LU分解MatLab算法分析

1、最近矩陣分析老師出了一道題目作為作業(yè)A LU 要求能對A PA=LU 的分解，并最終輸出矩陣。首先對A LU 分解，即能把A A=L*U（U 是上三角矩陣，是由A 矩（i,j） 位置元素過程中主元所乘的系數(shù)，條件有3，一是矩陣AA如果不是方陣，LU 分解啦，這是基本條件，牢記啊！二是矩陣A 必須可逆，換種說法就是A A A 0，好繞，矩陣就是這樣，很多定理其實是等價的，但是你得記住，不然在推導(dǎo)一些定理或公式的時候會犯一些基本的常識性錯誤。三是矩陣 A 在高斯消元過程中必須0 A 進行高斯消元過程中沒有出現(xiàn)進行交換這種情況下L*U 這種形式，如果對A 進行高斯消元，中間某一步出現(xiàn)0 主元，需要進

2、行行交換了，這種情況下就不要想對A LU 分解啦，因為不滿足條件3 啊！那么問題來了0 主元這種情況，我又想對A LU 分解，那應(yīng)該怎么辦？LU 分解，也就是本文的主題。根據(jù)書上的定理，對任意一個非奇異矩陣（等價于可逆矩陣）都存在一個置換矩陣P P*A L*U 這種形式， 即A 不是要進行行變換才能繼續(xù)高斯消元嗎？ LU 分解前提又是高斯消元過程中不能出現(xiàn)行交換，那好，我事先對A 矩陣在高斯消元過B 高斯消元那肯定就不會出現(xiàn)需LU B LU 分解了嗎？ 是的，PA=LU LU 分解采用的就是這種思想。那么現(xiàn)在的問題是，怎么在代碼中實現(xiàn)對A LU 分解，并輸出 矩陣呢？我在網(wǎng)上搜了一下，發(fā)現(xiàn)結(jié)果

3、大都不盡A=LU 這種形式的分解，一旦說A 3，那就死翹low 在這個例子中，最簡單的情況就是矩陣A在高斯消元過程中不需要進行行交換，也就是說A可以分解成A=L*U這種形式。這種情況下，代碼如下。function LUDecomposition(A,n)%A is the square matrix,n is the orderof AL=eye(n);%Let the L matrix be an identity matrix atfirst for i=1:n-1forj=i+1:nendL(j,i)=A(j,i)/A(i,i);A(j,:)=A(j,:)-(A(j,i)/A(i,i)*

4、A(i,:);endU=A %A becomes U matrix after Gausselimination L可以試著令A(yù)=2 2 2;4 7 7;6 18 22，調(diào)用函數(shù)獲得L矩陣為1 0 0;2 1 0;3 4 1，U矩陣為2 2 2;0 33;0 4 4，用筆驗算下，這個結(jié)果是正確的。代碼運行結(jié)果如圖所示：的話，A個非零主元。 n-1n個主元已經(jīng)是矩陣的最 個主元下面所有元 1n-1 ni+1n（j， i）L矩陣第位置的元素，所以有;。AL（，這樣就;。矩陣，L矩陣。進行PA=LU 0主 00P矩陣中的操作是相應(yīng)的兩行也要進行交換， AAi kLi行和 第kA=1 2 -3 4;4

5、 8 12 -8;2 3 2 1;-3 -1 1 得L矩陣為1 0 0 0;-3 1 0 0;2 -0.2 1 0;2 -0.2 1 0;4 0 3.75 1,U矩陣為1 2 -3 4;0 5 -8 8 ;0 0 6.4-5.4;0 0 0 1 0 0 0;0 0 0 1;0 0 1 0;0 1 0 多，但目前來說我覺得應(yīng)該沒什么問題了，如果有問題歡迎反饋給我。這部分代碼如下： function AdvanceLUDecomposition(A,n)%A is the square matrix,n istheorder of A,A must be invertibleD=A; %Store

6、 matrix A in D,for later use L=zeros(n);%Let the L matrix be an zero matrix atfirstP=eye(n);%Let the permutation matrix be a identity matrix atfirst for i=1:n-1forj=i+1:nif A(i,i)=0 %A zero pivot appears on (i,i) position,we need to finda nonzero entry below it to be the new pivot,with row exchangef

7、or k=n:-1:i+1 %find a nonzero entry below the (i,i) entry in thei column,start from the last rowifA(k,i)=0%Wehavefoundanonzeroentry,tochooseitasthenewpivot,we need row exchange kii,:);%PermuteiandkrowinLmatrix i,:);%PermuteiandkrowinAmatrix i,:);%PermuteiandkrowinPmatrixbreak; end end endend endL(j,

8、i)=A(j,i)/A(i,i);A(j,:)=A(j,:)-(A(j,i)/A(i,i)*A(i,:);U=A %A becomes U matrix after Gauss eliminationL=L+eye(n) %All entries on the diagonal of L matrix must be1 P %output the permutation matrixB=L*U %verify if the product of L and U equals to P*AC=P*D%DistheoriginalAmatrix,checkitoutinrow2%IfBequals

9、C,then it means the algorithm works correctly%some key points and theroms about LU factorization%Theorem 1 A nonsigular matrix Anxn possesses an LU factorization if and%only if a nonzero pivot does not emerge during row reduction toupper%triangular form with type III operations.%Theorem2Foreachnonsi

10、gularmatrixA,thereexistapermutationmatrix P%such that PA possesses an LU factorization PA=LU%Remember,theconceptofnonsingularmatrixisforsquarematrix,itmeans%that the determinant is nonzero,and this is equivalent that thematrix has%full-rank%Based on these conditions,the first thing about the matrix A onwhich we%conduct LU factorization is that A must be a square matrix.The second%thing is A must be invertible,which is equal to the statement that A is%non-singular代碼運行結(jié)果如圖所示：Ax=b的時候，一般來 A