中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)-經(jīng)典壓軸題含詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)-經(jīng)典壓軸題含詳細(xì)答案求士的長(zhǎng).圖1圖求士的長(zhǎng).圖1圖2【答案】（1）BE=FH；理由見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析一、銳角三角函數(shù)1.如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM上/AEF=90,AE=EF,過(guò)點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂足為H,連接AC.試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；求證：ZACF=90；（3）吐=2n【解析】試題分析：（1）由厶ABE竺EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而B(niǎo)C=AB，F(xiàn)H=EB，從而可知厶FHC是等腰直角三角形，ZFCH為45,而ZACB也為45,從而可證明（3）由已知可知ZEAC=30

2、,AF是直徑，設(shè)圓心為0,連接EO,過(guò)點(diǎn)E作EN丄AC于點(diǎn)N,則可得ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AE的長(zhǎng)，得到半徑，得到.我所對(duì)圓心角的度數(shù)，從而求得弧長(zhǎng)試題解析：（1）BE=FH.理由如下：T四邊形ABCD是正方形二ZB=90,TFH丄BCZFHE=90又:ZAEF=90ZAEB+ZHEF=90且ZBAE+ZAEB=90ZHEF=ZBAEAZAEB=ZEFH又:AE=EFABE竺EHF(SAS)ABE=FHTABE竺EHFABC=EH,BE=FH又TBE+EC=EC+CHABE=CHACH=FHAZFCH=45,AZFCM=45TAC是正方形對(duì)角線，AZACD=45AZ

3、ACF=ZFCM+ZACD=90(3)TAE=EF,AEF是等腰直角三角形AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點(diǎn)上.設(shè)該中點(diǎn)為O.連結(jié)EO得ZAOE=90CHCH過(guò)E作EN丄AC于點(diǎn)NRtAENC中，EC=4,ZECA=45,AEN=NC=：/TRtAENA中，EN匚匸又:ZEAF=45ZCAF=ZCEF=15(等弧對(duì)等角)AZEAC=30AE=-TTRtAAFE中，AE=T!=EF,AAF=8AE所在的圓0半徑為4,其所對(duì)的圓心角為ZAOE=90北=2兀4(90m360)=2n考點(diǎn)：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圓周角定理；4、三角函數(shù)2.已知RtAABC中，AB是OO的弦，斜邊AC交OO

4、于點(diǎn)D,且AD=DC，延長(zhǎng)CB交O0于點(diǎn)E.圖1的A圖1的A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)中，是否存在某兩點(diǎn)間的距離等于線段CE的長(zhǎng)？請(qǐng)說(shuō)明理由；如圖2,過(guò)點(diǎn)E作O0的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若CF=CD時(shí)，求sinZCAB的值；若CF=aCD(a0)時(shí)，試猜想sinZCAB的值.(用含a的代數(shù)式表示，直接寫(xiě)出結(jié)果)【答案】(1)AE=CE；(2)【解析】試題分析：(1)連接AE、DE，如圖1,根據(jù)圓周角定理可得ZADE=ZABE=90，由于AD=DC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AE=CE；(2)連接AE、ED,如圖2,由/ABE=90可得AE是O0的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)可得ZAEF=90，從而可證

5、到ADE-AEF，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得廠=ADAF.當(dāng)CF=CD時(shí)，可得“，從而有EC=AE=l:CD，在RtADEC中運(yùn)用三角函數(shù)可得DCsinZCED=；:,根據(jù)圓周角定理可得ZCAB=ZDEC，即可求出sinZCAB的值；當(dāng)CF=aCD(a0)時(shí)，同即可解決問(wèn)題.試題解析：(1)AE=CE.理由：連接AE、DE,如圖1，ZABC=90，二ZABE=90，二ZADE=ZABE=90，VAD=DC，AE=CE；(2)連接AE、ED,如圖2,VZABE=90,.AE是OO的直徑，VEF是OOO的切線，AEADZAEF=90,ZADE=ZAEF=90，又VZDAE=ZEAF,：ADE-A

6、EF,.：!;,=ADAF.當(dāng)CF=CD時(shí)，AD=DC=CF,AF=3DC,二=DC3DC=、W,.AE=DC,VEC=AE,DCDCy3EC=J：DC,sinZCAB=sinZCED=；當(dāng)CF=aCD(a0)時(shí)，sinZCAB=.VCF=aCD,AD=DC,.AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,.=DC(a+2)DC=(a+2)小，AE=i-DC,VEC=AE,.ECDC,DC_DC嚴(yán)+2考點(diǎn)：1.圓的綜合題；2.探究型；3.存在型.3.在等腰ABC中，ZB=90,AM是厶ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)M作MN丄AC于點(diǎn)N,zEMF=135.將/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使/EMF的兩邊交直線AB于點(diǎn)E

7、,交直線AC于點(diǎn)F,請(qǐng)解答下列問(wèn)題：*（1）當(dāng)ZEMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，求證：BE+CF=BM；（2）當(dāng)ZEMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖，圖的位置時(shí)，請(qǐng)分別寫(xiě)出線段BE，CF，BM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）和（2）的條件下，tanZBEM=:，AN=J+1,則BM=，CF=.團(tuán)【答案】證明見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）1,1+或1-【解析】【分析】由等腰ABC中，ZB=90,AM是厶ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)M作MN丄AC于點(diǎn)N,可得BM=MN，ZBMN=135,又ZEMF=135，可證明的BMENMF,可得BE=NF,NC=NM=BM進(jìn)而得出結(jié)論；（2）如圖時(shí)，同（1）可證BME竺NM

8、F,可得BE-CF=BM,如圖時(shí)，同（1）可證BME竺NMF,可得CF-BE=BM；在RtAABM和RtAANM中，、，“，AM二AM可得RtAABM竺RtAANM,后分別求出AB、AC、CN、BM、BE的長(zhǎng)，結(jié)合(1)(2)的結(jié)論對(duì)圖進(jìn)行討論可得CF的長(zhǎng).【詳解】(1)證明：ABC是等腰直角三角形，ZBAC=ZC=45,TAM是ZBAC的平分線，MN丄AC,BM=MN,在四邊形ABMN中，Z,BMN=360-90-90-45=135,TZENF=135,ZBME=ZNMF,.BME竺NMF,BE=NF,TMN丄AC,ZC=45,ZCMN=ZC=45,NC=NM=BM,TCN=CF+NF,BE

9、+CF=BM；（2）針對(duì)圖2,同（1）的方法得，BME竺NMF,BE=NF,TMN丄AC,ZC=45,ZCMN=ZC=45,NC=NM=BM,TNC=NF-CF,.BE-CF=BM；針對(duì)圖3,同（1）的方法得，BME竺NMF,BE=NF,TMN丄AC,ZC=45,ZCMN=ZC=45,NC=NM=BM,TNC=CF-NF,（3）在RtAABM和RtA（3）在RtAABM和RtAANMRtAABM竺RtAANM（HL）,AB=AN=二+1,在RtAABC中，AC=AB=.；+1,AC=AB=2+二，CN=AC-AN=2+二-（二+1）=1,在RtACMN中，CM=.CN=一:,.BM=BC-CM

10、=二+1-_-=1,33故答案為1,1+或1-3由（1）知，如圖1,BE+CF=BM,.CF=BM-BE=1-由（2）知，如圖2,由tanZBEM=.-,.此種情況不成立；由（2）知，如圖3,CF-BE=BM,V3.CF=BM+BE=1+,【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)與三角形全等的綜合，難度較大，需綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解4.如圖，等腰ABC中，AB=AC,ZBAC=36,BC=1,點(diǎn)D在邊AC上且BD平分/ABC,設(shè)CD=x.求證：ABC-BCD；求x的值；求cos36-cos72。的值.【答案】證明見(jiàn)解析；T+、；5；(3)A；5+8.16【解析】試題分析：(1)由等腰三角形ABC中，頂角的

11、度數(shù)求出兩底角度數(shù)，再由BD為角平分線求出ZDBC的度數(shù)，得到ZDBC=ZA,再由ZC為公共角，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形BCD相似；根據(jù)(1)結(jié)論得到AD=BD=BC,根據(jù)AD+DC表示出AC,由(1)兩三角形相似得比例求出x的值即可；過(guò)B作BE垂直于AC，交AC于點(diǎn)E,在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos36。與cos72。的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果.試題解析：(1)T等腰ABC中，AB=AC,ZBAC=36,ZABC=ZC=72,TBD平分ZABC,ZABD=ZCBD=36,TZCBD=ZA=36,ZC=ZC,ABC-BCD；

12、(2)TZA=ZABD=36,AD=BD,TBD=BC,.AD=BD=CD=1,設(shè)CD=x，則有AB=AC=x+1,TABC-BCD,整理得：x2+x-1=0.1111解得：解得：Xi=竽理=丄戶（負(fù)值舍去）則x=亠52(3)過(guò)B作(3)過(guò)B作BE丄AC,交AC于點(diǎn)E,E為CD中點(diǎn)，即DE=CE=T+“5,41+t+的-AE丄十4J5+1在RtAABE中，cosA=cos36=AB-1+頁(yè).4+12BC_-1+書(shū)一在RtABCE中，cosC=cos72=EC4_一1+弱，BC_14-則cos36-cos72=二色1_1+巧=14【考點(diǎn)】1相似三角形的判定與性質(zhì)；2等腰三角形的性質(zhì)；3黃金分割；

13、4解直角三角形.5.如圖，拋物線q：y=（x+m）2（m為常數(shù)，m0），平移拋物線y=-X2，使其頂點(diǎn)D在拋物線q位于y軸右側(cè)的圖象上，得到拋物線C2.拋物線C2交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），父y軸于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a.如圖1,若m=.當(dāng)OC=2時(shí)，求拋物線C2的解析式；是否存在a,使得線段BC上有一點(diǎn)P,滿足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP=BP?若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如圖2,當(dāng)0B=2l；-m(OVmV：)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出到厶ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)的坐標(biāo)(用含m的式子表示).71【答案】y=-x2+x+2.1(2)P(、:-m，1)

14、，P2(、：-m，-3)，P3(-心-m，3)，P4(3川-m，3).【解析】試題分析：(1)首先寫(xiě)出平移后拋物線C2的解析式(含有未知數(shù)a),然后利用點(diǎn)C(0，2)在C2上，求出拋物線C2的解析式；認(rèn)真審題，題中條件AP=BP”意味著點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大”意味著OP丄BC.畫(huà)出圖形，如圖1所示，利用三角函數(shù)(或相似)，求出a的值；(2)解題要點(diǎn)有3個(gè)：判定ABD為等邊三角形；理論依據(jù)是角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；滿足條件的點(diǎn)有4個(gè)，即ABD形內(nèi)1個(gè)(內(nèi)心)，形外3個(gè).不要漏解.11試題解析：(1)當(dāng)m=，時(shí)，拋物線q：y=(x+)2.T拋

15、物線C2的頂點(diǎn)D在拋物線q上，且橫坐標(biāo)為a,1D(a,(a+-)2).1拋物線C2：y=-(x-a)2+(a+)2(I).OC=2,C(0,2).點(diǎn)C在拋物線C2上,1-(0-a)2+(a+)2=2,7解得：a，代入(I)式，7得拋物線C2的解析式為：y=-x2+x+2.在(I)式中，111令y=0,即：-(x-a)2+(a+)2=0,解得x=2a+或x=-,B(2a+,0)；111111令x=0,得：y=a+，C(0,a+).1k(2a+b1k(2a+b01b=a-121-a+-今4，解得，11直線BC的解析式為：y=-x+(a+b.假設(shè)存在滿足條件的a值.TAP=BP,點(diǎn)P在AB的垂直平分

16、線上，即點(diǎn)P在C的對(duì)稱軸上；T點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和0)與BC交于點(diǎn)P,與x軸交于點(diǎn)E,則OP丄BC，OE=a.Si點(diǎn)P在直線BC上,1111P(a,;a+b,PE=a+L1+QB2=2OC1-ttanZEOP=tanZBCO=11a+-TOC o 1-5 h zPE247r.,1解得：a=.1存在a=，使得線段BC上有一點(diǎn)P,滿足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP=BP(3)拋物線C2的頂點(diǎn)D在拋物線C1上，且橫坐標(biāo)為a,D(a,(a+m)2).拋物線C2：y=-(x-a)2+(a+m)2.令y=0,即-(x-a)2+(a+m)2=0,解得：x1=2a+m,x2=-m,B(2a

17、+m,0).v0B=2.-m,2a+m=2.-m,m.Zm.ZABD=60.AB=0B+0A=2、-m+m=2、；.iT7iT;如圖2所示，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,貝yDE=3,BE=AB=1OE=OB-BE=又:AD=BD,ABD為等邊三角形.作ZABD的平分線，交DE于點(diǎn)P,則P1E=BEtan30=x=1,P1O-m,1）；在厶ABD形外，依次作各個(gè)外角的平分線，它們相交于點(diǎn)P2、P3、P4.在RtABEP2中，P2E=BEtan60=3,P2（i-m,-3）；易知adp3、bdp4均為等邊三角形，dp3=dp4=ab=2L,且p3p4iix軸.P3（-m,3）、P4（3-m,3）.綜上

18、所述，到ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)有4個(gè)，m,其坐標(biāo)為：P1（-m,1）,P2（i-m,-3）,P3（-m,3）,P4（33m,【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.6.我市在創(chuàng)建全國(guó)文明城市的過(guò)程中，某社區(qū)在甲樓的人處與E處之間懸掛了一副宣傳條幅，在乙樓頂部C點(diǎn)測(cè)得條幅頂端A點(diǎn)的仰角為45,條幅底端E點(diǎn)的俯角為30,若甲、乙兩樓之間的水平距離BD為12米，求條幅AE的長(zhǎng)度.（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】AE的長(zhǎng)為（12+處3）【解析】【分析】在RtACF中求af的長(zhǎng)，在RtCEF中求EF的長(zhǎng)，即可求解.【詳解】過(guò)點(diǎn)C作CF丄AB于點(diǎn)f由題知：四邊形CDBF為矩形.CF=DB=12在RtACF中，ZA

19、CF=45。tanZACF=蘭=1CFAF二12在RtCEF中，ZECF=30。EF:.tanZECF=CF.EF=312=亍EF=43AE=AF+EF=12+4=3求得AE的長(zhǎng)為G+4運(yùn)）【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，中等難度，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.7.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量校園主教學(xué)樓AB的高度，由于教學(xué)樓底部不能直接到達(dá)，故興趣小組在平地上選擇一點(diǎn)C,用測(cè)角器測(cè)得主教學(xué)樓頂端A的仰角為30,再向主教學(xué)樓的方向前進(jìn)24米，到達(dá)點(diǎn)E處（C,E，B三點(diǎn)在同一直線上），又測(cè)得主教學(xué)樓頂端A的仰角為60，已知測(cè)角器CD的高度為1.6米，請(qǐng)計(jì)算主教學(xué)樓AB的高度.（*3=1

20、.73，結(jié)果精確到0.1米）A【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形.本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造等量關(guān)系，進(jìn)而求解.【詳解】解：在RtAAFG中，tanzAFG=5，AGAG二FG=tanZAFG羽AG在RtAACG中，tanzACG=CG二CG=q3AG.tanZACG又：CG-FG=24m,-AG即占AGJ-=24m，AG=12、汀m，AB=12.：3+i.6=22.4m.8如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)、B(4,0)、C(0，3)三點(diǎn).圖圖試求拋物線的解析式；點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA,試求5PA+4PC的最小值

21、；如圖，若直線丨經(jīng)過(guò)點(diǎn)T(-4,0),Q為直線丨上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、Q為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且僅有三個(gè)時(shí)，試求直線l的解析式.TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 3【答案】(1)y=6x2+x+3；(2)5PA+4PC的最小值為18；(3)直線丨的解析式 HYPERLINK l bookmark293 o Current Document 84 HYPERLINK l bookmark268 o Current Document 33為y=x+3或y二-4x3.【解析】【分析】設(shè)出交點(diǎn)式，代入C點(diǎn)計(jì)算即可(2)連接A

22、C、BC,過(guò)點(diǎn)A作AE丄BC于點(diǎn)E,過(guò)PCPD4點(diǎn)P作PD丄BC于點(diǎn)D,易證CDP-COB，得到比例式二，得到PD=PC，所BCOB54以5PA+4PC=5(PA+5PC)=5(PA+PD)，當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC=518(PA+PD)=5AE最小，利用等面積法求出AE=y，即最小值為18(3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，當(dāng)/BAQ=90或/ABQ=90時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸，所以只要直線I不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使/BAQ=90或/ABQ=90,即乙AQB=90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q,二直線l與OF相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足ZAQB=90的點(diǎn)Q

23、只有一個(gè)；此時(shí)，連接FQ,過(guò)點(diǎn)Q作QG丄x軸于點(diǎn)G,利用cosZQFT求出QG,分出情況Q在x軸上方和x軸下方時(shí)，分別代入直接l得到解析式即可【詳解】解：(1)T拋物線與x軸交點(diǎn)為A(-2,0).B(4,0)y=a(x+2)(x-4)把點(diǎn)C(0,3)代入得：-8a=3TOC o 1-5 h z._3a8 HYPERLINK l bookmark87 o Current Document 333拋物線解析式為y-(x+2)(x-4)-x2+x+3884連接AC、BC,過(guò)點(diǎn)A作AE丄BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作PD丄BC于點(diǎn)DZCDPZCOB90ZDCP=ZOCBCDPCOBPCPD11BCOBB(4,0

24、),C(0,3).OB=4,OC=3,BC=JOB?+OC2=5.PD=4pc4.5PA+4PC=5(PA+pc)=5(PA+PD)5當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC=5(PA+PD)=5AE最小A(-2,0),OC丄AB,AE丄BC.SABC.SABC11=2ABOC=2BCAEABOC_6x3BC185AE=185PA+4PC的最小值為18.取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓當(dāng)ZBAQ=90或ZABQ=90時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸，只要直線I不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使ZBAQ=90或ZABQ=90ZAQB=90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)QT當(dāng)Q在OF上運(yùn)動(dòng)時(shí)(

25、不與A、B重合)，ZAQB=90直線I與OF相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足ZAQB=90的點(diǎn)Q只有一個(gè)此時(shí)，連接FQ,過(guò)點(diǎn)Q作QG丄x軸于點(diǎn)GZFQT=90TF為A(-2,0)、B(4,0)的中點(diǎn)F(1,0),FQ=FA=3TT(-4,0)TF=TF=5,cosZQFT=FQTFTRfFGQ中,cosZQFT=FG_3FQ5FG=3FQ=955xQFQG32、丿9-xQFQG32、丿9-5/J-212若點(diǎn)Q在x軸上方，則Q(-5，丁)設(shè)直線l解析式為：y=kx+b4k+b=01-4k+b=12解得I55二直線Ly=3x+34412若點(diǎn)Q在x軸下方，則Q（-5，-）3-直線l：y=一一x一343綜上所述，直

26、線I的解析式為y=x+3或y=x-34【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與圓的綜合題，同時(shí)涉及到三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合度比較高，需要很強(qiáng)的綜合能力，第三問(wèn)能夠找到滿足條件的Q點(diǎn)是關(guān)鍵，同時(shí)不要忘記需要分情況討論蘭州銀灘黃河大橋北起安寧營(yíng)門(mén)灘，南至七里河馬灘，是黃河上游的第一座大型現(xiàn)代化斜拉式大橋如圖，小明站在橋上測(cè)得拉索AB與水平橋面的夾角是31。，拉索AB的長(zhǎng)為152米，主塔處橋面距地面7.9米（CD的長(zhǎng)），試求出主塔BD的高.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin31=0.52,cos31=0.86,tan31=0.60）【答案】主塔BD的高約為86.9米.【解析】【分析】根據(jù)直角三角形中由

27、三角函數(shù)得出BC相應(yīng)長(zhǎng)度，再由BD=BC+CD可得出.【詳解】在RtAABC中，ZACB=90,aBCSinA=AB二BC二ABxsinA二152xsin31152x0.52二79.04.BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94二86.9(米)答：主塔BD的高約為86.9米.【點(diǎn)睛】本題考察了直角三角形與三角函數(shù)的結(jié)合，熟悉掌握是解決本題的關(guān)鍵如圖，在BCD中，AC與BD交于點(diǎn)0,AC丄BC于點(diǎn)將厶ABC沿AC翻折得到AEC，連接DE.求證：四邊形ACED是矩形；若AC=4,BC=3,求sinZABD的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)罠365【解析】【分析】根據(jù)BCD中，AC丄BC，

28、而厶ABdAEC，不難證明；依據(jù)已知條件，在ABD或厶AOC作垂線AF或OF,求出相應(yīng)邊的長(zhǎng)度，即可求出ZABD的正弦值.【詳解】證明：將ABC沿AC翻折得到厶AEC,BC=CE,AC丄CE,T四邊形ABCD是平行四邊形，.ADIIBC,AD=BC,.AD=CE,ADIICE,.四邊形ACED是平行四邊形，TAC丄CE,.四邊形ACED是矩形.解：方法一、如圖1所示，過(guò)點(diǎn)A作AF丄BD于點(diǎn)F,VBE=2BC=2x3=6,DE=AC=4,在RtABDE中，12A112ABD=,；BE2+DE2=空62+42=2.13BDE=xDEad=.af=竺3=空2/1313VRtAABC中ab=、,；32

29、+42=5,RtAABF中，AF_6J1!_6sinZABF=sinZABD=AB1365方法二、如圖2所示，過(guò)點(diǎn)O作OF丄AB于點(diǎn)F,11同理可得，0B=BD=弋13,=丄OF-=丄OF-AB=2ioA-BC22x36OF=-55VS“OBV在V在RtABOF中,0F66拆sinZFBO=OB5姮65.sinZ.sinZABD=6、13【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形翻折變化后所得圖形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和解直角三角形求線段的長(zhǎng)度，關(guān)鍵是正確添加輔助線和三角形面積的計(jì)算公式求出sinZABD.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)（-6,0），點(diǎn)3一

30、、C在y軸正半軸上，且cosB=5，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向D點(diǎn)移動(dòng)（P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），移動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線l與菱形的其它邊交于點(diǎn)Q.（1）求點(diǎn)D坐標(biāo)；（2）求厶O(píng)PQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；3（3）在直線l移動(dòng)過(guò)程中，是否存在t值，使S=S卄？若存在，求出t的值；若20菱形ABCD【答案】（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（10，8）.（2）S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=缶（0冬乓4）仁12+竺t（4W10），S的最大值為亍3或5+萬(wàn)-I33【解析】【分析】（1）在RtABOC中，求BCQC,根據(jù)菱形性質(zhì)再求D的坐標(biāo)；（2）分兩種情況分析：當(dāng)

31、0t4時(shí)和當(dāng)4t10時(shí)，根據(jù)面積公式列出解析式，再求函數(shù)的最值；（3）分兩220“種情況分析：當(dāng)0t4時(shí)，4t=12，；當(dāng)4t10時(shí)，12+t=12詳解】解：(1)在解：(1)在RtABOC中，ZBOC=90,OB=6,cosB=:.BC=10cosB:OC=JBC2OB2=8四邊形abcd為菱形，CDIIX軸,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(10,8).TAB=BC=10，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-6,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0).分兩種情況考慮,如圖1所示.當(dāng)0t4時(shí)，PQ=OC=8,OQ=t,一1S=PQOQ=4t,240,當(dāng)t=4時(shí)，S取得最大值，最大值為16；當(dāng)4Vt10時(shí)，設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b(3

32、0),將A(4,0),D(10,8)代入y=kx+b，得：4k+b=0b=16310k+b=8，解得:b=163416直線AD的解析式為y=一x一一.33416當(dāng)x=t時(shí)，y=3t一亍，:PQ:PQ=8=一(10t)3:S=丄PQOP=t-+豈t233VS=31+01=3(t5)2+50,30.當(dāng)t=5時(shí)，S取得最大值，最大值為50”4t(0冬W4)綜上所述：S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=50212+201(400)，S綜上所述：S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=(3)S菱形bc=abc=80當(dāng)0t4時(shí)，4t=12，解得：t=3；當(dāng)4也0時(shí)，312+斗t=12,解得：q=5-冒7(舍去)，t2=5+7.綜

33、上所述：在直線l移動(dòng)過(guò)程中，存在t值，使S=S菱,t的值為3或5+、：7.20菱形ABCD打:存P洶.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值問(wèn)題數(shù)形結(jié)合，分類討論是關(guān)鍵.12.拋物線y=ax【答案】(1)y=x2-6x+4(2)P(2,-4)或P(3,-5)G(0,-2)(3)【解析】【答案】(1)y=x2-6x+4(2)P(2,-4)或P(3,-5)G(0,-2)(3)【解析】【分析】把點(diǎn)A(1,-1),B(5,-1)代入拋物線y=ax2+bx+4解析式，即可得出拋物線的表達(dá)式；如圖，連接PC,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于R,可求得直線BC的解析式求拋物線表達(dá)式；如圖1,連接CB,

34、以CB為邊作BPQ,若點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，Q為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且-CBPQ的面積為30，求點(diǎn)P坐標(biāo)；F2過(guò)此二點(diǎn)的直線交y軸于F,此直線上一動(dòng)點(diǎn)G,當(dāng)GB+GF最小時(shí)，求點(diǎn)G坐標(biāo).如圖2，O01過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，AE為直徑，點(diǎn)M為上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，E重合)，ZMBN為直角，邊BN與ME的延長(zhǎng)線交于N,求線段BN長(zhǎng)度的最大值1111為：y=-x+4,設(shè)點(diǎn)P(t,t2-6t+4),R(t,-t+4)，因?yàn)閝CBPQ的面積為30,所以SPBC=x（_t+4-t2+6t-4）x5=15，解得t的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P為（2,-4）時(shí)，求得直線QP的解析式為：y=-x-2，得F

35、（0,-2）,ZGOR=45,因?yàn)镚B+GF=GB+GR，所以當(dāng)G于F重合時(shí)，GB+GR最小，即可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P為（3,-5）時(shí)，同理可求;22（3）先用面積法求出sinZACB=,tanZACB=，在RtAABE中，求得圓的直徑,23-，所以BN=2mb23-，所以BN=2mb，當(dāng)MB為J厶MB因?yàn)镸B丄NB,可得ZN=ZAEB=ZACB，因?yàn)閠anN=BN直徑時(shí)，bn的長(zhǎng)度最大.【詳解】(1)解：(1)拋物線y=ax2+bx+4(aH0)過(guò)點(diǎn)A(1,-1),B(5,-1),-1=a+b+4fa=1,解得,-1=25a+5b+4b=-6拋物線表達(dá)式為y=x2-6x+4.設(shè)直線BC設(shè)直

36、線BC的解析式為y=kx+m,B(5,-1),C(0,4),f-1=5k+mfk=14=m，解得m=4直線BC的解析式為：y=-x+4,設(shè)點(diǎn)P(t,t2-6t+4),R(t,-t+4),TCBPQ的面積為30,S=S=pbcx(_t+4_t2+6t_4)x5=15,解得t=2或t=3,當(dāng)t=2時(shí)，y=-4當(dāng)t=3時(shí)，y=-5,點(diǎn)P坐標(biāo)為（2,-4）或（3,-5）；當(dāng)點(diǎn)P為（2,-4）時(shí)，直線BC解析式為:y=-x+4,QPIIBC,設(shè)直線QP的解析式為：y=-x+n,將點(diǎn)P代入，得-4=-2+n,n=-2,直線QP的解析式為：y=-x-2,F（0,-2）,ZGOR=45,GB+竺GB+竺2GF

37、=GB+GR當(dāng)G于F重合時(shí)，GB+GR最小，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為同理，當(dāng)點(diǎn)P為（當(dāng)G于F重合時(shí)，GB+GR最小，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為同理，當(dāng)點(diǎn)P為（3,-5）時(shí)，直線QP的解析式為:同理可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,-2）,）TA（1,-1）,B（5,-1）C（0,4）,AC=p26,BC=5p2,(0,-2),y=-x-2,11=2ACxBCSinZACB=2ABX5sinZACB=2iH,tanZACB=-,133TAE為直徑，AB=4,ZABE=90,sinZAEB=sinZACB=2、13=13AEAE=2肩,TMB丄NB,ZNMB=ZEAB,ZN=ZAEB=ZACB,tanN=MBBN2tanN=M

38、BBN23BN=2MB當(dāng)MB為直徑時(shí)，BN的長(zhǎng)度最大，為3、：!3.【點(diǎn)睛】題考查用到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，平行四邊形性質(zhì).解決(3)問(wèn)的關(guān)鍵是找到BN與BM之間的數(shù)量關(guān)系.13.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為弋2+1,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,AE平分/BAC分別交BC、BD于E、F,求證：ABF-ACE；求tanzBAE的值；在線段AC上找一點(diǎn)P,使得PE+PF最小，求出最小值.口CAE【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)tanzEAB=丫：2-1；(3)PE+PF的最小值為22.【解析】【分析】根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判斷即可；如圖

39、1中，作EH丄AC于H.首先證明BE=EH=HC，設(shè)BE=EH=HC=x，構(gòu)建方程求出x即可解決問(wèn)題；如圖2中，作點(diǎn)F關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接EH交AC于點(diǎn)P,連接PF,此時(shí)PF+PE的值最小，最小值為線段EH的長(zhǎng)；【詳解】證明：T四邊形ABCD是正方形，ZACE=ZABF=ZCAB=45,TAE平分ZCAB,ZEAC=ZBAF=22.5,ABF-ACE.解：如圖1中，作EH丄AC于H.TEA平分ZCAB,EH丄AC,EB丄AB,BE=EB,TZHCE=45,ZCHE=90,ZHCE=ZHEC=45,HC=EH,.BE=EH=HC,設(shè)BE=HE=HC=x，貝EC=邁x,TBC=：2+1,x

40、+x=j2+1,.x=1.在RtAABE中，TZABE=90,BE_1_怎tanZEABy/2-iAB邁+1(3)如圖2中，作點(diǎn)F關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接EH交AC于點(diǎn)P,連接PF,此時(shí)PF+PE的值最小.DCE作EM丄BD于M.BM=EM=y2,2TAC=JAB2+BC2=2+込,OA=OC=OB=1AC=2+2,22OH=OF=OAtanZOAF=OAtanZEAB=?+%2.（巨-i）=七222HM=OH+OM=2+、2,2PE+PF的最小值為$2+V2.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，勾股定理，最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.14.如圖，半圓0的直徑AB=20，弦CD