量子力學(xué) 第十一章

1、量子力學(xué) 第十一章第1頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三運(yùn)動是沒有原因的，但運(yùn)動的改變是有原因的粒子的狀態(tài)變化否？如何變化?一、問題的提出 粒子Hamiltonian 定態(tài)波函數(shù)設(shè)粒子處于定態(tài) 粒子受到微擾 的作用， 二、狀態(tài)變化與躍遷 時(shí)，要知道系統(tǒng)的狀態(tài)，需求解含時(shí)間的薛定諤方程：第2頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三完備一般不能通過時(shí)空變量分離來求解可見，在微擾作用下，粒子從純態(tài) 變化到疊加態(tài)，即粒子在t 時(shí)刻處于 ，粒子在t時(shí)刻可能處于態(tài) ，或 ，或 對應(yīng)的幾率 ， ， 或者說，粒子從 躍遷到 ， ， 躍遷幾率 ， ， 瞬時(shí)本征值和本征態(tài)

2、第3頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三將 的展開式代入 方程 Schr dinger三、解Schr dinger方程轉(zhuǎn)化為求 方程左乘 后做全空間積分其中記 第4頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三與薛定諤方程等價(jià) 采用微擾法的思想逐次逼近來求解。四、 的近似求解1.零級近似零級近似是 的本征解。為后面敘述方便，稱其為方程(A)第5頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三2.一級近似將零級近似 代入(A)的右邊 的一級近似：其中一級修正為：第6頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三3.二級近似得二級近似：其中二

3、級修正：將一級近似 代入(A)的右邊第7頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三五、躍遷幾率與躍遷速率一級近似下 在 作用下，粒子由純態(tài) 變化為 其中處于 的幾率 。躍遷幾率：躍遷速率: 第8頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三11.2 常微擾 黃金規(guī)則一、常微擾作用下的躍遷幾率和躍遷速率躍遷幾率常微擾第9頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三隨著t的增大，曲線迅速變窄增高，疑似函數(shù)第10頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三在常微擾作用下，只有當(dāng)末態(tài)能量 (初態(tài)能量)的情況下，才有可觀的躍遷發(fā)生。躍遷速率具有連續(xù)

4、能譜的粒子的彈性散射屬于這種情況。 是常微擾作用下體系能量守恒的反映。第11頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三二、費(fèi)米黃金規(guī)則隔為 內(nèi)的末態(tài)的躍遷速率： 初態(tài)時(shí)受常微擾作用躍遷到能量間總的躍遷速率 態(tài)密度：單位能量間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)費(fèi)米黃金規(guī)則 躍遷幾率與態(tài)密度成正比。第12頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三11.3周期微擾 共振吸收與共振發(fā)射一、周期微擾例如躍遷幾率 比如單色光第13頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三1.共振吸收（受激吸收）2.共振發(fā)射（受激發(fā)射）二、共振躍遷 時(shí)， 。若 ，則末態(tài)能量大于初態(tài)能量 時(shí)， 。若

5、 ，則末態(tài)能量小于初態(tài)能量第14頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三3. 共振躍遷速率對于共振躍遷 ，共振吸收和共振發(fā)射幾率相等。+：共振發(fā)射-：共振吸收微擾頻率合適，可引起共振吸收或發(fā)射。第15頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三1.單色線偏振光入射三、光照引起的原子躍遷入射方向：z，偏振方向：x，光頻：電場強(qiáng)度：于是 ，其中i.微擾哈密頓的電偶極近似第16頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三入射方向：z，偏振方向：x， 內(nèi)的光引起的躍遷幾率ii.共振躍遷速率能量密度:2.光譜強(qiáng)度為 的多色線偏光入射連續(xù)頻譜的光第17頁，共3

6、8頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三 若偏振方向在空間各個(gè)方向上出現(xiàn)的機(jī)會相等3.光譜強(qiáng)度為 的多色非偏光入射躍遷快慢與入射光中角頻率為 的光強(qiáng)度 成正比。若無此頻率成分，則不能發(fā)生躍遷第18頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三1.宇稱選擇定則四、選擇定則 躍遷幾率還與矩陣元 成正比。若此矩陣元為零，則 的躍遷幾率為零,。是不可能發(fā)生的躍遷，稱為禁戒躍遷。 由于原子的定態(tài)波函數(shù)中包含球諧函數(shù)，所以 取決于下列積分 的條件電偶極近似的選擇定則.?因?yàn)?是奇宇稱算符，所以躍遷前后宇稱改變。 初態(tài)：末態(tài)：第19頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星

7、期三2.角動量選擇定則利用 和得 的條件：利用 和得 ， 的條件：所以， 的條件為第20頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三1.細(xì)致平衡原理一、細(xì)致平衡原理與玻爾茲曼分布11.4 原子的自發(fā)輻射 黑體輻射系統(tǒng)a. 腔壁原子b.輻射場可分為兩個(gè)子系統(tǒng)：原子通過吸收發(fā)射光子與輻射場交換能量。第21頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三吸收光子的原子數(shù)目=發(fā)射光子的原子數(shù)目2. 玻爾茲曼分布 原子系統(tǒng)與輻射場達(dá)到動態(tài)平衡。 ：玻爾茲曼常數(shù)第22頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三1.受激發(fā)射系數(shù)和受激吸收系數(shù) 二、自發(fā)輻射的愛因斯坦理論

8、設(shè) 為高能級， 為低能級。在光譜強(qiáng)度為 的光照射下受激發(fā)射速率：受激吸收速率：定義受激發(fā)射系數(shù)受激吸收系數(shù)第23頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三2. 受激發(fā)射原子數(shù)小于受激吸收原子數(shù)3.自發(fā)輻射(自發(fā)發(fā)射) 愛因斯坦認(rèn)為：原子存在一種自發(fā)的從上能級到下能級的躍遷機(jī)制，稱為自發(fā)輻射。按細(xì)致平衡原理，兩者應(yīng)相等！顯然 自發(fā)輻射的躍遷速率 (又叫自發(fā)輻射系數(shù))不依賴于外界輻射場。第24頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三利用玻爾茲曼分布與黑體輻射公式 比較第25頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三3.自發(fā)輻射與受激躍遷有同樣的選擇

9、定則。1.自發(fā)輻射不依賴于外場。4.非平衡時(shí)，愛因斯坦系數(shù)間的關(guān)系仍成立。 三、討論5.在初等量子力學(xué)中無法解釋自發(fā)輻射現(xiàn)象。 如無外界作用，處于定態(tài)的原子不會躍遷到低能級。2. 處于激發(fā)態(tài)的粒子具有一定壽命。第26頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三 不同原子的自發(fā)輻射之間無關(guān)聯(lián)，輻射光之間也沒有確定的位相關(guān)系，因此普通光源發(fā)出的光不相干。 自發(fā)輻射速率遠(yuǎn)大于受激發(fā)射速率！6.普通光源發(fā)出的光主要來自于自發(fā)輻射。 太陽：不妨取 ，第27頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三 若有許多原子都處于某一激發(fā)能級，則某一原子的自發(fā)輻射放出的光子，可以促使其它

10、原子發(fā)生受激輻射，而放出相同的光子。8.輻射的受激發(fā)射光放大(Laser)7.受激發(fā)射光子是入射光子的克隆。 受激發(fā)射產(chǎn)生的光與外界激勵(lì)光具有完全相同的性質(zhì)，包括頻率、偏振方向和相位。Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation 這一過程以連鎖反應(yīng)方式在很短時(shí)間內(nèi)完成?？梢缘玫酱罅客粻顟B(tài)的光子出射，產(chǎn)生單色性和相干性都很好的高強(qiáng)度光。第28頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三11.5 能量時(shí)間不確定關(guān)系此關(guān)系的含義：若兩力學(xué)量算符不對易，則該兩力學(xué)量不會同時(shí)有確定值。一、一個(gè)關(guān)系式的推導(dǎo)及其分析1.力學(xué)量

11、的不確定度關(guān)系 此關(guān)系對任意兩力學(xué)量在任何態(tài)下都成立。第29頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三這就是能量時(shí)間不確定關(guān)系。由不確定度關(guān)系得：2.取 ,可導(dǎo)出Schr dinger方程，對于任意狀態(tài)波函數(shù)都成立于是想：為什么？第30頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三 盡管上述推導(dǎo)得出了量子力學(xué)中的一個(gè)重要關(guān)系，但推導(dǎo)的根據(jù)有錯(cuò)誤！時(shí)間t 是力學(xué)量？3. 上述推導(dǎo)過程的分析 若時(shí)間t是力學(xué)量，那末任一確定時(shí)刻測量力學(xué)量t，不一定能夠得到確定值，可能的測值是 任一確定時(shí)刻測量力學(xué)量A，不一定能夠得到確定值，可能的測值是 邏輯上矛盾。時(shí)間t不是力學(xué)量！第3

12、1頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三薛定諤方程是描述狀態(tài)演化的動力學(xué)規(guī)律。ii. ？ 任何狀態(tài)波函數(shù)的演化，必須滿足薛定諤方程。而對于任意的函數(shù)，薛定諤方程并不一定成立。在2的推導(dǎo)中，是根據(jù)薛定諤方程得出 但薛定諤方程不是恒等式，不能得出 而兩算符相等是指這個(gè)算符作用在任意函數(shù)的結(jié)果相同。第32頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三1.幾個(gè)特例二、能量時(shí)間不確定關(guān)系i.粒子處于狀態(tài)非定態(tài)其中 ， 隨時(shí)間周期變化，其它力學(xué)量也有同樣的變化周期， 。記是能量不確定度第33頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三ii.設(shè)自由粒子狀態(tài)用一個(gè)

13、波包來描述，波包寬度 ,群速度為v,相應(yīng)于經(jīng)典粒子的運(yùn)動速度。波包掠過空間某點(diǎn)所需時(shí)間 此波包所描述粒子的 ，因此， 能量不確定度所以，iii.處于激發(fā)態(tài)的原子，通過自發(fā)輻射躍遷到基態(tài)，壽命為 ，其能量不確定度 ，稱為能級寬度。第34頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三測量自發(fā)輻射光子能量可得激發(fā)態(tài)能量。因而，光子能量(E=cp)的不確定度，自發(fā)輻射光子相應(yīng)的輻射波列的長度光子的動量不確定度 ，iv.光照作用下氫原子的電離從束縛基態(tài)躍遷到自由粒子態(tài)，躍遷幾率第35頁，共38頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)32分，星期三以 為中心左右寬度為 的范圍內(nèi)。末態(tài)能量 集中在末態(tài)能量不確定度t為微擾時(shí)間，改用 表示第36頁，共38頁，2022年，5月20日，21