微分幾何曲面局部理論課件

1、 微 分 幾 何 2011.04 - 06 講師 沈玉萍 微 分 幾 何 2 第二章 曲面：局部理論第一節(jié) 參數(shù)曲面和第一基本形式第二節(jié) Gauss映射和第二基本形式第三節(jié) G-C方程和曲面基本定理第四節(jié) 協(xié)變微分，平行移動(dòng)和測(cè)地線 第二章 曲面：局部理論第一節(jié) 參數(shù)曲面和第一基本形式 第二章 曲面：局部理論第二節(jié) Gauss映射和第二基本形式定義 給定正則參數(shù)曲面 ，單位法向量對(duì)應(yīng)的映射 稱為曲面 的Gauss映射。 第二章 曲面：局部理論第二節(jié) Gauss映射和第二基本 第二章 曲面：局部理論曲面的很多幾何性質(zhì)體現(xiàn)在其Gauss映射中，例如平面的切平面不變，Gauss映射為常值函數(shù)；圓柱的

2、切平面沿著母線不變，則Gauss映射將圓柱面映射到球面的一個(gè)圓周上；圓心在原點(diǎn)的球面， Gauss映射就是位置向量的單位化。 第二章 曲面：局部理論曲面的很多幾何性質(zhì)體現(xiàn)在其Gau 第二章 曲面：局部理論思路：曲面 在點(diǎn) 的形狀，可以由曲面 上經(jīng)過(guò)點(diǎn) 的曲線的曲率來(lái)描述。 第二章 曲面：局部理論思路：曲面 在點(diǎn) 的形狀 第二章 曲面：局部理論定義 在點(diǎn) 由單位切方向 和單位法向量 決定的平面稱為曲面在點(diǎn) 由此切方向 確定的法截面。法截面與曲面的交線稱為曲面在點(diǎn) 的一條法截線。假設(shè)某條法截線由弧長(zhǎng)參數(shù)表示則它在點(diǎn) 的主法向量 為 ，曲率 第二章 曲面：局部理論定義 在點(diǎn) 由單位切方向 第二章 曲

3、面：局部理論命題 對(duì)任意切向量 ， 的方向?qū)?shù) 仍然是切向量。由此定義的映射是一個(gè)對(duì)稱的線性映射，即我們稱 為曲面在點(diǎn) 的形狀算子，或者Weingarten映射。 第二章 曲面：局部理論命題 對(duì)任意切向量 第二章 曲面：局部理論證明 假設(shè)法截線有弧長(zhǎng)參數(shù)表示考慮到 是單位向量，滿足所以 成立。另外 關(guān)于向量 自然是線性的。 第二章 曲面：局部理論證明 假設(shè)法截線有弧長(zhǎng)參數(shù)表示 第二章 曲面：局部理論利用向量函數(shù)的混合偏導(dǎo)來(lái)證明當(dāng)時(shí) 滿足:對(duì)于 ，都可以寫成 和 的線性組合，容易驗(yàn)證對(duì)稱性成立。 第二章 曲面：局部理論利用向量函數(shù)的混合偏導(dǎo)來(lái)證明當(dāng) 第二章 曲面：局部理論命題 如果曲面 任意一點(diǎn)

4、 的形狀算子 都是零，則 是平面（的一部分）。證明 由于那么對(duì)于 點(diǎn)附近的任意一個(gè)正則參數(shù)表示有由連通性可以得出 是常向量，即曲面是平面。 第二章 曲面：局部理論命題 如果曲面 任意一點(diǎn) 第二章 曲面：局部理論例1 是半徑為 ，中心在原點(diǎn)的的球面，則在局部參數(shù)表示下Gauss映射為它的形狀算子滿足所以它在每點(diǎn)切平面上都是的數(shù)量線性變換 。 第二章 曲面：局部理論例1 是半徑為 ，中 第二章 曲面：局部理論對(duì)于一般的曲面，我們不容易直接寫出形狀算子在切平面的局部標(biāo)架 下的矩陣形式。但是形狀算子的關(guān)于內(nèi)積的對(duì)稱性誘導(dǎo)我們定義曲面的第二基本形式特別的對(duì)于 第二章 曲面：局部理論對(duì)于一般的曲面，我們不

5、容易直接寫 第二章 曲面：局部理論在 點(diǎn)鄰域上的有正則參數(shù)表示 ，有自然的基底 ，我們定義曲面的第二類基本量 第二章 曲面：局部理論在 點(diǎn)鄰域上的有正則參數(shù)表示 第二章 曲面：局部理論曲面的第二基本形式局部參數(shù)表示下有對(duì)稱矩陣形式類似第一基本形式，我們得到曲面的第二基本形式的二次微分形式 第二章 曲面：局部理論曲面的第二基本形式局部參數(shù)表示下 第二章 曲面：局部理論如果 是單位正交標(biāo)架，則矩陣 就是形狀算子 。但是一般情形下， 有矩陣表示作為實(shí)對(duì)稱矩陣， 可以對(duì)角化，它有兩個(gè)實(shí)特征值，記為 和 。 第二章 曲面：局部理論如果 是單位正交標(biāo)架 第二章 曲面：局部理論定義 曲面 在點(diǎn) 處的形狀算子

6、 的特征值稱為曲面在此點(diǎn)的主曲率；對(duì)應(yīng)的特征方向稱為主方向。如果曲面上的曲線每一點(diǎn)的切方向都是主方向，那么這條曲線稱為曲率線。曲面在任意點(diǎn) 的兩個(gè)主方向是正交的，于是我們可以選擇了切平面 的一個(gè)正交基底恰好由主方向向量構(gòu)成。 第二章 曲面：局部理論定義 曲面 在點(diǎn) 處的 第二章 曲面：局部理論定理（Euler公式）令 為曲面 在點(diǎn) 的單位主方向，分別對(duì)應(yīng)主曲率 和 。假設(shè)切向量 ，其中 。 則證明：略。 第二章 曲面：局部理論定理（Euler公式）令 第二章 曲面：局部理論注意到球面在任意一點(diǎn)的任意方向的法截線都有相同的（非零）曲率；下圖馬鞍面的有些法截線恰好是直線。 第二章 曲面：局部理論注

7、意到球面在任意一點(diǎn)的任意方向的 第二章 曲面：局部理論定義 如果曲面 切向量 確定的法截線點(diǎn) 處的曲率為零 ，即 我們稱 為 在點(diǎn) 的一個(gè)漸近方向。 如果曲面上的曲線每一點(diǎn)的切方向都是漸近方向，那么這條曲線稱為漸近線。如果曲面包含直線，則直線為漸近線。 第二章 曲面：局部理論定義 如果曲面 切向量 第二章 曲面：局部理論推論 曲面 在點(diǎn) 處有漸近方向當(dāng)且僅當(dāng) 證明 首先 當(dāng)且僅當(dāng) 是漸近方向。然后不妨設(shè) 。如果 ，那么 反過(guò)來(lái)，由 ，我們很容易構(gòu)造漸近方向 。 第二章 曲面：局部理論推論 曲面 在點(diǎn) 第二章 曲面：局部理論例2 如圖所示圓柱螺面是 一個(gè)直紋面，它所有的 直母線明顯都是漸近線。

8、另外，不太明顯的， 其上的一族圓柱螺線 也都是漸近線。 第二章 曲面：局部理論例2 如圖所示圓柱螺面是 第二章 曲面：局部理論事實(shí)上，如右圖所示，在點(diǎn)處的沿圓柱螺線單位切向量的法截線在點(diǎn) 為拐點(diǎn)。因此，圓柱螺線是圓柱螺面上的漸近線。具體計(jì)算為作業(yè)。 第二章 曲面：局部理論事實(shí)上，如右圖所示，在點(diǎn) 第二章 曲面：局部理論假設(shè) 為曲面 上一條弧長(zhǎng)參數(shù)曲線，滿足那么由之前的計(jì)算得到它給出了曲線 的曲率向量 在曲面 的單位向量上的投影，我們稱它為 在點(diǎn) 處的法曲率，記為 。 第二章 曲面：局部理論假設(shè) 為曲面 上一條 第二章 曲面：局部理論（Meusnier公式）假設(shè) 為曲面 上在點(diǎn) 的單位切向量為

9、的一條曲線，則 其中 為曲線主法向量 和曲面單位法向量 的夾角。曲面上曲線在某一點(diǎn)的法曲率只取決于此點(diǎn)的切向量。漸近線的法曲率處處為零。 第二章 曲面：局部理論（Meusnier公式）假設(shè) 第二章 曲面：局部理論主曲率是法曲率的最大值和最小值。不妨假設(shè) ，則由Euler公式得法曲率的最大值和最小值出現(xiàn)在互相正交的方向上。 第二章 曲面：局部理論主曲率是法曲率的最大值和最小值。 第二章 曲面：局部理論下面我們介紹曲面理論中極其重要的一些概念。定義 曲面 在點(diǎn) 處的兩個(gè)主曲率的乘積 稱為 在點(diǎn) 的 Gauss曲率；主曲率的平均值稱為 在點(diǎn) 的中曲率（平均曲率）。 第二章 曲面：局部理論下面我們介紹

10、曲面理論中極其重要的 第二章 曲面：局部理論定義 曲面 在點(diǎn) 處的主曲率滿足則稱為點(diǎn) 為曲面 的臍點(diǎn)。特別的， 稱 為平點(diǎn)。如果 ，且 不是平點(diǎn)，則稱 為拋物點(diǎn)；如果 ，則稱 為橢圓點(diǎn)；如果 ，則稱 為雙曲點(diǎn)。 第二章 曲面：局部理論定義 曲面 在點(diǎn) 處的 第二章 曲面：局部理論例3 環(huán)面的外側(cè)均為橢圓點(diǎn)，上下圓周為拋物點(diǎn)，內(nèi)側(cè)均為雙曲點(diǎn)。 第二章 曲面：局部理論例3 環(huán)面的外側(cè)均為橢圓點(diǎn)，上 第二章 曲面：局部理論例4 偽球面有參數(shù)表示 其中 如圖它是由曳物線得到的旋轉(zhuǎn)面。 第二章 曲面：局部理論例4 偽球面有參數(shù)表示 第二章 曲面：局部理論經(jīng)線是曲率線，并且在經(jīng)線確定的平面上，主法向量 和

11、曲面的法向量 一致。計(jì)算經(jīng)線的曲率以初始 曲線為例： 第二章 曲面：局部理論經(jīng)線是曲率線，并且在經(jīng)線確定的平 第二章 曲面：局部理論所以曲面的一個(gè)主曲率為 第二章 曲面：局部理論 第二章 曲面：局部理論圓緯線是曲率線，曲率為 ，但這不是法曲率。由于 和 的夾角 ，利用Meusnier公式得到 第二章 曲面：局部理論圓緯線是曲率線，曲率為 第二章 曲面：局部理論中曲率為零 的曲面稱為極小曲面，如懸鏈面。它的兩個(gè)主曲率為相反數(shù)，因此它只有平點(diǎn)或者雙曲點(diǎn)，沒有橢圓點(diǎn)。 第二章 曲面：局部理論中曲率為零 的曲面 第二章 曲面：局部理論中曲率 為非零常數(shù)的例子：球面，圓柱面等。Gauss曲率 為零的例子

12、：平面，圓柱面，圓錐面等。Gauss曲率 為非零常數(shù)的例子：球面，偽球面等。 第二章 曲面：局部理論 第二章 曲面：局部理論第三節(jié) Gauss-Codazzi方程和曲面基本定理 給定正則參數(shù)曲面 ，它的局部正則參數(shù)表示 給出了 的一組基底 。之前的第二類基本形式基本量 恰好是二階微分向量 在單位法向量 上的投影。 第二章 曲面：局部理論第三節(jié) Gauss-Codazz 第二章 曲面：局部理論現(xiàn)在我們考慮上述二階微分向量在基底 下的線性表示：函數(shù) 被稱為Christoffel記號(hào)，滿足對(duì)稱性 第二章 曲面：局部理論現(xiàn)在我們考慮上述二階微分向量在基 第二章 曲面：局部理論例1 單位球面 給定一個(gè)參

13、數(shù)表示計(jì)算它的Christoffel記號(hào) 。解：首先局部基底是 第二章 曲面：局部理論例1 單位球面 給定一個(gè)參 第二章 曲面：局部理論繼續(xù)求導(dǎo)計(jì)算 第二章 曲面：局部理論繼續(xù)求導(dǎo)計(jì)算 第二章 曲面：局部理論容易得到又由推出所以 第二章 曲面：局部理論容易得到 第二章 曲面：局部理論對(duì)于一般的曲面，我們考慮內(nèi)積 第二章 曲面：局部理論對(duì)于一般的曲面，我們考慮內(nèi)積 第二章 曲面：局部理論觀察得到 第二章 曲面：局部理論觀察得到 第二章 曲面：局部理論寫成矩陣形式 第二章 曲面：局部理論寫成矩陣形式 第二章 曲面：局部理論同理 第二章 曲面：局部理論同理 第二章 曲面：局部理論利用(eq-2)驗(yàn)證

14、例1的結(jié)果 第二章 曲面：局部理論利用(eq-2)驗(yàn)證例1的結(jié)果 第二章 曲面：局部理論形狀算子 在基底 下有矩陣表示這里涉及的是向量 的一階微分 第二章 曲面：局部理論形狀算子 在基底 第二章 曲面：局部理論這保證我們能繼續(xù)對(duì)等式(eq-1）繼續(xù)求偏微分 第二章 曲面：局部理論這保證我們能繼續(xù)對(duì)等式(eq-1 第二章 曲面：局部理論由于 ，比較線性表示的系數(shù)得到 第二章 曲面：局部理論由于 ，比較 第二章 曲面：局部理論同理由 ，比較系數(shù)得到 第二章 曲面：局部理論同理由 ，比 第二章 曲面：局部理論由上述兩組等式(eq-4)和(eq-5)中法向量的系數(shù)得到的是曲面的 Codazzi方程 第

15、二章 曲面：局部理論由上述兩組等式(eq-4)和(e 第二章 曲面：局部理論利用 ，(eq-3)， (eq-4)和(eq-5)得到的是曲面的 Gauss方程 第二章 曲面：局部理論利用 ，( 第二章 曲面：局部理論當(dāng) 時(shí)，由Gauss方程我們得到（習(xí)題）定理(Gausss Theorema Egregium）曲面的Gauss曲率由曲面的第一基本形式?jīng)Q定，即它在曲面的局部等距對(duì)應(yīng)下保持不變。 第二章 曲面：局部理論當(dāng) 時(shí)，由Gauss方 第二章 曲面：局部理論Gauss曲率的定義利用了曲面在空間的位置，但實(shí)際上卻并不依賴于位置而只依賴于曲面的度量結(jié)構(gòu)（第一基本形式）；專門研究曲面上由第一基本形式

16、決定的幾何學(xué)稱為內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，它在高維的推廣就是Riemann 幾何學(xué)。 第二章 曲面：局部理論 第二章 曲面：局部理論GaussCodazzi方程被稱為曲面論的相容性方程。通過(guò)逐次微分或任何別的手段，我們不能在曲面的第一基本形式和第二基本形式基本量 及其導(dǎo)數(shù)之間得到更多的關(guān)系式。 事實(shí)上，第一基本形式和第二基本形式局部上決定了曲面。 第二章 曲面：局部理論GaussCodazzi方程被 第二章 曲面：局部理論曲面論基本定理唯一性： 兩個(gè)正則參數(shù)曲面 只相差一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)，即存在 使得 當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的第一基本形式 和第二基本形式 。 第二章 曲面：局部理論曲面論基本定理 第二章 曲面：局部理

17、論存在性： 給定區(qū)域 上函數(shù) 滿足 和GaussCodazzi方程，則每一點(diǎn) 局部上存在鄰域 和正則參數(shù)曲面 滿足 第二章 曲面：局部理論存在性： 第二章 曲面：局部理論曲面論基本定理的存在性部分要用到到偏微分方程組的解的存在定理，其中GaussCodazzi方程保證了對(duì)應(yīng)的偏微分方程組的可積性。曲面論基本定理的唯一性部分和曲線論基本定理類似。要注意的區(qū)別是曲面的局部自然標(biāo)架不是單位正交的。 第二章 曲面：局部理論曲面論基本定理的存在性部分要用到 第二章 曲面：局部理論第四節(jié) 協(xié)變微分，平行移動(dòng)和測(cè)地線曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何概念之一：“平行移動(dòng)”。 如何比較曲面上任意兩點(diǎn)的切向量?怎么判斷它們是否平行

18、？ 第二章 曲面：局部理論第四節(jié) 協(xié)變微分，平行移動(dòng)和測(cè)地 第二章 曲面：局部理論定義：給定正則參數(shù)曲面 ，向量函數(shù) 稱為 上一個(gè)（切）向量場(chǎng)，如果它滿足（1）（2）對(duì)于曲面任意的正則參數(shù)表示 函數(shù) 都是連續(xù)可微的。 第二章 曲面：局部理論定義：給定正則參數(shù)曲面 ， 第二章 曲面：局部理論 于是我們可以考慮對(duì)曲面上的切向量場(chǎng) 求關(guān)于切向量 的方向?qū)?shù)： 選取曲面上的一條參數(shù)曲線 滿足 則注意:曲面上“居民”只看得到上述向量在曲面切平面的投影！ 第二章 曲面：局部理論 于是我們可以考慮對(duì)曲面上的切 第二章 曲面：局部理論定義 曲面 上的可微切向量場(chǎng) 關(guān)于切向量 的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為給定 上曲線 ，如果則

19、稱向量場(chǎng) 沿參數(shù)曲線 平行。 第二章 曲面：局部理論定義 曲面 上的可微切向 第二章 曲面：局部理論例1 單位球面 上任意一個(gè)大圓 的切向量場(chǎng) 是單位切向量場(chǎng)，恰好是指向球心，所以球面上大圓的切向量場(chǎng)沿著大圓平行。另外常向量場(chǎng) 沿著球面的赤道平行。 第二章 曲面：局部理論例1 單位球面 上任意一個(gè) 第二章 曲面：局部理論例2 曲面 上參數(shù)曲線上對(duì)應(yīng)的切向量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)恰好可以由Christoffel記號(hào)表示。 在給定局部參數(shù)表示 下 第二章 曲面：局部理論例2 曲面 上參數(shù)曲線上對(duì) 第二章 曲面：局部理論命題 設(shè) 是曲面 上一條參數(shù)曲線，且 ，切向量 。則沿著 存在唯一的平行向量場(chǎng) 使得 。證

20、明：不妨設(shè)曲線 包含在某個(gè)參數(shù)表示中，有 。進(jìn)一步假設(shè) 第二章 曲面：局部理論命題 設(shè) 第二章 曲面：局部理論由于 ，我們計(jì)算 第二章 曲面：局部理論由于 第二章 曲面：局部理論 是沿著 的平行向量場(chǎng)當(dāng)且僅當(dāng)是下列方程組的解：由微分方程解的存在唯一性定理，只要取定了 ，使得 ，我們就得到唯一的平行向量場(chǎng) 滿足 。 第二章 曲面：局部理論 是沿著 的平行向量場(chǎng) 第二章 曲面：局部理論定義 設(shè) 是曲面 上一條參數(shù)曲線，且起始點(diǎn)為 。 是沿 的平行向量場(chǎng)，則向量 稱為 沿 到點(diǎn) 的平行移動(dòng)。之前的命題的存在唯一性結(jié)論保證了平行移動(dòng)定義的合理性。如果曲線 是正則的，則平行移動(dòng)不依賴于 的參數(shù)表示。 第

21、二章 曲面：局部理論定義 設(shè) 第二章 曲面：局部理論例3 單位球面上緯線圓 ，考慮向量 從點(diǎn) 出發(fā)沿著緯線逆時(shí)針的平行移動(dòng)。 第二章 曲面：局部理論例3 單位球面 第二章 曲面：局部理論解：將單位球面Christoffel記號(hào)的計(jì)算結(jié)果帶入方程(eq-1)中得到加上初始值條件 ，解得觀察到 。平行移動(dòng)保持切向量的長(zhǎng)度不變？ 第二章 曲面：局部理論解：將單位球面Christoff 第二章 曲面：局部理論命題 假設(shè) 和 是沿 的兩個(gè)平行向量場(chǎng)，則內(nèi)積 為常數(shù)。 推論 平行移動(dòng)保持向量的長(zhǎng)度和夾角。證明：向量場(chǎng) 沿 平行，則 與平行，則同理 第二章 曲面：局部理論命題 假設(shè) 和 是沿 第二章 曲面：

22、局部理論平面中“直線”在曲面的推廣“測(cè)地線”。 曲面上兩點(diǎn)之間的最短連線是什么？定義 曲面 上一條非常值參數(shù)曲線 稱為測(cè)地線（geodesic），如果切向量場(chǎng) 沿 平行，即測(cè)地線滿足 ，參數(shù)曲線正則，可以引進(jìn)弧長(zhǎng)參數(shù) 。 第二章 曲面：局部理論平面中“直線”在曲面的推廣“ 第二章 曲面：局部理論曲面上以弧長(zhǎng)為參數(shù)的測(cè)地線 的曲率向量 在曲面的切平面上投影為零，即測(cè)地線在每點(diǎn)的主法向量與曲面的法向量平行。 這里曲線的曲率向量在曲面法向量上的投影恰好是曲線的法曲率。 第二章 曲面：局部理論曲面上以弧長(zhǎng)為參數(shù)的測(cè)地線 第二章 曲面：局部理論曲面 上一條弧長(zhǎng)參數(shù)曲線 在考慮法曲率時(shí)，我們實(shí)際上引入了有

23、別于Frenet標(biāo)架的另一個(gè)標(biāo)架 （Darboux標(biāo)架）。 第二章 曲面：局部理論曲面 上一條弧長(zhǎng)參數(shù)曲線 第二章 曲面：局部理論此時(shí)，曲率向量可以分解為其中法曲率 是曲率的法分量，而 是曲率的切分量，稱為曲面上曲線的測(cè)地曲率（geodesic curvature)。曲線是曲面測(cè)地線當(dāng)且僅當(dāng)它的測(cè)地曲率為零。例1證明球面上的大圓是測(cè)地線。 第二章 曲面：局部理論此時(shí)，曲率向量可以分解為 第二章 曲面：局部理論定理（Liouville公式）假設(shè) 是曲面 上的正交參數(shù)表示， 是 上的一條曲線，其中 是弧長(zhǎng)參數(shù)。 假定曲線 與 曲線的夾角為 ，則曲線 的測(cè)地曲率為 第二章 曲面：局部理論定理（Liouville公式）假 第二章 曲面：局部理論證明： 曲線和 曲線的單位切向量為 曲線 的切向量夾角 滿足Darboux標(biāo)架中 第二章 曲面：局部理論