自考線性代數(shù)第16章教案

1、文檔編碼 : CV4C5D4U1Q9 HG7N6V4G9Y9 ZT4M7L4O1G2線性代數(shù)（經(jīng)管類）第一章 行列式（一）行列式的定義行列式是指一個由如干個數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個式子, 它實(shí)質(zhì)上表示把這些數(shù)按確定的規(guī)章進(jìn)行運(yùn)算,其結(jié)果為一個確定的數(shù) . 1二階行列式由 4 個數(shù)aij i,j,12得到以下式子：a 11a 12稱為一個二階行列式,a 21a 22其運(yùn)算規(guī)章為a 11a 12a 11a22a 12a21a 21a222三階行列式由 9 個數(shù)aiji,j1 2,3,得到以下式子：a 11a12a13a 21a22a23a 31a32a 33稱為一個三階行列式, 它如

2、何進(jìn)行運(yùn)算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對角線法, 我們接受遞歸法, 為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念 . 3余子式及代數(shù)余子式a 11 a 12 a 13設(shè)有三階行列式 D 3 a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33對任何一個元素 a ,我們劃去它所在的第 i 行及第 j 列,剩下的元素按原先次序組成一個二階行列式, 稱它為元素a 的余子式,記成Mij例如M11a22a 23,M21a 12a 13,M31a 12a 13a32a33a 32a 33a22a23再記A ij1 ijMij,稱A 為元素a 的代數(shù)余子式 . 例如A 11M11,A 21M

3、21,A 31M31那么 ,三階行列式D 定義為a 11a12a 13D3a21a22a23a 11A 11a21A 21a31A 31a31a32a 33我們把它稱為D 按第一列的開放式,經(jīng)常簡寫成D3i3ai1A i 1i31i1ai1Mi1114n 階行列式其中一階行列式D 1a 11a 1121A 21an 1A n1n 階行列式a 11a 12a 1 nDna 21a22a2na 11A 11aijA i ,j1,2, La n1an2ann, 為元素a 的代數(shù)余子式 . 5特別行列式上三角行列式a 11a 12La 1na a 11 22La nn0a 22La 2nLLLL下三角

4、行列式00La nna a 22La nna 110L0a 21a 22L0LLLLa n 1a n2La nn對角行列式a 110L0a a 22La nn0a 22L0LLLL00La nn（二）行列式的性質(zhì)性質(zhì) 1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即 D D T性質(zhì) 2 用數(shù) k 乘行列式 D中某一行（列）的所行列式等于 kD,也就是說,行列式可以按行和列提出公因數(shù). 有元素所得到的性質(zhì) 3 互換行列式的任意兩行（列） ,行列式的值轉(zhuǎn)變符號 . 推論 1 假如行列式中有某兩行（列）相同,就此行列式的值等于零. 推論 2 假如行列式中某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例,就此行列式的值等于零 . 性質(zhì)

5、 4 行列式可以按行（列）拆開 . 性質(zhì) 5 把行列式 D的某一行（列）的全部元素都乘以同一個數(shù)以后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去,所得的行列式仍為 D. 定理 1（行列式開放定理）n 階行列式 D a ij n 等于它的任意一行 （列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和,即 D a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a in A in i ,1 2 , , n 或 D a 1 j A 1 j a 2 j A 2 j a nj A nj j ,1 ,2 , n 前一式稱為 D按第 i 行的開放式,后一式稱為 D按第 j 列的開放式. 本定理說明,行列式可以按其任意一行或按其任意一

6、列開放來求出它的值 . 定理 2 n 階行列式 D a ij n 的任意一行（列）各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零 . 即a i 1 A k 1 a i 2 A k 2 a in A kn 0 i k 或 a 1 j A 1 s a 2 j A 2 s a nj A ns 0 j s （三）行列式的運(yùn)算行列式的運(yùn)算主要接受以下兩種基本方法：（1）利用行列式性質(zhì),把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值,此時要留意的是,在互換兩行或兩列時,必需在新的行列式的前面乘上（ 1）,在按行或按列提取公因子 k 時,必需在新的行列式前面乘上 k. （2）把原行列式按選定的某一行

7、或某一列開放,把行列式的階數(shù)降低,再求出它的值,通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個“0” 元素,再按這一行或這一列開放：2141例 1 運(yùn)算行列式D4312152327025解：觀看到其次列第四行的元素為0,而且其次列第一行的元素是a121,利用這個元素可以把這一列其它兩個非零元素化為0,然后按其次列開放 . 2 1 4 12 1 4 1按其次列開放5 62D 431 2 12 行1 1 行5 06 215 05 23 23 行 2 1 行105 02 5817 2 5702 57 02 5列5 1 列5 312按其次行開放31100377 37 5abbb例 2 運(yùn)算行列式D 4ba

8、bbbbabbbba解：方法 1 這個行列式的元素含有文字,在運(yùn)算它的值時,切忌用文字作字母,由于文字可能取0 值. 要留意觀看其特點(diǎn),這個行列式的特點(diǎn)是它的每一行元素之和均為a3 （我們把它稱為行和相同行列式）,我們可以先把后三列都加到第一列上去,提出第一列的公因子 a 3 ,再將后三行都減去第一行：a b b b a 3 b b b b 1 b b bb a b b a 3 b a b b 1 a b b a 3 b b a b a 3 b b a b 1 b a bb b b a a 3 b b b a 1 b b a1 b b b0 a b 0 0 a 3 0 0 a b 00 0 0

9、 a b a 3 b a b 3方法 2 觀看到這個行列式每一行元素中有多個 b,我們接受“ 加邊法” 來運(yùn)算,即是構(gòu)造一個與 D 4 有相同值的五階行列式D 4ab bb1b bb b1 行（1） ,行1bbbb0ab b b1ab000ba bb0ba b b10ab00bb ab0b b ab100a b0bb ba0b b ba1000ab這樣得到一個 “ 箭形” 行列式,假如ab,就原行列式的值為零,故不妨假設(shè)ab,即ab0,把后四列的a1b倍加到第一列上,可以把第一列的（ 1）化為零 . 14 babbbbbbb14bab4a3 b abab000000a00ab000a b000

10、00a例 3 三階范德蒙德行列式V 312121x 2x 1x 3x 1x 3x 2x 1x 2x3x 1x 2x 32（四）克拉默法就定理 1（克拉默法就）設(shè)含有n 個方程的 n 元線性方程組為a x 11 1a x 2La x nb 1,a x 21 1a x 2La x nb 2L L L L L L L L L La x 1a x 2La x nb n如 果 其 系 數(shù) 行 列 式Da ijn0, 就 方 程 組 必 有 唯 一 解 ：xjDj,j1 ,2 ,nb 1,b2,bn后得到的行列式 . D其中D 是把 D中第 j 列換成常數(shù)項(xiàng)把這個法就應(yīng)用于齊次線性方程組,就有定理 2 設(shè)

11、有含 n 個方程的 n 元齊次線性方程組a x 11 1a x 2La x n0,a x 21 1a x 22 2La x 2 n n0,L L L L L L L L L Lx 1a x n 1 1a x n 2 2La x nn n0D0,在教材假如其系數(shù)行列式D0,就該方程組只有零解：x2xn0換句話說,如齊次線性方程組有非零解,就必有其次章中,將要證明, n 個方程的 n 元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零 . 其次章 矩陣（一）矩陣的定義1矩陣的概念由 m n 個數(shù) aij i ,1 2 , , m ; j ,1 2 , , n 排成的一個 m行 n 列的數(shù)表a

12、 11 a 12 a 1 na 21 a 22 a 2 nAa m 1 a m 2 a mn稱為一個 m行 n 列矩陣或 m n 矩陣當(dāng) m n 時,稱 A ija n n 為 n 階矩陣或 n 階方陣元素全為零的矩陣稱為零矩陣,用 O m n 或 O表示23 個常用的特別方陣：n 階對角矩陣是指形如Aa 11a 1100的矩陣0a 220的矩陣00a nnn 階單位方陣是指形如E n100的矩陣010001a 1100a 12a 1 nn 階三角矩陣是指形如0a22a 2n,a 21a 22000a nna n1a n2a nn 3 矩陣與行列式的差異矩陣僅是一個數(shù)表, 而 n 階行列式的最

13、終結(jié)果為一個數(shù),因而矩陣與行列式是兩個完全不同的概念,只有一階方陣是一個數(shù), 而且行列式記號“* ” 與矩陣記號“* ” 也不同,不能用錯 . （二）矩陣的運(yùn)算1矩陣的同型與相等設(shè)有矩陣 A a ij m n,B b ij k,如 m k, n,就說 A與 B是同型矩陣 . 如 A與 B同型, 且對應(yīng)元素相等,即 a ij b ij,就稱矩陣 A與B相等,記為 A B因而只有當(dāng)兩個矩陣從型號到元素全一樣的矩陣,才能說相等 . 2 矩陣的加、減法設(shè) A a ij m n,B ijb m n 是兩個同型矩陣就規(guī)定A B a ij b ij m n A B a ij b ij m n留意：只有 A

14、與 B為同型矩陣,它們才可以相加或相減 . 由于矩陣的相加表達(dá)為元素的相加,因而與一般數(shù)的加法運(yùn)算有相同的運(yùn)算律 . 3數(shù)乘運(yùn)算設(shè) A a ij m n,k 為任一個數(shù),就規(guī)定 kA ka ij m n故數(shù) k 與矩陣 A的乘積就是 A中全部元素都乘以 k,要留意數(shù) k與行列式 D的乘積,只是用 k 乘行列式中某一行或某一列, 這兩種數(shù)乘截然不同 . 矩陣的數(shù)乘運(yùn)算具有一般數(shù)的乘法所具有的運(yùn)算律 . 4乘法運(yùn)算設(shè)Aaijmk,Bi2ijbkn,就規(guī)定ABijcmnj,1,2,n其中c ijai1ab 2ji1 ,2 ,m ;b 1jaikbkj由此定義可知,只有當(dāng)左矩陣 A的列數(shù)與右矩陣 B的

15、行數(shù)相等時,AB才有意義,而且矩陣 AB的行數(shù)為 A的行數(shù),AB的列數(shù)為 B的列數(shù),而矩陣 AB中的元素是由左矩陣A 中某一行元素與右矩陣B中某一列元素對應(yīng)相乘再相加而得到. 故矩陣乘法與一般數(shù)的乘法有所不同,一般地：不中意交換律,即ABBA或B0,因而也不中意消去律 . 在AB0時,不能推出A0特別,如矩陣 A與 B中意ABBA,就稱 A 與 B 可交換,此時 A與 B必為同階方陣 . 矩陣乘法中意結(jié)合律,支配律及與數(shù)乘的結(jié)合律 . 5方陣的乘冪與多項(xiàng)式方陣設(shè) A為 n 階方陣,就規(guī)定m A14 2 43 AA L Am個特別 A 0 E又如 f x a x ma m 1 x m 1L a

16、x a 0,就規(guī)定m m 1f A a A a m 1 A L a A a E稱 f A 為 A的方陣多項(xiàng)式,它也是一個 n 階方陣6矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè) A為一個mn矩陣,把 A中行與列互換,得到一個nm矩陣,稱為 A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為A ,轉(zhuǎn)置運(yùn)算中意以下運(yùn)算律：ATA,ABTATBT,kATkAT,ABTBTAT由轉(zhuǎn)置運(yùn)算給出對稱矩陣,反對稱矩陣的定義設(shè) A為一個 n 階方陣,如 A 中意A TA,就稱 A為對稱矩陣,如A中意ATA,就稱 A為反對稱矩陣 . 7方陣的行列式矩陣與行列式是兩個完全不同的概念,的行列式的概念 . 但對于 n 階方陣,有方陣ijan設(shè)Aija為一個 n 階方陣,就由A

17、中元素構(gòu)成一個n 階行列式,稱為方陣 A的行列式,記為A方陣的行列式具有以下性質(zhì)：設(shè)ATA；kAknAABAB（三）方陣的逆矩陣1可逆矩陣的概念與性質(zhì)A,B為 n 階方陣, k 為數(shù),就設(shè) A 為一個 n 階方陣,如存在另一個 n 階方陣 B,使中意AB BA E,就把 B稱為 A的逆矩陣,且說 A為一個可逆矩陣,意指A 是一個可以存在逆矩陣的矩陣,把 A 的逆矩陣 B 記為 A ,從而 A與 A 第一必可交換,且乘積為單位方陣 E. 逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè) A,B為同階可逆矩陣,k 0 為常數(shù),就A 是可逆矩陣,且A11A；1；AB1AB是可逆矩陣,且B1AkA 是可逆矩陣,且kA 11A1

18、kA 是可逆矩陣,且AT1A1TPA可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去,即設(shè) P 為可逆矩陣,就PB A B AP BP A B2相伴矩陣設(shè) A a ij 為一個 n 階方陣,A 為 A的行列式 A a ij n 中元素 a ijA 11 A 21 A n 1的代數(shù)余子式,就矩陣 A 12 A 22 A n 2 稱為 A的相伴矩陣,記為 A *A 1 n A 2 n A nn（務(wù)必留意 A 中元素排列的特點(diǎn)）相伴矩陣必中意* AAn* AA* AAAE1（n 為 A的階數(shù)）3n 階陣可逆的條件與逆矩陣的求法定理： n 階方陣 A可逆A0,且A11 A A*且A推論：設(shè) A,B均為 n 階方陣,且中

19、意ABE,就 A,B都可逆,1B,B1A例 1 設(shè)Aabcd（1）求 A的相伴矩陣* A（2）a,b,c,d 中意什么條件時, A可逆？此時求A1解：（1）對二階方陣 A,求A 的口訣為“ 主交換,次變號” 即（2）由AabadA*dbbc0時,即A0,A為可cabc,故當(dāng)adcd逆矩陣此時A11A*ad1bcdbcaA 四 分塊矩陣1. 分塊矩陣的概念與運(yùn)算對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣,為了表示便利和運(yùn)算簡潔, 常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成如干小塊,每個小塊叫做矩陣的子塊,以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣 . 在作分塊矩陣的運(yùn)算時,加、減法,數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類似的,特別在乘法

20、時,要留意到應(yīng)使左矩陣A的列分塊方式與右矩陣B 的行分塊方式一樣, 然后把子塊當(dāng)作元素來看待, 相乘時 A的各子塊分別 左乘 B的對應(yīng)的子塊 . 2準(zhǔn)對角矩陣的逆矩陣A 1形如A 2的分塊矩陣稱為準(zhǔn)對角矩陣,其中A 1,A 2,A rA r均為方陣空白處都是零塊 . 如 A 1 , A 2 , , A r 都是可逆矩陣,就這個準(zhǔn)對角矩陣也可逆,并且1 1A 1 A 11A 2 A 2A r A r 1 五 矩陣的初等變換與初等方陣1. 初等變換對一個矩陣 A 施行以下三種類型的變換, 稱為矩陣的初等行（列）變換,統(tǒng)稱為初等變換,（1）交換 A的某兩行（列）；（2）用一個非零數(shù)k 乘 A的某一行

21、（列）；（3）把 A中某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上 . 留意：矩陣的初等變換與行列式運(yùn)算有本質(zhì)區(qū)分,行列式運(yùn)算是求值過程,用等號連接,而對矩陣施行初等變換是變換過程用“”連接前后矩陣 . 初等變換是矩陣?yán)碚撝幸粋€常用的運(yùn)算,而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣,以至于化為行簡化的階梯形矩陣. 2. 初等方陣由單位方陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣 . 由于初等變換有三種類型, 相應(yīng)的有三種類型的初等方陣,依次記為 ijP,D i k 和 Tij k ,簡潔證明,初等方陣都是可逆矩陣,且它們的逆矩陣仍是同一類的初等方陣 . 3初等變換與初等方陣的關(guān)系設(shè)

22、 A為任一個矩陣,當(dāng)在 A的左邊乘一個初等方陣的乘積相當(dāng)于對 A作同類型的初等行變換； 在 A的右邊乘一個初等方陣的乘積相當(dāng)于對 A作同類型的初等列變換 . 4矩陣的等價與等價標(biāo)準(zhǔn)形如矩陣 A經(jīng)過如干次初等變換變?yōu)?B,就稱 A與 B等價,記為 A B對任一個 m n 矩陣 A,必與分塊矩陣 Er O等價,稱這個分塊矩O O陣為 A的等價標(biāo)準(zhǔn)形 . 即對任一個 m n 矩陣 A,必存在 n 階可逆矩陣P及 n 階可逆矩陣 Q,使得PAQErOOO5用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣設(shè) A為任一個 n 階可逆矩陣,構(gòu)造 n 2 矩陣（ A,E）然后 A , E E , A 1 留意：這里的初等變換必

23、需是初等行變換 . 1 1 3例 2 求 A 2 1 4 的逆矩陣1 2 4解：A E3行11 3 1 0 01 行1 行2 1 3 行2行111310021 4 0 1 00122102 2行 行1 1 行11 24 0 0 1103 行3 行01110110111 行行1 0 04 2122012210140 1 041 20013110 0 131 121就A412311例3 求解矩陣方程113X11112144312411213解：令A(yù)214,B43,就矩陣方程為AXB,這里A12412即為例 2 中矩陣,是可逆的,在矩陣方程兩邊左乘A ,得4211130XA1B41243253111

24、202也能用初等行變換法,不用求出A ,而直接求A1B1131110030A ,B2144301025E,A1B124120010230就XA1B2502（六）矩陣的秩1. 秩的定義設(shè) A為 m n 矩陣,把 A中非零子式的最高階數(shù)稱為 A的秩,記為秩 A 或 r A 零矩陣的秩為 0,因而 0 秩 A min m , n,對 n 階方陣 A,如秩 A n,稱 A為滿秩矩陣,否就稱為降秩矩陣 . 1. 秩的求法由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù),又矩陣初等變換不轉(zhuǎn)變矩陣的秩 . 對任一個矩陣 A,只要用初等行變換把 A 化成階梯形矩陣 T,就秩 A= 秩T=T 中非零行的行數(shù) . 3與滿

25、秩矩陣等價的條件n 階方陣 A滿秩A可逆,即存在 B,使ABBAEA非奇妙,即A0A的等價標(biāo)準(zhǔn)形為 E A可以表示為有限個初等方陣的乘積齊次線性方程組AX0只有零解AXb 有唯獨(dú)解（列）向量組的線性組合,且表示法唯獨(dú) . A的特點(diǎn)值均不為零T AA為正定矩陣 . b（七）線性方程組的消元法. b 1a 11x 1a 12x2a 1 nx n對任一個線性方程組a21x 1a 22x 2a2nxnb 2am 1x 1a m2x 2a mnx nb m可 以 表 示 成 矩 陣 形式AXb, 其 中Aaijmn為 系 數(shù) 矩 陣 ,b 1,b2,b mT為常數(shù)列矩陣,Xx1,x2,nxT為未知元列矩

26、陣 . 從而線性方程組AXb與增廣矩陣AA,b一一對應(yīng) . 對于給定的線性方程組, 可利用矩陣的初等行變換, 把它的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣, 從而得到易于求解的同解線性方程組,然后求出方程組的解 . 第三章 向量空間（一） n 維向量的定義與向量組的線性組合1.n 維向量的定義與向量的線性運(yùn)算由 n個數(shù)組成的一個有序數(shù)組稱為一個n 維向量,如用一行表示,稱為 n 維行向量,即 1 n 矩陣,如用一列表示,稱為 n 維列向量,即n 1 矩陣與矩陣線性運(yùn)算類似,有向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律 . 2向量的線性組合為1設(shè)1,2,m是一組 n 維向量,k1,k2,m,km是一組常數(shù),就稱k1,k2k,m

27、稱為組合系數(shù) . k 11k22,2,m的一個線性組合,常數(shù),km如一個向量可以表示成就稱是1,2,mk11k22kmm,2,m線性表出 . 的線性組合,或稱可用13矩陣的行、列向量組設(shè) A為一個mn矩陣,如把 A按列分塊,可得一個 m維列向量組稱之為 A的列向量組 . 如把 A 按行分塊,可得一個 n 維行向量組稱之為 A的行向量組 . 4線性表示的判定及表出系數(shù)的求法 . 向量 能用 1 , 2 , , m 線性表出的充要條件是線性方程組x 1 1 x 2 2 x m m 有解,且每一個解就是一個組合系數(shù) . 例 1 問 5,1,1 T 能否表示成 1 1 2, 3, T,2 0 ,1,

28、4 T,3 2 , ,3 6 T 的線性組合？解：設(shè)線性方程組為 x 1 1 x 2 2 x 3 3對方程組的增廣矩陣作初等行變換：所以A ,1,2,1,3,2,102110012321310102就方程組有唯獨(dú)解x 1,134650011x22 ,x31可以唯獨(dú)地表示成312的線性組合,且（一）向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)1. 線性相關(guān)性概念k1,k設(shè),1,2,m是 m個 n 維向量,假如存在2,m個不全為零的數(shù)2,km,使得kmm0,就稱向量組1,m線性相關(guān),稱k 11k22k1,k2,km為相關(guān)系數(shù) . 否就,稱向量1,2,m線性無關(guān) . k11由定義可知,1,2,m線性無關(guān)就是指向量等式

29、k22kmm0當(dāng)且僅當(dāng)k 1k2km0時成立 . 特別單個向量線性相關(guān)0；單個向量線性無關(guān)02求相關(guān)系數(shù)的方法設(shè) 1 , 2 , , m 為 m個 n 維列向量,就 1 , 2 , , m 線性相關(guān) m元齊次線性方程組 x 1 1 x 2 2 x m m 0 有非零解,且每一個非零解就是一個相關(guān)系數(shù) 矩陣 A 1 , 2 , , m 的秩小于 m 例2 設(shè)向量組 1 2, 1,7 , T2 1,4,11 , T3 3, 6,3 T ,試爭辯其線性相關(guān)性 . 解：考慮方程組x 11x22x330其系數(shù)矩陣A2131021,2,3146011于是,秩 A 237113000,所以向量組線性相關(guān),

30、與方程組同解的方程組為令x31,得一個非零解為x 112 x320 x 301x2x 3x0 x 12 ,1就2233線性相關(guān)性的如干基本定理定理 1 n維向量組11,22,mm線性相關(guān)至少有一個向量是其余向量的線性組合 . 即,線性無關(guān)任一個向量都不能表示為其余向量的線性組合 . 定理 2 假如向量組,1,2,m線性無關(guān),又,1,2,m線性相關(guān),就可以用1,2,m線性表出,且表示法是唯獨(dú)的. 定理 3 如向量組中有部分組線性相關(guān),就整體組也必相關(guān),或 者整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān) . 定理 4 無關(guān)組的接長向量組必?zé)o關(guān) . （三）向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩 1向量組等價的概念 如向量組 S可以

31、由向量組 R線性表出,向量組 R也可以由向量組 S線性表出,就稱這兩個向量組等價 . 2向量組的極大無關(guān)組 設(shè) T 為一個向量組, 如存在 T 的一個部分組 S,它是線性無關(guān)的,且 T 中任一個向量都能由 極大無關(guān)組 . S線性表示,就稱部分向量組 S為 T 的一個明顯,線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身 . 對于線性相關(guān)的向量組,一般地,它的極大無關(guān)組不是唯獨(dú)的,但有以下性質(zhì)：定理 1 向量組 T 與它的任一個極大無關(guān)組等價,因而 T 的任意 兩個極大無關(guān)組等價 . 定理 2 向量組 T 的任意兩個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)相同 . 3向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系 把向量組 T 的任意一個極大

32、無關(guān)組中的所含向量的個數(shù)稱為向量組 T 的秩. 把矩陣 A 的行向量組的秩, 稱為 A的行秩,把 A的列向量組的秩 稱為 A的列秩 . 定理：對任一個矩陣A,A的列秩 =A的行秩 =秩（A）此定理說明,對于給定的向量組,可以依據(jù)列構(gòu)造一個矩陣 A,然后用矩陣的初等行變換法來求出向量組的秩和極大無關(guān)組 . 例 3 求出以下向量組的秩和一個極大無關(guān)組,并將其余向量用極大無關(guān)組線性表出：11,1 ,2 ,7,21 ,2 ,2,9 ,31 ,1,6 ,6 ,42 ,1,43, ,524,43, 解：把全部的行向量都轉(zhuǎn)置成列向量,構(gòu)造一個45矩陣,再用初等行變換把它化成簡化階梯形矩陣111221,210

33、0,00AT,2T,3T,4T,5T122161401010 0B124400117963300001易見 B的秩為 4,A的秩為 4,從而秩,3,4,54,而且 B中主元位于第一、二、三、五列,那么相應(yīng)地1,2,35為向量組的一個極大無關(guān)組,而且423（四）向量空間1向量空間及其子空間的定義定義 1 n 維實(shí)列向量全體（或?qū)嵭邢蛄咳w）構(gòu)成的集合稱為實(shí) n 維向量空間,記作Rn定義 2 設(shè) V是 n 維向量構(gòu)成的非空集合, 如 V對于向量的線性運(yùn)算封閉,就稱集合V 是R 的子空間,也稱為向量空間. 1. 向量空間的基與維數(shù) 設(shè) V為一個向量空間, 它第一是一個向量組, 把該向量組的任意一個極

34、大無關(guān)組稱為向量空間 間的維數(shù) . V的一個基,把向量組的秩稱為向量空明顯,n 維向量空間R 的維數(shù)為 n,且R 中任意 n 個線性無關(guān)的向量都是R 的一個基 . 3. 向量在某個基下的坐標(biāo)設(shè)1,2,r是向量空間 V的一個基,就 V中任一個向量都可以用1,2,r唯獨(dú)地線性表出,由r 個表出系數(shù)組成的r 維列向量稱為向量在此基下的坐標(biāo) . 第四章線性方程組（一）線性方程組關(guān)于解的結(jié)論定理 1 設(shè) AX b 為 n 元非齊次線性方程組,就它有解的充要條件是 r A , b r A 定理 2 當(dāng) n 元非齊次線性方程組 AX b 有解時,即r A , b r A r 時,那么（1）AX b 有唯獨(dú)解

35、 r n；（2）AX b 有無窮多解 r n . 定理 3 n 元齊次線性方程組 AX 0 有非零解的充要條件是r A r n推論 1 設(shè) A為 n 階方陣,就 n 元齊次線性方程組 AX 0 有非零解A0mn矩陣,且mn,就 n 元齊次線性方程組必有推論 2 設(shè) A為非零解（二）齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間第一對任一個線性方程組, 我們把它的任一個解用一個列向量表示,稱為該方程組的解向量,也簡稱為方程組的解 . 考慮由齊次線性方程組 AX 0 的解的全體所組成的向量集合V A 0明顯 V是非空的,由于 V中有零向量,即零解,而且簡潔證明 V對向量的加法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算封閉,即解向量的和仍為解

36、, 解向量的倍數(shù)仍為解, 于是 V成為 n 維列向量空間 R 的一個子空間, 我們稱 V 為方程組 AX 0 的解空間（三）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解把 n 元齊次線性方程組AX0的解空間的任一個基, 稱為該齊次. 0有非零解時,即rA rn時,就線性方程組的一個基礎(chǔ)解系當(dāng) n 元齊次線性方程組AX確定存在基礎(chǔ)解系,且基礎(chǔ)解系中所含有線性無關(guān)解向量的個數(shù)為 n r 求基礎(chǔ)解系與通解的方法是：對方程組 AX 0 先由消元法, 求出一般解, 再把一般解寫成向量形式,即為方程組的通解,從中也能求出一個基礎(chǔ)解系 . 例 1 求2x 1x222x33 x400的通解3x 12xx32x40 x 1x

37、2x3x 4解：對系數(shù)矩陣A,作初等行變換化成簡化階梯形矩陣：2 1 2 3 13行 -1+1 行 行 -1+2 行 1 0 3 4 1行 -1+2 行 2 行 -1+3 行 1 0 3 4A 3 2 1 2 1 1 1 1 0 1 4 51 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0r A 2 4,有非零解,取 x 3, x 4 為自由未知量,可得一般解為x 1 3 x 3 4 x 4 ,x 2 4 x 3 5 x 4 ,x 3 x 3x 4 x 4寫成向量形式,令 x 3 k 1,x 4 k 2 為任意常數(shù),就通解為3 44 5X k 1 k 21 00 13 4可見,1 4, 2 5為方

38、程組的一個基礎(chǔ)解系 . 1 00 1（四）非齊次線性方程組1. 非齊次線性方程組與它對應(yīng)的齊次線性方程組（即導(dǎo)出組） 的解之間的關(guān)系設(shè)AXb為一個 n 元非齊次線性方程組,AX0為它的導(dǎo)出組,就它們的解之間有以下性質(zhì)：性質(zhì) 1 假如1,2是AXb的解,就12是AX0的解b性質(zhì) 2 假如是AXb的解,是AX0的解,就是AX的解由這兩個性質(zhì),可以得到AXb的解的結(jié)構(gòu)定理：AXb的定理設(shè) A是mn矩陣,且rA ,brAr,就方程組通解為AXX*k11k22knrnr2,nr為導(dǎo)出組其中* 為AXb的任一個解（稱為特解）,1,0的一個基礎(chǔ)解系 . 2求非齊次線性方程組的通解的方法對非齊次線性方程組 A

39、X b,由消元法求出其一般解, 再把一般解改寫為向量形式,就得到方程組的通解 . x 1 x 2 x 3 x 4 0例 2 當(dāng)參數(shù) a,b 為何值時,線性方程組 x 2 2 x 3 2 x 4 1x 2 a 3 x 3 2 x 4 b3 x 1 2 x 2 x 3 ax 4 1有唯獨(dú)解？有無窮多解？無解？在有無窮多解時,求出通解 . 解：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換, 把它化成階梯形矩陣：當(dāng)a , 1 113102 行行3 行-34行1 111010 12210 122101a2b0 0a1 0b321a1012a312 行2行4 行-11 行1 01110 12210 0a1 0b10

40、00a1 01時,rA ,brA 4,有唯獨(dú)解；當(dāng)a,1 b1時,rA ,b3,rA 2,無解；a當(dāng),1 b1時,rA ,brA 2,有無窮多解 . x 1 1 x 3 x 4此時,方程組的一般解為 x 2 1 2 x 3 2 x 4x 3 x 3x 4 x 4令 x 3 k 1 , x 4 k 2 為任意常數(shù),故一般解為向量形式,得方程組通解為X1111k 12k22010第五章001特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量I 考試大綱要求1、考試內(nèi)容： 矩陣的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量的概念、性質(zhì)、運(yùn)算方法和相像變換； 矩陣的相像關(guān)系及性質(zhì)； 矩陣可對角化的判別及相像對角矩陣；實(shí)對稱矩陣的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量的性質(zhì)；2、考試要

41、求： 1）懂得矩陣的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量的概念及性質(zhì),并會運(yùn)算矩陣的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量； 2 ）懂得相像的概念、性質(zhì)及矩陣可對角化的充要條件,把握用相像變換化矩陣為對角矩陣的方法； 3 ）把握實(shí)對稱矩陣的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量的性質(zhì)；II 重要學(xué)問點(diǎn)一、矩陣的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量1、基本概念設(shè) A是數(shù)域 P 上的 n 階矩陣,假如對于數(shù)P ,存在非零 n 維列向量,使得 A,就稱 為 A的一個特點(diǎn)值,稱為 A的屬于特征值 的特點(diǎn)向量；矩陣 A有特點(diǎn)向量等價于齊次線性方程組 E A x 0 有非零解,而 E A x 0 有非零解的充要條件是 E A 0,故把行列式 E A稱為稱為 A的特點(diǎn)多項(xiàng)式,方程 E A

42、0 稱為 A的特點(diǎn)方程,矩陣a 11 a 12 a 1 n E A a 21 a 22 a 2 n 稱為 A的特點(diǎn)矩陣；a n 1 a n 2 a nn設(shè) A a ij n n 為 n 階矩陣, A的主對角線元素的和為矩陣 A的跡,n記為 tr A ；即 tr A a 11 a 22 a nn a ii；i 1跡的性質(zhì)：1）tr A B tr A tr B ； 2）tr kA ktr A ；3）tr A T tr A ； 4）tr AB tr BA ；2、特點(diǎn)值與特點(diǎn)向量的求法k1,設(shè)Aaijnn為 n 階矩陣,以下步驟求A的特點(diǎn)值與特點(diǎn)向量s1）運(yùn)算 A的特點(diǎn)多項(xiàng)式EA；2）求出特點(diǎn)方程EA

43、0的全部根,即得到A的全部特點(diǎn)值；3）對于每個特點(diǎn)值,求解齊次線性方程組EAx0,即a 11x 1a 12x2a 1 nx n0a 21x 1a22x2a2nx n0a n1x 1a n2x2a nnx n0如 求 得 其 基 礎(chǔ) 解 系 為1,2,s, 就k11k22ksk2,ks不全為零 為 A的屬于特點(diǎn)值的全部特點(diǎn)向量；3、特點(diǎn)值與特點(diǎn)向量的性質(zhì)1） n 階矩陣 A與它的轉(zhuǎn)置矩陣A 有相同的特點(diǎn)值；2）假如 1 , 2 , , m 是 A的不同特點(diǎn)值,1 , 2 , , m 分別是屬于1 , 2 , , m 的特點(diǎn)向量,就 1 , 2 , , m 線性無關(guān)；3）設(shè)矩陣在復(fù)數(shù)域上的特點(diǎn)值為

44、 1 , 2 , , n 就tr A 1 2 n a 11 a 22 a nn；1 2 n A；4）設(shè) 是方陣 A的特點(diǎn)值,矩陣 kA , A 2, aA bE , A m, A 1 A 0 , A *,f A 分別有特點(diǎn)值 k , 2, a b , m, 1 0 , A 0 ,f ；進(jìn)一步,如 A 的 n 個 特 征 值 為 1 , 2 , , n, 就 f A 的 n 個 特 征 值 為f 1 , f 2 , , f n ,及可逆矩陣 A的n 個特點(diǎn)值為 1 , 2 , , n,就 A 的n 個特點(diǎn)值為 1 1, 2 1, , n,A 的 n 個特點(diǎn)值為 A, A, , A；1 2 n 5

45、）設(shè) A a ij n n 的秩 r A 1,就矩陣 A的 n 個特點(diǎn)值為1 a 11 a 22 a nn；2 n 0；二、相像矩陣、對稱矩陣及矩陣的對角化1、相像矩陣的基本概念及性質(zhì)1）相像矩陣：設(shè) n 階矩陣 A和 B ,假如存在可逆矩陣 P ,使得B P 1AP,就稱 A和 B 相像記作 A B；如 n 階矩陣 A 和一個對角形矩陣相像,就稱矩陣 A可對角化；2）相像矩陣的基本性質(zhì) 反身性：A A；B A；A C；對稱性：如A B,就傳遞性：如A B,且B C,就 如 A B,就 A B； 如 A B,就 A和 B同時可逆或不行逆； 如,且 A和 B 可逆,就 A 1 B 1； 如 A

46、B,就 E A E B； 如 A B,就 A和 B的特點(diǎn)值相同； 如 A B,就 tr A tr B ； 如 A B,就其秩相等,即：r A r B ；2、 n 階矩陣 A與對角矩陣相像的條件值；量；1） A與對角形矩陣相像的充分條件是 A有 n 個互不相同的特點(diǎn)2）A與對角形矩陣相像的充要條件是 A有 n 個線性無關(guān)的特點(diǎn)向3）數(shù)域 P 上 n 階矩陣 A與對角形矩陣相像的充分必要條件是對每一in重特點(diǎn)值iP,且對于每一個i,有riEA nni；注：fAEAn 21n 1n s2n2snsn 1n3、求與n 階矩陣相像的對角矩陣的方法1）如n 階矩陣 A有n 個單重特點(diǎn)值1,2,n,就1A2

47、,n即：Aiii i,12 ,n,令P1,2,n,就1P1AP2；nk1,k22）設(shè)n 階矩陣 A有m 個不同的特點(diǎn)值1,2,m,其重?cái)?shù)分別為,km,mkin,如對于每個特點(diǎn)值i ,都有ik個屬于i 的線性i1無關(guān)的特點(diǎn)向量,就1k1 個 12Ak2 個2m km個m即：Ait,1k 1iit,t,12,ki,i,12 ,m,令矩陣；,21,P11,就P1AP2k2m 1mkm4、實(shí)對稱矩陣的對角化1）實(shí)對稱矩陣特點(diǎn)值與特點(diǎn)向量的特別性質(zhì) 實(shí)對稱矩陣的特點(diǎn)值都是實(shí)數(shù)； 實(shí)對稱矩陣的屬于不同特點(diǎn)值的特點(diǎn)向量彼此正交； 實(shí)對稱矩陣的 k 重特點(diǎn)值恰好有 k 個屬于此特點(diǎn)值的線性無關(guān)實(shí)特點(diǎn)向量； 對

48、于實(shí)對稱矩陣A必存在正交矩陣Q,使得Q1AQ為對角矩陣；2）求正交矩陣 Q ,使Q1AQ為對角矩陣的方法k重特,求出 A的全部特點(diǎn)值； 解特點(diǎn)方程EA 解齊次線性方程組EAX0,求出基礎(chǔ)解系,得到征值的 k 個線性無關(guān)的特點(diǎn)向量； 利用施密特正交化方法, 使得屬于 k 重特點(diǎn)值的 k 個線性無關(guān) 向量組正交化,并使其單位化； 將求得的 n 個單位化正交特點(diǎn)向量組作為矩陣 Q 的列向量,從 而得到所需的正交矩陣 Q； Q 1 AQ 為對角矩陣, 其對角元素為 A的全部實(shí)特點(diǎn)值, 它們在對角矩陣的排列次序,與其特點(diǎn)向量在 5、重要結(jié)論Q 中的排列次序一樣；1）如A B,C D,就AOBfO；f A

49、 為關(guān)于 n 階OCOD 2 ）如A B,就fA fB,fA B,其中方陣 A的多項(xiàng)式； 3 ）如 A為可對角化矩陣, 就其非零特點(diǎn)值的個數(shù) （重根重復(fù)計(jì) 算）等于 A的秩；III 題型歸納及思路提示題型 1 求矩陣的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量例 1 設(shè)2是可逆矩陣 A的特點(diǎn)值,就矩陣1A2 1有一特點(diǎn)值5為例 2 設(shè)A133,試求 A和2 EA1的特點(diǎn)值及 A的特點(diǎn)向353664量；T別為例 3 設(shè)a 1,a2,anT,b 1,b 2,b nT都是非零向量,且0,記 n 階矩陣AT,試求 A的特點(diǎn)值及特點(diǎn)向量；例 4 設(shè)1,2是矩陣 A的兩個不同的特點(diǎn)值,對應(yīng)的特點(diǎn)向量分1,2,就1A 12線性無關(guān)的

50、充要條件是 1 ）10； 2）20； 3）10； 4）20；1bb例 5 設(shè) n 階矩陣Ab1b,bb11）求 A的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量；2）求可逆矩陣 P,使得P1AP為對角矩陣；題型 2 特點(diǎn)值、特點(diǎn)向量的逆問題1 2 1 2例 6 已知 1 是矩陣 A 5 a 3 的一個特點(diǎn)向量, 試確1 1 b 2定參數(shù) a, 及特點(diǎn)向量 所對應(yīng)的特點(diǎn)值,并問 A能否對角化？例 7 已知三階矩陣 A中意 A i i i i ,1 2 , 3 ,其中 1 ,1 2 , 2 T,2 2 , 2 1, T,3 2 , ,1 2 T,求矩陣 A；a 1 c例 8 設(shè)矩陣 A 5 b 3,其行列式 A 1,又 A的

51、相伴矩1 c 0 a陣 A * 有一個特點(diǎn)值,屬于 的一個特點(diǎn)向量 ,1 1,1 T,求參數(shù)a , b , c 和 的值；題型 3 有關(guān)特點(diǎn)值與特點(diǎn)向量的證明題例 9 設(shè) A為正交矩陣,如 A 1,求證 A確定有特點(diǎn)值 1；例 10 設(shè) A, B 都是 n 階矩陣,證明：1） AB 與 BA有相同的特點(diǎn)值； 2）tr AB tr BA ；例 11 設(shè)n 階矩陣 A中意 A 22 A 5 E O ,證明：對任意實(shí)數(shù) k ,A kE可逆；題型 4 相像的判定及其逆問題2001100A,B是例 12 設(shè)有三階矩陣A001和B010,試判定0100620,否相像？如相像,求出可逆矩陣P,使得BPAP；

52、20010例 13 設(shè)矩陣 A與 B相像,其中A2x2,B020y31100 1 ）求 x和 y 的值； 2）求可逆矩陣 P ,使得BP1AP；題型 5 與方陣的對角化相關(guān)的命題10A23,問 A能否對角化；例 14 設(shè)A014a5a22 aA2EO,證明 A相像于一對角矩例 15 設(shè) n 階矩陣 A中意2陣；例 16 判定矩陣A220是否可以對角化？212020例 17 設(shè) n 階可逆矩陣 A可對角化,證明：角化；A的相伴矩陣也可對題型 6 有關(guān)實(shí)對稱矩陣的命題例 18 已知16 ,233是實(shí)對稱矩陣A的特點(diǎn)值,且對應(yīng)于233的特點(diǎn)向量為21 0,1,T,3,12 1, T,求 A 對應(yīng)于1

53、6的特點(diǎn)向量及矩陣A；題型 7 利用特點(diǎn)值與相像矩陣求行列式例19 設(shè) ,10 ,1T, 矩 陣AT ,n為 正 整 數(shù) , 就aEAn；3A*E,例 20 已知三階矩陣 A的特點(diǎn)值為 1,1,2,設(shè)BA*2試求（ 1）矩陣 B的特點(diǎn)值及其相像標(biāo)準(zhǔn)形；（2）行列式 B 及A*3E；題型 8 利用相像對角化求方陣的冪例 21 三階矩陣 A的特點(diǎn)值分別為10,12,13n3,對應(yīng)的特點(diǎn)113向量依次為：11,21,31,又向量2,011（2）求A0（1）將用1,2,3線性表示； 為正整數(shù)）；IV 本章小結(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)： 1、求矩陣的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量； 2 3、已知矩陣的特點(diǎn)值或特點(diǎn)向量,反求矩陣中的參

54、數(shù)；、矩陣可相像對角矩陣的判定及化矩陣為對角矩陣；第六章二 次 型I 考試大綱要求1、考試內(nèi)容：二次型及其矩陣；標(biāo)準(zhǔn)二次型和規(guī)范二次型；二次型的秩； 矩陣的合同變換和合同等價；慣性定理； 用正交變換和配方法把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)二次型；正定二次型和正定矩陣；2、考試要求： 1）把握二次型及其矩陣, 明白二次型的秩的概念,明白二次型的標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化的概念以及慣性定理；明白矩陣的合同 變換和合同等價； 2 ）把握用正交變換和配方法把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)二次型的方法； 3 ）明白正定二次型和正定矩陣及其性質(zhì)和判別法；重要學(xué)問點(diǎn) II 一、二次型及其矩陣表示1、二次型的定義：以數(shù)域P 中的數(shù)為系數(shù),關(guān)于的二次齊次

55、多項(xiàng)式稱為數(shù)域上的一個元二次型,簡稱二次型；2、二次型的矩陣表示 設(shè) 階對稱矩陣就 元二次型可表示為以下矩陣形式：其中 ；對稱矩陣稱為二次型的系數(shù)矩陣, 簡稱為二次型的矩陣；矩陣 的秩稱為二次型 的秩；二次型與非零對稱矩陣一一對應(yīng)；了一個非零的對稱矩陣作為其系數(shù)矩陣；即,給定一個二次型, 就確定 反之,給定一個非零的對稱矩陣,就確定了一個二次型以給定的對稱矩陣為其系數(shù)矩陣；3、線性變換 設(shè) 和 為兩組變量,關(guān)系式其中 為實(shí)數(shù)域 或復(fù)數(shù)域 中的數(shù),稱為由 到 線性變換,簡 稱線性變換；線性變換的矩陣表示, 設(shè) 階矩陣 ,就從 到 線性變換可表示為 以下矩陣形式：,其中 , , 稱為線性變換的系數(shù)

56、矩陣；1 當(dāng) 時,線性變換稱為非退化的線性變換；2 當(dāng) 是正交矩陣時,稱 為正交線性變換,簡稱正交變換；3 線性變換的乘法；設(shè) 是由 到 的非退化的線性變換, 而 是 到 的非退化的線性變換,就由到 的非退化的線性變換為：；其中 仍是一個二次二次型經(jīng)過非退化的線性變換化為 型；4、矩陣的合同關(guān)系：對于數(shù)域 上的兩個 階矩陣 和 ,假如存在可逆矩陣,使得 就稱 和 是合同的,記為；合同關(guān)系性質(zhì)：1 反身性：；2 對稱性：,就 ；3 傳遞性：,且 ,就 ；5、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形1 實(shí)數(shù)域 或復(fù)數(shù)域 上的任意一個二次型都可經(jīng)過系數(shù)在實(shí) 數(shù)域 或復(fù)數(shù)域 中的非退化線性變換化成平方和形式：其中非零系數(shù)的個數(shù)

57、唯獨(dú)確定,二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形；等于該二次型的秩； 上述形式的2 任何對稱矩陣都與一個對角矩陣合同；3）復(fù)二次型的規(guī)范形：任何復(fù)系數(shù)二次型都可經(jīng)過復(fù)數(shù)域中的非退化線性變換化成如下最簡形式平方和：,其中 唯獨(dú)確定,等于該二次型的秩；上述形式的復(fù)二次型稱為復(fù)二次型的規(guī)范形；任何復(fù)數(shù)域 C上的對稱矩陣都合同于一個形如：的對角矩陣,其中的個數(shù)等于該矩陣的秩；4）實(shí)二次型的規(guī)范形任何實(shí)系數(shù)二次型都可經(jīng)過實(shí)數(shù)域中的非退化線性變換化成如下最簡形式平方和：,其中 和 唯獨(dú)確定, 為二次型的秩；上述形式的實(shí)二次型稱為實(shí)二次型的規(guī)范形, 正平方項(xiàng)的個數(shù) 稱為實(shí)二次型的正慣性指數(shù), 負(fù)平方項(xiàng)的個數(shù) 稱為實(shí)二次型

58、的負(fù)慣性指數(shù),稱為實(shí)二次型的符號差；任何實(shí)數(shù)域 上的對稱矩陣都合同于一個形如：的對角矩陣,其中對角線上非零元素的個數(shù)等于矩陣的秩,的 個數(shù)由對稱矩陣唯獨(dú)確定,稱為它的正慣性指數(shù)；6、利用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形設(shè) 是 階實(shí)對稱矩陣,按以下步驟進(jìn)行： 解特點(diǎn)方程,求出 的全部特點(diǎn)值； 解齊次線性方程組,求出基礎(chǔ)解系, 得到 重特點(diǎn)值的 個線性無關(guān)的特點(diǎn)向量； 利用施密特正交化方法,使得屬于重特點(diǎn)值的個線性無關(guān)向量組正交化,并使其單位化； 將求得的 個單位化正交特點(diǎn)向量組作為矩陣 的列向量,從而得到所需的正交矩陣； 為對角矩陣,其對角元素為 的全部實(shí)特點(diǎn)值,它們在對角矩陣的排列次序,與其特點(diǎn)向量在中的排列次序一樣；對于二次型,令 ,將二次型化成如