率為2x曲線.例 在求原函數(shù)的實(shí)際問題中,有時(shí)要從全部原函數(shù)中確定出所需要的具有某特性的一個(gè)原函數(shù),這時(shí)應(yīng)根據(jù)這個(gè)特性確定常數(shù)C的值,從而找出需要的原函數(shù).的曲線族為有12解例所以不定積分的概念與性質(zhì)13（原函數(shù)存在定理）連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).則它必有原函數(shù).(4) 原函數(shù)存在問題定理2哪些函數(shù)有

5、原函數(shù)?又如何求其原函數(shù)?不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)是否必為連續(xù)函數(shù)?14 由不定積分的定義 結(jié)論微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是如(1)或或互逆的.二、不定積分的性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)15證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）(2)(2)，(3)稱為線性性質(zhì). 思考: k = 0,等式是否成立?(3)不定積分的概念與性質(zhì)16實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式結(jié)論 要判斷一個(gè)不定積分公式是否正確,只要將右端的函數(shù)求導(dǎo),看是否等于被積函數(shù).求導(dǎo)公式?積分公式.?三、基本積分公式不定積分的概念與性質(zhì)積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，17基本積分公式 (k是常數(shù))說明：簡寫為不定積分的概念與

6、性質(zhì)18不定積分的概念與性質(zhì)19熟 記不定積分的概念與性質(zhì)20例 求積分解出一些簡單函數(shù)的不定積分,稱為利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式,可求由公式直接積分法.不定積分的概念與性質(zhì)21例 求積分解不定積分的概念與性質(zhì)22例 求積分解不定積分的概念與性質(zhì)23例 求積分解 稱為分項(xiàng)積分法.分項(xiàng)積分法 利用線性性質(zhì)計(jì)算積分,上兩例是將被積函數(shù)作恒等變形,不定積分的概念與性質(zhì)24例 求積分解不定積分的概念與性質(zhì) 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形,才能使用基本積分表.25解例 不定積分的概念與性質(zhì)26解所求曲線方程為不定積分的概念與性質(zhì)已知一曲線 y = f (x)在點(diǎn)( x, f (x)處的切線

7、例斜率為且此曲線與y軸的交點(diǎn)為(0,5),求此曲線的方程.27練習(xí)不定積分的概念與性質(zhì)28練習(xí)不定積分的概念與性質(zhì)29熟記基本積分公式不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念不定積分的概念求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的幾何意義30應(yīng)先將絕對值符號化掉,即將| x |化作分段函數(shù):不定積分的概念與性質(zhì)思考題解31因此在x = 0處必連續(xù),由于原函數(shù)可導(dǎo),所以原函數(shù)必定連續(xù),于是有不定積分的概念與性質(zhì)32例 求解法一換元積分法33法二換元積分法34例 解原式=換元積分法35例 求解換元積分法隱 湊36例 求原式解換元積分法37例 解原式=2. 某些三角函數(shù)換元積分法38例 求解

8、（使用了三角函數(shù)恒等變形）分步湊法一換元積分法39類似可推出法二換元積分法40例 求解換元積分法41例 求解湊微分;用倍角公式降冪,再積分. 注換元積分法42例 求解 不同角度的正弦、余弦之積的積分常用積化和差公式來化簡.注換元積分法43例 求解換元積分法44例 求解換元積分法45解令對此類題,一般可用下列各種解法法一思考題1換元積分法46法二令則換元積分法它是函數(shù)此方法中應(yīng)注意的涵義,47求解 思考題2換元積分法原式=48作業(yè)習(xí)題4-2 (204頁) 2. 雙數(shù)至 (32)換元積分法49二、第二換元積分法有根式解決方法 消去根式,困難即則 回代換元積分法50對積分作變換有公式第二類換元公式第

9、二換元積分法不易計(jì)算時(shí),可作適當(dāng)變換 化為不定積分積分后再將若積分 計(jì)算,代入.換元積分法51例 求解令輔助三角形 回代換元積分法52例 求解令 回代輔助三角形換元積分法53通過變換利用相應(yīng)的三角變換,相仿地,可算出還可得到重要公式換元積分法54注以上幾例所使用的均為三角代換的目的當(dāng)被積函數(shù)中含有令令令雙曲代換 回代時(shí),一定要借助輔助三角形.三角代換.是化掉根式.一般規(guī)律:雙曲函數(shù)的恒等式 換元積分法55例 （三角代換很繁瑣）令解 回代換元積分法56三角代換(或雙曲代換)注需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.積分中為了化掉根式是否一定采用并不是絕對的,換元積分法57例 求解令法一原式= 回代換元積分法5

10、8法二原式=回代換元積分法59例 求解令回代換元積分法60例 令解法一回代換元積分法倒代換注可用來消去分母中的變量.一些情況下(如被積函數(shù)是分式,分母的方冪較高時(shí)),61法二回代還有別的方法嗎？換元積分法62法三換元積分法63如:倒代換對如下形式都適用.換元積分法64例 求解令（分母的階較高）換元積分法65回代換元積分法66為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） 注當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令（其中換元積分法67例令解換元積分法68基本積分表(2)換元積分法69希自己添加!換元積分法70練習(xí)解換元積分法71 下列各題求積方法有何不同?思考題換元積分法72兩類換元積分法湊微分三角代換、倒代換

11、、根式代換熟記基本積分表(2)三、小結(jié)換元積分法第一換元積分法:第二換元積分法:73解換元積分法思考題求積分74第三節(jié) 分部積分法分部積分公式例 題小結(jié) 思考題 作業(yè)integration by parts第四章 不定積分75解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式?特點(diǎn)被積函數(shù)是兩個(gè)不同函數(shù)的乘積具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).兩邊積分一、分部積分公式分部積分法76 恰當(dāng)選取u和dv是一個(gè)關(guān)鍵,v要易求;分部積分公式選取u和dv的一般原則是:(1)(2)易求.分部積分法77例 求解顯然,法一法二二、例 題選擇不當(dāng), 積分更難進(jìn)行.分部積分法78例 求解（再次使用分部積分法）分部積分法79分部積分法80

12、例 求解?分部積分法81例 求解 化簡型分部積分法82注利用可把的積分化為分部積分法83分部積分法例 求解注意循環(huán)形式uudvuudv 應(yīng)用分部積分法時(shí),可不明顯地寫出如何選取u、dv,而直接套用公式.(對較簡單的情況)84注意前后幾次所選的 應(yīng)為同類型函數(shù).分部積分法85例 求解udv 循環(huán)型 分部積分法86 使用分部積分法的關(guān)鍵是正確地選取 (因?yàn)椤皟缛浮焙梅e, 分部積分法把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)的乘積,按“反對冪三指”的順序,前者為 后者為常用的方法:自己簡單.)小結(jié) “反對”的導(dǎo)數(shù)比它87有時(shí)在用分部積分之前, 須先變形.例 求解分部積分法88分部積分法2002年考研數(shù)學(xué)三, 6分解令則有于是練習(xí)在積分過程中常常兼用各種積分法.89曾用換元積分做過, 現(xiàn)可用分部積分做!例u分部積分法90dvu 利用分部積分法可以得到一些遞推公式:例 試證遞推公式 證由分部積分法得分部積分法91由此推出分