2023屆河南省頂級(jí)名校高三上學(xué)期第一次月考試題數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 2 2頁(yè)，共 =sectionpages 4 4頁(yè)2023屆河南省頂級(jí)名校高三上學(xué)期第一次月考試題數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)不等式及分式不等式的解法求出集合，結(jié)合集合的補(bǔ)集及交集的定義即可求解.【詳解】由，得，所以.由，得，所以，所以，故選：B.2已知復(fù)數(shù)、，滿足，則（）ABCD【答案】B【分析】先證明復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：已知、為復(fù)數(shù)，則，利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】先證明復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：已知、為復(fù)數(shù)，則，設(shè)，所以，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，則，由，故.故選：B.3若是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為（）A30B60C120D1

2、50【答案】C【分析】先求得的值，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則求得以及的模，再根據(jù)向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故 ，故 ，由于 ，故，故選：C4執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸出,那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()ABCD【答案】B【分析】根據(jù)框圖,進(jìn)行循環(huán)計(jì)算,當(dāng)時(shí),即可退出,進(jìn)而求得判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件.【詳解】當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)故可知判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是:故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)輸出結(jié)果求判斷框應(yīng)填入的條件,解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)框圖計(jì)算的方法和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則,考查了計(jì)算能力和分析能力,屬于基礎(chǔ)題.5生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），與死亡年數(shù)

3、之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中為常數(shù)），大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”若2021年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的，則可推斷該文物屬于（）參考數(shù)據(jù)：參考時(shí)間軸：A宋B唐C漢D戰(zhàn)國(guó)【答案】D【分析】根據(jù)給定條件可得函數(shù)關(guān)系，取即可計(jì)算得解.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，而與死亡年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為，則有，解得，于是得，當(dāng)時(shí)，于是得：，解得，由得，對(duì)應(yīng)朝代為戰(zhàn)國(guó)，所以可推斷該文物屬于戰(zhàn)國(guó).故選：D6紅海行動(dòng)是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國(guó)海軍“蛟龍突擊隊(duì)”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事撤僑過(guò)程中，海軍艦長(zhǎng)要求隊(duì)員們依次完成六項(xiàng)任務(wù)，并對(duì)任務(wù)的順序提出了如下要求：重點(diǎn)任務(wù)

4、必須排在前三位，且任務(wù)、必須排在一起，則這六項(xiàng)任務(wù)的不同安排方案共有A240種B188種C156種D120種【答案】D【詳解】當(dāng)E,F排在前三位時(shí)，=24,當(dāng)E,F排后三位時(shí)，=72，當(dāng)E,F排3，4位時(shí)，=24，N=120種，選D.7函數(shù)（且）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，將函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）AB1C1D【答案】A【分析】由圖象得的解析式，再由三角函數(shù)的圖象變換可得函數(shù)的解析式，即可求.【詳解】解：由圖象可知，則由，得則點(diǎn)在函數(shù)圖象上，.函數(shù)解析式為將函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得故故選:A8已

5、知函數(shù)，則（）A在單調(diào)遞增B有兩個(gè)零點(diǎn)C曲線在點(diǎn)處切線的斜率為D是偶函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域可判斷D，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可判斷A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C，根據(jù)函數(shù)值的情況及零點(diǎn)定義可判斷B【詳解】由知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；令，故曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，C正確；由函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱知，不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤故選：C9已知A，是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，最小值為4B直線過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為60時(shí)（點(diǎn)A在第一象限），C若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則最大值為8

6、D點(diǎn)A坐標(biāo)，且直線，斜率之和為0，與拋物線的另一交點(diǎn)為，則直線方程為：【答案】B【分析】對(duì)于A，易知當(dāng)垂直于軸時(shí)，取最小值4，故A正確；對(duì)于B，聯(lián)立方程求得與，從而得到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可推得當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，最大值為8，故C正確；對(duì)于D，利用條件分別求出的坐標(biāo)，從而求得直線的方程，故D正確【詳解】依題意得，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，對(duì)于A，直線過(guò)焦點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，取最小值，此時(shí)，故A正確；對(duì)于B，由題可知，直線為，代入，整理得，解得或，所以，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于A，為兩動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，依題意，故，即，同理可得，故直線方程為，故D正確故選：B

7、.10在三棱錐中，平面ABC，與的外接圓圓心分別為，若三棱錐的外接球的表面積為，設(shè)，則的最大值是（）ABCD【答案】B【分析】由題可得，然后利用球的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，再利用基本不等式即求.【詳解】平面ABC，則為直角三角形，其外心為PB的中點(diǎn)，的外心，又，設(shè)三棱錐的外接球的為，連接，則平面ABC，又三棱錐的外接球的表面積為，即，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).的最大值是.故選：B.11蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的，從正面看，蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱狀體連接而成，中空柱狀體的底部是由三個(gè)全等的菱形面構(gòu)成，菱形的一個(gè)角度是，這樣的設(shè)計(jì)含有深刻的數(shù)學(xué)原理.我著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾專門研究蜂巢的結(jié)構(gòu)，著有

8、談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題一書.用數(shù)學(xué)的眼光去看蜂巢的結(jié)構(gòu)，如圖，在六棱柱的三個(gè)頂點(diǎn)處分別用平面，平面，平面截掉三個(gè)相等的三棱錐，平面，平面，平面交于點(diǎn)，就形成了蜂巢的結(jié)構(gòu).如圖，設(shè)平面與正六邊形底面所成的二面角的大小為，則（）ABCD【答案】C【分析】利用的面積與的面積比可求的值.【詳解】解：先證明一個(gè)結(jié)論：如圖，在平面內(nèi)的射影為 ，的平面角為 , ，則. 證明：如圖，在平面內(nèi)作，垂足為，連接，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的射影為，故，因?yàn)?，故，因?yàn)?，故平?因?yàn)槠矫妫?，所以為二面角的平面角，所?.在直角三角形中，.由題設(shè)中的第二圖可得：.設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為，則，如圖，在中，取的中點(diǎn)為，連接，則，且，

9、故，故，故.故選：C.【點(diǎn)睛】12已知函數(shù)則下列說(shuō)法正確的是（）當(dāng)時(shí)，；若不等式至少有3個(gè)正整數(shù)解，則；過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線有且只有一條；設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最大值是ABCD【答案】A【分析】對(duì)于，根據(jù)題意求出函數(shù)在上解析式，即可判斷，對(duì)于，利用參變量分離法可得，令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可求出的取值范圍，對(duì)于，切點(diǎn)，則切點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)后構(gòu)造函數(shù)可求出，從而可求出切線方程，對(duì)于，由題意可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得其在上是增函數(shù)，所以得對(duì)任意的恒成立，再由的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于，當(dāng)，正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，由，得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椴坏仁街辽儆?個(gè)正整

10、數(shù)解，所以不等式的解集中至少含有元素1，2，3，所以，所以錯(cuò)誤，對(duì)于，設(shè)切點(diǎn)，則，即，設(shè)，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，最多只有一個(gè)根，又，由得切線方程是，故正確；對(duì)于，由題意設(shè)，則，于是在上是增函數(shù)，即對(duì)任意的恒成立，因此只需當(dāng)時(shí)，由，在上為增函數(shù)，即的最大值是e，正確故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力和分析問(wèn)題的能力，屬于難題.二、填空題13的展開式中的系數(shù)是_（用數(shù)字作答）【答案】-4480【分析】，把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式，

11、利用二項(xiàng)式定理求解.【詳解】解：，其展開式的通項(xiàng)為，令，則，的通項(xiàng)為，令的系數(shù)為.所以的展開式中的系數(shù)是.故答案為：-448014過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為 、，則直線的方程為_【答案】【分析】由題知、，進(jìn)而求解方程即可.【詳解】解：方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，所以過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，所以，所以直線的方程為，即；方法2：設(shè)，則由，可得，同理可得，所以直線的方程為.故答案為：15已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【分析】由可得，分析可知函數(shù)在上有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】

12、函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令可得，設(shè)，其中，則函數(shù)在上有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.16定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”若“黃金橢圓”：兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，為橢圓上的異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則_【答案】【分析】可利用和的面積比先求出，進(jìn)一步再求出.【詳解】因?yàn)?，三點(diǎn)共線，故可先求，再求出.如圖，連接，設(shè)到軸距離為，到軸距離為，則設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，不妨設(shè)，則，.故答案為：.三、解答題17已知數(shù)列滿足(1)記，寫出，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)的定義求得，求出，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得結(jié)論；（2）由得，然

13、后用并項(xiàng)求和法結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算【詳解】(1)，又(2)，則18如圖，圓臺(tái)下底面圓的直徑為， 是圓上異于的點(diǎn)，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，.(1)證明：平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)線線垂直從而證明線面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【詳解】(1)為圓臺(tái)下底面圓的直徑，是圓上異于的點(diǎn)，故又，又，平面平面(2)取的中點(diǎn)，連接，則，由(1)可知，平面，又 以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，平面，四邊形為矩形，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一條法向量為，由得令，則，平面的

14、一個(gè)法向量為則平面與平面的夾角的余弦值為平面和平面夾角的余弦值為19根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有個(gè)孩子的概率模型為：1230概率其中.每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨(dú)立，事件表示一個(gè)家庭有個(gè)孩子，事件表示一個(gè)家庭的男孩比女孩多（例如：一個(gè)家庭恰有一個(gè)男孩，則該家庭男孩多）.(1)若，求和；(2)為了調(diào)控未來(lái)人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)受到各種因素的影響（例如生育保險(xiǎn)的增加，教育醫(yī)療福利的增加等）.若希望增大，如何調(diào)控的值？是否存在的值使得，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)，；(2)增加p的取值；不存在，理由見解析.【分析】(1)根據(jù)條件概率計(jì)算方法求出，再根據(jù)即可計(jì)算求值；(2)根據(jù)分布列

15、的概率和為1得到與p的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求出其f(p)單調(diào)性，從而可判斷=的單調(diào)性，從而得到結(jié)果；根據(jù)分布列概率和為1及列出關(guān)于p的方程，判斷方程是否有解即可【詳解】(1)由題意得：，所以，由全概率公式，得，又，則；(2)由，得，記，則，記，則，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減因此增加p的取值，會(huì)減小，增大，即增大假設(shè)存在p使，又，將上述兩式相乘，得，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的最小值為，不存在使得20設(shè)為雙曲線的左右頂點(diǎn)，直線過(guò)右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，為等腰直角三角形.(1)求雙曲線的離心率；(2)已知，若直線分別交直線于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾

16、斜角變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)2(2)以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)或【分析】（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，為等腰直角三角形，故，列出方程，得到，求出離心率；（2）直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線，與雙曲線聯(lián)立后得到兩根之和，兩根之積，求出直線，得到，同理得到，求出以為直徑的圓的圓心和半徑，得到以為直徑的圓的方程，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，是否滿足.【詳解】(1)由已知得：，將代入中，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)，即，整理得：，因?yàn)?，所以，方程兩邊同除以得：，解得：或（舍去），所以雙曲線的離心率為2(2)因?yàn)椋?，解得?/p>

17、，故，所以雙曲線方程為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，與雙曲線聯(lián)立得：，設(shè)，則，因?yàn)橹本€過(guò)右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，所以，解得：，直線，則，同理可求得：，則，其中，所以則以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以以為直徑的圓的方程為：，整理得：，所以以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)不妨設(shè)，此時(shí)直線，點(diǎn)P坐標(biāo)為，同理可得：，.以為直徑的圓的方程為，點(diǎn)，在此圓上，綜上：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，.【點(diǎn)睛】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題或圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再表達(dá)出直線方程或圓的方程，結(jié)合方程特點(diǎn)，求出所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).21已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，

18、函數(shù)，直線為曲線的切線，.(1)求的值；(2)判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；定義函數(shù)在上單調(diào)遞增.求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)； 【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，可得斜率，由切線方程可得參數(shù)方程即可求得答案；（2）利用零點(diǎn)的性質(zhì)判斷出零點(diǎn)的范圍，然后利用的導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；先求出的交點(diǎn)設(shè)為，并求出的具體范圍，然后利用新定義求最小值并求得的解析，然后利用恒成立的判斷分離參數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.【詳解】(1)解：由題意得：設(shè)切線的且點(diǎn)位，則可得：，又可得 ： 又因?yàn)橹本€為曲線的切線故可知 由解得：(2) 由小問(wèn)（1）可知： ，故必然存在零點(diǎn)，且又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令 故故在上是減函數(shù)綜上分析，只有一個(gè)零點(diǎn)，且 由的導(dǎo)數(shù)為當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減；對(duì)的導(dǎo)數(shù)在時(shí)，遞增；設(shè)的交點(diǎn)為，由（2）中可知當(dāng)時(shí)，由題意得：在時(shí)恒成立，即有；在上最值為故當(dāng)時(shí)，由題意得：在時(shí)恒成立，即有令，則可得函數(shù)在遞增，在上遞減，即可知在處取得極小值，且為最小值；綜上所述：，即.22在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為(1)寫出的直角坐標(biāo)方程；(2)若與有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）利用進(jìn)行代換即可得到直線的直角坐標(biāo)方程；（2）先