抽象函數(shù)問題的求解策略探究

1、PAGE PAGE 7抽象函數(shù)問題的求解策略探究湖南省 黃愛民 趙長春函數(shù)是每年高考的熱點，而抽象函數(shù)性質的運用又是函數(shù)的難點之一。抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質或運算法則。此類函數(shù)試題既能全面地考查學生對函數(shù)概念的理解及性質的代數(shù)推理和論證能力，又能綜合考查學生對數(shù)學符號語言的理解和接受能力，以及對一般和特殊關系的認識。因此備受命題者的青睞，在近幾年的高考試題中不斷地出現(xiàn)。然而，由于這類問題本身的抽象性和其性質的隱蔽性，大多數(shù)學生在解決這類問題時，感到束手無策。下面通過例題來探討這類問題的求解策略。一、具體模模型策略略例1已知知函數(shù)ff(x)對一切切

2、實數(shù)xx、y滿滿足f(0)0，ff(x+y)=f(xx)(yy),且且當x0時，ff(x)1,則當xx0時時f(xx)的取取值范圍圍是。解析：令ff(x)=axx(0a11)易得得0ff（x）1。評析：借助助特殊函函數(shù)直接接解抽象象函數(shù)客客觀題是是常用的的解題處處理方法法，可以以迅速得得到正確確答案。二、類比聯(lián)聯(lián)想策略略例2已知知f(xx)是定定義在實實數(shù)集上的函函數(shù)，且且f(xx2)1f(xx)=1ff(x)，f(2)=1,則ff(20006)=（ ）分析：由條條件知，ff(x+2)= （*），又又f(1)2 ，逐步步推出ff(20006)，顯然然比較繁繁鎖，若若將（*）式與與進行類類比，則

3、則結構形形式類似似，而yy=tanx的的周期為為=4.于是便便產生一一個念頭頭：f(x)也也有可能能是周期期函數(shù)，周周期為44288.于是猜想成成立。f(20006)ff(825006)ff(6)ff(228)從而應應選B。評析：由于于抽象函函數(shù)的結結論對任任何滿足足條件的的具體函函數(shù)都成成立，因因而可以以通過考考察一些些具體函函數(shù)，巧巧妙類比比聯(lián)想，以以找到解解題的突突破口，最最后利用用具體函函數(shù)的一一些性質質探索出抽抽象函數(shù)數(shù)的解題題思路。三、運用函函數(shù)性質質策略例3定義義在上的的單調函函數(shù)滿足足，且對對任意的的、都有（1）求證證：為奇奇函數(shù)（22）若對對任意恒恒成立，求求實數(shù)的的取值范范

4、圍。解：令,代代入 得: 令代入入上式得得：，又即 對任任意成立立，是奇函數(shù)數(shù)(2),又又在R上單單調且， 故是上的增增函數(shù)，又又由（11）知為奇函函數(shù)恒成立，只只需評析：函數(shù)數(shù)的特征征是通過過其性質質（如奇奇偶性、單單調性、周周期性、特殊點點等）反反應出來來的，抽抽象函數(shù)數(shù)也是如如此只只有充分分挖掘和和利用題題設條件件和隱含含的性質質，靈活活進行等等價轉化化，抽象象函數(shù)問問題才能能峰回路路轉，化化難為易易，常用用的解題題考法有有：利用奇奇偶性整整體思考考；利用單單調性等等價轉化化；利用周周期性回回歸已知知，利用對對稱性數(shù)數(shù)形結合合；借助特特殊點，列列方程（組組）等四、賦值換換元策略 例4是是

5、否存在在函數(shù)同同時滿足足下列三三個條件件：（1）；（22）；（3）？若若存在，求求的表達達式；若若不存在在，請說說明理由由。分析：條件件(1)中、的任意意性，隱隱含著、既可“換元”，又可可“賦值”，結合合條件(2)和和(3)，可望望構造出出函數(shù)方方程組，從從而求得得函數(shù)表表達式。令，得令， 得得令， 得將 = 1 * GB3 + = 2 * GB3 - = 3 * GB3 得，故存在在符合題題意。評析：對于于用常規(guī)規(guī)解法難難以解決決的數(shù)學學問題，若若利用一一些特殊殊的數(shù)學學思想方方法求解解，有時時會收到到事半功功倍的效效果。方方程觀點點是處理理數(shù)學問問題的一一個基本本觀點，挖挖掘隱含含條件，合

6、合理賦值值，構造造方程（組組），化化函數(shù)問問題為方方程問題題，可使使這類抽抽象函數(shù)數(shù)問題迅迅速獲解解。如(1)在在求函數(shù)數(shù)解析式式或研究究函數(shù)性性質時，一一般用“代換”的方法，將將x 換換成-xx或將xx 換成成等； (2)在求函函數(shù)值時時，可用用特殊值值（如00或1或或一1)代人人”； (3)研研究抽象象函數(shù)的的具體模模型，用用具體模模型解選選擇題、填填空題，或或由具體體模型函函數(shù)對綜合合題的解解答提供供思路和和考法，或或反證、逆逆推諸法法共用五、分類討討論策略略 例55設f（xx）是定定義在（-，+）上的的增函數(shù)數(shù)，問是是否存在在實數(shù)kk，使不不等式ff（k+sinn2x）f（k-4）（s

7、inx+cosx）對任意xR恒成立？并說明理由。 分析：令令sinnx+ccosxx =tt，則ssin22x = t22-1 ，原不不等式對對一切xxR恒成成立，等等價于不不等式（t）= t22 -（kk-4）tt+（kk-1）0對任意t恒成立，下列分三種情況討論： （1）當0時時，（t）0，對對t恒成立立，由=-4（kk-1）=（k-2）（kk-100）00得2k110；（2）當=0時時，k=2或kk=100，此時時拋物線線t2 -（kk-4）tt+（kk-1）的的頂點橫橫坐標tt= -11或t=3，（t）0對任任意t恒成立立；（t）= t22 -（kk-4）tt+（kk-1）0 （3）當

8、當0時時，（t）0對任任意t恒成立立的充要要條件是是： 綜上上所述得得k的取值值范圍是是.評析：對于于參數(shù)的的抽象函函數(shù)問題題，通過過挖掘隱隱含條件件，尋求求分類標標準，逐逐類討論論，分而而治之是是解題的的常用方方法.六、整體求求解策略略例6、已知知f(xx)，gg(x)為奇函函數(shù),FF(x)=aff(x)+bgg(x)+3（aa，b為為常數(shù)）若若F(44)=4,則則F(4)=_ 。解:設(x)=af(x)+bg(x),則(x)=F(x)3，由由題設可可知(x)為奇函函數(shù)，(44)=(4)即F(44)33=F(44)33，故故F(4)=10評析：運用用整體思思想求解解，即先先化整體體為局部部，

9、再由由各局部部的解決決使問題題獲解。七、正難則則反策略略例7已知知f(xx)在實實集上上是增函函數(shù)，aa，b都都是實數(shù)數(shù)，若ff(a)+f(b)f(a)+f(b),求證：a+bb0。分析：本題題若用直直接證法法顯然無無從下手手，但考考慮用反反證法則則問題可可以很快快解決。證明：假設設a+bb0，則ab,ba,因為f(x)是上的增函數(shù)，故f(a)f(b),f(b)f(a)，兩式相加：f(a)+f(b)f(a)+f(b),這與條件f(a)+f(b)f(a)+f(b)矛盾，故假設不成立，于是a+b0。八、數(shù)形轉轉化策略略例8已知知f(xx)是上的奇奇函數(shù)，在在區(qū)間（，）上是是增函數(shù)數(shù)，又ff(33)，那么么xf(xx)00的解集集是（ ）、x|3x00或x3 、x|xx或x33 、x|x或x3 、xx|33x0或x3解：根據題題設條件件可畫出出函數(shù)yy=f(x)的的示意草草圖，如如上圖f(3)=ff(33)=00, 而而xf(xx)00 x與ff(x)異號，由由圖象知知3x00或0 x33，從而正確的的答案為為()評析：對于于抽象函函數(shù)，若若能依據據條件所所給出的的函數(shù)性性質，畫畫出相