2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第25講 蝴蝶問題含解析

1、2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第25講 蝴蝶問題一、解答題 1在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程；(2)若，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線分別交于點(diǎn)，其中，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)。(其坐標(biāo)與無關(guān))2已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.3已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過點(diǎn)C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，

2、N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k12k2，求直線l斜率的值4已知橢圓E：的一個焦點(diǎn)與短軸的兩個端點(diǎn)是正三角形的三個頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：5已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，證明：.6如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于異于的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值

3、37已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（）求橢圓方程；（）設(shè)為橢圓右頂點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于），直線，分別交直線于，兩點(diǎn). 求證：，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.8已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱連接求證：存在實(shí)數(shù)，使得成立9已知點(diǎn)在橢圓：上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：的斜率與直線的斜率乘積為（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過點(diǎn)的直線：（且）與橢圓交于，兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（與點(diǎn)不重合），直線，與軸分別交于兩點(diǎn)，求證：.10橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，在橢圓上，的周長為，

4、面積的最大值為2.（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長交橢圓于，連接，探索與的斜率之比是否為定值并說明理由.11已知橢圓的方程為，在橢圓上，橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，的面積是的面積的倍（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長交橢圓于，連接，指出與之間的關(guān)系，并說明理由12已知橢圓C的方程為，在橢圓上，離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、（1）求橢圓C的方程；（2）直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，連接并延長交橢圓C于D、E兩點(diǎn)，連接，求的值13如圖，B，A是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點(diǎn)，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，.（1）求證

5、：；（2）若直線PQ過定點(diǎn)，求證：.14已知橢圓：的焦距為4，且點(diǎn)在橢圓上，直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，且其斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程； （2）設(shè)，延長分別與橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率為，求證：為定值.15已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（II）設(shè)，延長，分別與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線的斜率為，求證：為定值第25講 蝴蝶問題一、解答題 1在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程；(2)若，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線

6、分別交于點(diǎn)，其中，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)。(其坐標(biāo)與無關(guān))【答案】(1) ； (2) 證明見解析【分析】（1）由橢圓的定義可直接求出求曲線的方程；（2）先求出直線的方程，再分別與橢圓聯(lián)立方程組，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)并寫出直線的方程【詳解】（1）在線段的垂直平分線上，由橢圓的定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，6為長軸長的橢圓，曲線的方程為：。（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為直線方程為：，即，直線方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：.當(dāng)時，直線方程為：令，解得：。此時必過點(diǎn)；當(dāng)時，直線方程為：，與軸交點(diǎn)為。所以直線必過軸上的一定點(diǎn)?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，計(jì)算

7、量大，第二問難度大，是高考壓軸題。2已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題知，解方程即可得，故橢圓的方程是.（2）先討論斜率不存在時的情況易知直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，進(jìn)而聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理得，直線的方程是，直線的方程是，進(jìn)而計(jì)算得時的縱坐標(biāo)，并證明其相等即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，橢圓離心率為，所以，解得，.所以橢圓的方程是.（2）若直線的斜率不存在時，如圖，因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以直線的方程是

8、.所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以直線的方程是，直線的方程是.所以直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以點(diǎn)在直線上.若直線的斜率存在時，如圖.設(shè)斜率為.所以直線的方程為.聯(lián)立方程組消去，整理得.顯然.不妨設(shè)，所以，.所以直線的方程是.令，得.直線的方程是.令，得.所以分子.所以點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】本題第二問解題的關(guān)鍵在于分類討論直線斜率不存在和存在兩種情況，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，寫出直線的方程是和直線的方程是，進(jìn)而計(jì)算得時的縱坐標(biāo)相等即可.考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.3已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過點(diǎn)C(0，1)且斜率大

9、于1的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k12k2，求直線l斜率的值【答案】（1）1；（2）.【分析】(1)由橢圓的離心率,和點(diǎn)P在橢圓上求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2) 由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為ykx1, 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2), 聯(lián)立方程組消去y,再將k12k2用坐標(biāo)表示,利用點(diǎn)在橢圓上和韋達(dá)定理求出直線l的斜率.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為，所以a2c.又因?yàn)閍2b2c2，所以bc.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.又因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，所以1，解得c1.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2) 由橢圓的對稱性可知直線l的斜率

10、一定存在，設(shè)其方程為ykx1.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)聯(lián)立方程組消去y可得(34k2)x28kx80.所以由根與系數(shù)關(guān)系可知x1x2，x1x2.因?yàn)閗1，k2，且k12k2，所以.即.又因?yàn)镸(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上，所以 (4)， (4)將代入可得：，即3x1x210(x1x2)120.所以310120，即12k220k30.解得k或k，又因?yàn)閗1，所以k.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的幾何性質(zhì),考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.4已知橢圓E：的一個焦點(diǎn)與短軸的兩個端點(diǎn)是正三角形的三個頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程

11、；（2）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)a=2b，再將點(diǎn)代入橢圓方程，解方程組即可求解.（2）設(shè)直線l的方程為，將直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得M點(diǎn)坐標(biāo)為，從而求出直線OM方程，將直線與橢圓聯(lián)立，求出點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】（1）由已知，a=2b.又橢圓過點(diǎn)，故，解得.所以橢圓E的方程是.（2）設(shè)直線l的方程為， ，由方程組 得，方程的判別式為，由，即，解得.由得.所以M點(diǎn)坐標(biāo)為，直線OM方程為，由方程組，得.所以.又.所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛

12、：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出M點(diǎn)坐標(biāo)，考查了計(jì)算能力.5已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)b=1，結(jié)合解方程組即可求解；（2）設(shè)直線l的方程為，將直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得中點(diǎn)，從而求出直線OM方程，將直線與橢圓聯(lián)立，求出點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意： ，所以橢圓G的方程為.（2）設(shè)直線l的方程為： 由 消去得： 即，需 即 ， 設(shè)，中點(diǎn)，則，那么直線的方程為:即，由 ，不妨令 ，那么

13、，所以 |MC|MD|=|ME|MF|.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得中點(diǎn)，從而求出直線OM方程，將直線與橢圓再次聯(lián)立，求出點(diǎn)，考查了分析問題、解決問題能力，以及計(jì)算能力.6如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于異于的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值3【答案】（1）；（2）3【分析】（1）由得，再根據(jù)焦距等于其長半軸長可求，故可得橢圓的方程.（2）設(shè)直線方程為，【詳解】解：（1）由題意可知：,，又，有，故橢圓的方程為：（2）由題意知直線的斜

14、率存在，設(shè)其方程為，用的橫坐標(biāo)表示的縱坐標(biāo)，再聯(lián)立的方程和橢圓的方程，消去得，利用韋達(dá)定理化簡的縱坐標(biāo)后可得所求的定值.設(shè)（），聯(lián)立直線方程和橢圓方程得，消去得，,，且有，又，由得，故，整理得到，故故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問題.7已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的

15、短半軸長為半徑的圓與直線相切.（）求橢圓方程；（）設(shè)為橢圓右頂點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于），直線，分別交直線于，兩點(diǎn). 求證：，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.【答案】（）；（）詳見解析.【分析】（）求出后可得橢圓方程.（）當(dāng)直線的斜率不存在，計(jì)算可得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為.當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，則，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達(dá)定理化簡后可得定值.【詳解】解：（）因?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，所以半徑等于原點(diǎn)到直線的距離，即.由離心率，可知，且，得.故橢圓的方程為. （）由橢圓的方程可知.若直線的斜率不存在，則直線方程為，所以.則直線的

16、方程為，直線的方程為.令，得，.所以兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為.若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為,由得，依題意恒成立.設(shè)， 則. 設(shè)，由題意三點(diǎn)共線可知，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.所以綜上，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組，消元后得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系式中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值等問題.8已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為（1）

17、求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱連接求證：存在實(shí)數(shù)，使得成立【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由點(diǎn)可得,由,根據(jù)即可求解；（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可得,設(shè),由韋達(dá)定理可得,再根據(jù)直線的斜率公式求得；由點(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱,可設(shè),可求得,則,即可求證.【詳解】解:（1）由題意可知,又,得,所以橢圓的方程為（2）證明:設(shè)直線的方程為，聯(lián)立,可得,設(shè),則有,因?yàn)?所以,又因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以,即,則有,由點(diǎn)在橢圓上,得,所以,所以,即，所以存在實(shí)數(shù),使成立【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線的斜率公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.9

18、已知點(diǎn)在橢圓：上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：的斜率與直線的斜率乘積為（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過點(diǎn)的直線：（且）與橢圓交于，兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（與點(diǎn)不重合），直線，與軸分別交于兩點(diǎn)，求證：.【答案】（）（）見解析【分析】（）根據(jù)橢圓的中點(diǎn)弦所在直線的斜率的性質(zhì)，得到，得到，再結(jié)合橢圓所過的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，聯(lián)立方程組，求得，進(jìn)而求得橢圓的方程；（）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用韋達(dá)定理得到兩根和與兩根積，將證明結(jié)果轉(zhuǎn)化為證明直線，的斜率互為相反數(shù)，列式，可證.【詳解】（）由題意，即 又聯(lián)立解得所以，橢圓的方程為：.（）設(shè)，由，得，所以，即，又因?yàn)?，所以，解法一：要證明，可轉(zhuǎn)化為證明

19、直線，的斜率互為相反數(shù)，只需證明，即證明. ，.解法二：要證明，可轉(zhuǎn)化為證明直線，與軸交點(diǎn)、連線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即垂直平分即可.直線與的方程分別為：，分別令，得，而，同解法一，可得，即垂直平分.所以，.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何的問題，涉及到的知識點(diǎn)有橢圓方程的求解，用到的結(jié)論有橢圓中點(diǎn)弦所在直線的斜率的特征，再者就是直線與橢圓相交的綜合題，認(rèn)真審題是正確解題的關(guān)鍵，注意正確的等價轉(zhuǎn)化.10橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，在橢圓上，的周長為，面積的最大值為2.（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長交橢圓于，連接，探索與的斜率之比是否為定值并說明理由.【答案】（I）；（II

20、）.【分析】利用的周長為，面積的最大值為列出方程求出a，b即可得到橢圓方程設(shè)，則直線AD：，代入C：，結(jié)合，代入化簡得，設(shè)，利用韋達(dá)定理通過斜率關(guān)系，化簡求解即可【詳解】，得，所以橢圓C的方程為：設(shè)，則直線AD：，代入C：得，因?yàn)椋牖喌?，設(shè)，則，所以，直線，同理可得，所以，所以：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力11已知橢圓的方程為，在橢圓上，橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，的面積是的面積的倍（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長交橢圓于，連接，指出與之間的關(guān)系，并說明理由【答案】(1);(2)見解析

21、.【解析】【分析】（1）由題意可求得，從而可得橢圓的方程（2）設(shè)，則，可得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立后消元可得二次方程，然后根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到點(diǎn)的坐標(biāo)同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，最后通過計(jì)算可得【詳解】（1）由的面積是的面積的倍，可得，即，又，所以，由在橢圓上，可得，所以，可得，所以橢圓的方程為 （2）設(shè)，則，故直線的方程為，由消去整理得， 又，代入上式化簡得，設(shè)，則，所以，又直線的方程為，同理可得， 所以kDE所以【點(diǎn)睛】在解答直線和圓錐曲線位置關(guān)系的問題時，一般要遇到大量的運(yùn)算，所以在解題時為了減少運(yùn)算量要注意合理運(yùn)用“設(shè)而不求”、“整體代換”等方法的運(yùn)用，以減少運(yùn)算，提高解題的效率，

22、盡量避免出現(xiàn)計(jì)算中的錯誤12已知橢圓C的方程為，在橢圓上，離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、（1）求橢圓C的方程；（2）直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，連接并延長交橢圓C于D、E兩點(diǎn)，連接，求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）由在橢圓上，得到，再根據(jù)和，求得的值，即可求解；（2）設(shè)，得到直線，聯(lián)立方程組，結(jié)合，求得，同理求得，結(jié)合斜率公式，化簡，即可求解.【詳解】（1）由在橢圓上，可得，又由離心率，可得，且，解得，所以橢圓C的方程為（2）設(shè)，則，直線，代入，得，因?yàn)?，代入化簡得，設(shè)，則，所以，直線：，同理可得，化簡得，故，即，所以又，所以【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線

23、的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式等進(jìn)行求解，此類問題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力13如圖，B，A是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點(diǎn)，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，.（1）求證：；（2）若直線PQ過定點(diǎn)，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)，代入斜率公式求；（2）設(shè)直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，再根據(jù)（1）的結(jié)論證明.【詳解】（1）設(shè) ；（2）設(shè)直線的方程是，設(shè) 與橢圓方程聯(lián)立， 得：

24、 ， ， ， ， ,由（1）可知，兩式消去，解得：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，定值和定點(diǎn)，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和計(jì)算能力，屬于中檔題型，第二問中設(shè)而不求的基本方法也使得求解過程變得簡單，在解決圓錐曲線與動直線問題中，韋達(dá)定理，弦長公式都是解題的基本工具.14已知橢圓：的焦距為4，且點(diǎn)在橢圓上，直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，且其斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程； （2）設(shè)，延長分別與橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率為，求證：為定值.【答案】(1) (2)見解析 【詳解】試題分析：（1）由題意知，且解得，故橢圓的方程為.（2）聯(lián)立 得，同理得的坐標(biāo)為

25、，表示整理得，從而為定值.試題解析：（1）由題意知，且解得橢圓的方程為.（2）由（1）可得，設(shè)，可得：，聯(lián)立方程 ，同理，直線與橢圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)：，代入可得，為定值.點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).15已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（II）設(shè)，延長，分別與橢圓交于

26、，兩點(diǎn)，直線的斜率為，求證：為定值【答案】（I）；（II）見解析.【解析】試題分析：（I）依題意,得,再由求得,從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（II）設(shè)，可求得直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理可求得,進(jìn)一步可求, 同理,從而可得,化簡運(yùn)算即可.試題解析：（I）由題意，得解得，故橢圓的方程為（II）設(shè)，由已知，直線的方程為，即由消去并整理，得則，同理，為定值點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點(diǎn)，屬于難題求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在

27、的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用第26講 外接圓問題一解答題 1已知拋物線，是的準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上時，求切線，的方程；（2）設(shè)圓是的外接圓，當(dāng)圓的面積最小時，求圓的方程2已知定點(diǎn)，定直線，動圓過點(diǎn)，且與直線相切（）求動圓的圓心軌跡的方程；（）過點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作曲線的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，求外接圓面積的最小值3已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為和，、是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且求橢圓的離心率；設(shè)直線上有一點(diǎn)，

28、在的外接圓上，求的值4已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且其離心率為（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且滿足，求外接圓的方程5已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過拋物線的焦點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，過作兩條直線和，其斜率分別為、，滿足，它們分別是橢圓的上半部分相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)，使得，求證：的外接圓過點(diǎn)；（3）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，是拋物線上的兩個動點(diǎn)，且滿足，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)在上的投影為，求的最大值6如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線與線段、分別交于點(diǎn)、（）當(dāng)時，求以，為焦點(diǎn)，且過中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

29、方程；（）過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，記的外接圓為圓求證：圓心在定直線上；圓是否恒過異于點(diǎn)的一個定點(diǎn)？若過，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請說明理由7已知的邊邊所在直線的方程為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)在邊所在直線上且滿足求邊所在直線的方程；求的外接圓的方程；若點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為正整數(shù)試討論在的外接圓上是否存在點(diǎn)，使得成立？說明理由8過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，（） 證明：為定值；（） 記的外接圓的圓心為點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，對任意實(shí)數(shù)，試判斷以為直徑的圓是否恒過點(diǎn)？并說明理由9已知拋物線，為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，（1）當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，求過，三點(diǎn)的圓的方程；（2）若，是上的任意

30、點(diǎn)，求證：點(diǎn)處的切線的斜率為；（3）證明：以為直徑的圓恒過點(diǎn)10（2020廣州一模）已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，是上的兩個動點(diǎn)，且（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是的外接圓的圓心，求點(diǎn)的軌跡方程第26講 外接圓問題一解答題 1已知拋物線，是的準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上時，求切線，的方程；（2）設(shè)圓是的外接圓，當(dāng)圓的面積最小時，求圓的方程【解答】解：（1）拋物線，準(zhǔn)線的方程，點(diǎn)在軸上，設(shè)，且，由，求導(dǎo)，解得，切線的方程為，即，同理可得切線的方程為，（2）如圖：設(shè)點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為，由，即切線，互相垂直即是直角三角形，的外接圓直徑為弦當(dāng)圓的面

31、積最小時，即是最短時，此時垂直軸，的外接圓圓心為，圓的方程為2已知定點(diǎn)，定直線，動圓過點(diǎn)，且與直線相切（）求動圓的圓心軌跡的方程；（）過點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作曲線的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，求外接圓面積的最小值【解答】解：（）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，依題意設(shè)，則有化簡得所以點(diǎn)的軌跡的方程為（）設(shè)，代入中，得設(shè)，則，所以因?yàn)?，即，所以所以直線的斜率為，直線的斜率為因?yàn)椋?，即為直角三角形所以的外接圓的圓心為線段的中點(diǎn)，線段是直徑因?yàn)?，所以?dāng)時線段最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為3已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為和，、是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且求橢圓

32、的離心率；設(shè)直線上有一點(diǎn)，在的外接圓上，求的值【解答】解：（），且，是和的中點(diǎn)，不妨設(shè)，由，代入得：，即橢圓的離心率；（）由（）知，得，橢圓的方程可設(shè)為若，則，線段 的垂直平分線的方程為，直線與軸的交點(diǎn)是外接圓的圓心因此，外接圓的方程為直線的方程為，于是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組：，由，解得故；若，則，同理可得4已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且其離心率為（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且滿足，求外接圓的方程【解答】解：（1）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，橢圓的離心率為，即聯(lián)立解得：，橢圓的方程為；（2）橢圓的方程為，設(shè)，則，且，即，聯(lián)立解得：，或，或，當(dāng)為時，的外

33、接圓是以為圓心，1為半徑的圓，此時外接圓的方程為：；當(dāng)為時，設(shè)的外接圓方程為：，則，解得，此時外接圓的方程為：，綜上所述，的外接圓的方程為：或5已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過拋物線的焦點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，過作兩條直線和，其斜率分別為、，滿足，它們分別是橢圓的上半部分相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)，使得，求證：的外接圓過點(diǎn)；（3）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，是拋物線上的兩個動點(diǎn)，且滿足，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)在上的投影為，求的最大值【解答】（1）解：由已知，設(shè)橢圓的方程為，則，離心率為，橢圓的方程為；（2）證明：由題意，并且和，關(guān)于軸對稱，與，與也分別關(guān)于軸對稱，

34、的方程代入橢圓方程，可得，或，或，直線是橢圓的上半部分相交，和的方程分別為或，令，可得，四點(diǎn)共圓，的外接圓過點(diǎn)；（3）設(shè)，則，由拋物線的定義及梯形的中位線定理可得，時，的最大值為6如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線與線段、分別交于點(diǎn)、（）當(dāng)時，求以，為焦點(diǎn)，且過中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，記的外接圓為圓求證：圓心在定直線上；圓是否恒過異于點(diǎn)的一個定點(diǎn)？若過，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請說明理由【解答】解：（）設(shè)橢圓的方程為，當(dāng)時，中點(diǎn)為，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（）證明：直線；所以可得，直線交于點(diǎn)，設(shè)的外接圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為圓心在定直線上；由可得圓的方程為：整理可得，且聯(lián)

35、立此兩方程解得，或，圓恒過異于點(diǎn)的一個定點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)為，7已知的邊邊所在直線的方程為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)在邊所在直線上且滿足求邊所在直線的方程；求的外接圓的方程；若點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為正整數(shù)試討論在的外接圓上是否存在點(diǎn)，使得成立？說明理由【解答】解：，又在上，為，（1分）又邊所在直線的方程為，所以直線的斜率為（2分）又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程為即（3分）與的交點(diǎn)為，所以由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，（5分）（6分）又（7分）從外接圓的方程為：（8分）若在的外接圓圓上存在點(diǎn)，使得成立，則為線段的垂直平分線與圓的公共點(diǎn)所以當(dāng)與圓相離時，不存在滿足條件的點(diǎn)；當(dāng)與圓相交或相切時則存在滿足條件的點(diǎn)由，知的斜率為，線段的中點(diǎn)為線段的垂直平分線為（10分）圓的圓心到直線的距離為（11分）當(dāng)時，此時直線與圓相交，存在滿足條件的點(diǎn)當(dāng)時，此時直線與圓相交，存在滿足條件的點(diǎn)當(dāng)時，此時直線與圓相離，不存在滿足條件的