定積分的換元法和分部積分法解析課件

1、第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法內容提要一、定積分的換元法二、定積分分部積分法三、定積分的常用公式重點、難點：定積分的換元法和分部積分法教學方法：講練結合教學手段：多媒體課件和面授相結合教學課時：6課時 指導思想：由牛頓萊布尼茲公式，求解 只要利用不定積分，先求出 的一個原函數(shù) ，再求出 即可。我們知道，某些不定積分的求解過程還是很復雜或煩繁瑣的，有必要找到一個簡單一些的計算方法，定積分的換元法和分部積分法，就是在不定積分的換元法和分部積分法的基礎上，簡化了的計算方法。定理：設函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)，變換 滿足：（1）（2）在區(qū)間 上， 單調且有連續(xù)的導數(shù)，則有上式稱為定積分的換元公式一、定積

2、分的換元法證明： 在 上連續(xù) 的原函數(shù)存在，設為 則有由牛頓萊布尼茲公式又 在 上單調，故 在 上有定義，且所以 也是 的一個原函數(shù)由牛頓萊布尼茲公式，有 因此 例1、計算 解：設 ，則 當 時， 當 時 ； 當t從1變到2時， 單調地從0變到3，于是由定積分的換元公式，得 由例1可見，不定積分的換元法與定積分的換元法的區(qū)別在于：不定積分的換元法在求得關于新變量t的積分后，必須代回原變量x，而定積分的換元法在積分變量由x換成t的同時，其積分限也由 和 相應地換成 和 ，在完成關于變量t的積分后，直接用t的上下限 和 代入計算定積分的值，而不必代回原變量。例2、求解：設 當 時， ； 時， 于是

3、例3、設 求解：設 則 當 時 ；當 時 ， 于是換元公式也可以反過來使用，即這時通常不寫出中間變量t，而寫作 注意這里積分上下限不作變換，計算更為簡便。例4 求解 可見，這種計算方法對應于不定積分的第一換元法，即湊微分法。 二、定積分的分部積分法設u(x)和v(x)在區(qū)間a,b上有連續(xù)的導數(shù)，由微分運算法則，有 移項得 兩邊在區(qū)間a,b上積分，得因 或 上述公式稱為定積分的分部積分公式。 例5 求 解 可見，定積分的分部積分法，本質上是先利用不定積分的分部積分法求出原函數(shù)，再用牛頓萊布尼茲公式求得結果，這兩者的差別在于定積分經分部積分后，積出部分就代入上、下限，即積出一步代一步，不必等到最后

4、一起代。 例6 求定積分 解 例7 求定積分 解 先換元，設 則 dx=2udu,當u=0時，x=0,u=1時，x=1.于是， 三、定積分的幾個常用公式1 設f(x)在關于原點對稱的區(qū)間-a,a,上可積，則 （1）當f(x)為奇函數(shù)時， （ 2）當f(x)為偶函數(shù)時， 證 由定積分的性質3，有 對積分 則dx=-dt, 當x=-a 時，t=a,當x=0時t=0, 于是從 從而 當 f(x)為奇函數(shù)時，f(-x)+f(x)=0,因此當 f(x)為偶函數(shù)時，f(-x)=f(x)，得 例8 計算下列定積分 （1） （2） 解 （1）因為f(x)=sin7x在 上為奇函數(shù)，所以 (2)在 中，令f(x)= ，因為 f(-x)=所以f(x)在 上為奇函數(shù)，于是2、設f(x)是以T為周期的周期函數(shù)，且可積，則對任一實數(shù)a，有證 由定積分性