根軌跡繪制舉例課件

根軌跡繪制舉例(1)例1已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制根軌跡的大致形狀。0j1j-j1-1-2-3σp3ⅹⅹⅹⅹp1p2p4-1.2545o開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：p1=0，p2=-3、p3=-1+j、p4=-1-j無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)n-m=4實(shí)軸上[0，-3]為根軌跡漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：解：漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：根軌跡繪制舉例(2)例1已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制根軌跡的大致形狀。0j1j-j1-1-2-3σp3ⅹⅹⅹⅹp1p2p4-1.2545o根軌跡實(shí)軸的分離點(diǎn)（舍去）根軌跡在開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-p3處的出射角-2.3-71.3o71.3o根軌跡繪制舉例(3)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)（勞斯法）。0j1j-j1-1-2-3σp3ⅹⅹⅹⅹp1p2p4-1.2545o-2.3-71.3o71.3o解得臨界穩(wěn)定的條件：K1=8.16-j1.1j1.1例2：畫出開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)的閉環(huán)根軌跡。解（1）根軌跡增益K1=3K。（2）根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸，有四條根軌跡分支分別起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)0，－3，－1±j，終止于零點(diǎn)－2和另外三個(gè)無(wú)限遠(yuǎn)零點(diǎn)。(3)實(shí)軸上區(qū)段0~-2和-3~-∞為根軌跡。(4)根軌跡有三條漸近線(n－m＝3)，與實(shí)軸的傾角為根軌跡繪制舉例(4)(5)漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(6)系統(tǒng)特征方程——根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡繪制舉例(5)(7)兩條根軌跡分支起始于共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)－1±j(8)各閉環(huán)極點(diǎn)之和為－5當(dāng)實(shí)軸上根軌跡分支向左趨向于無(wú)限零點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)從復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)的根軌跡分支趨向于右邊無(wú)限零點(diǎn)。交點(diǎn)處的K1＝2.34(9)根軌跡與虛軸兩個(gè)交點(diǎn)根軌跡繪制舉例(6)根軌跡繪制舉例(7)常見(jiàn)的根軌跡的形狀根軌跡繪制舉例(8)課堂練習(xí)1根軌跡繪制舉例(9)課堂練習(xí)22.分別繪B=4、9、12、∞時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡的大致形狀。1.分別繪如下閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡的大致形狀。n-m=3負(fù)實(shí)軸為根軌跡漸近線與虛軸交于j4.61出射角與虛軸交點(diǎn)：臨界K1=136將K=136、s=j代入D(s)=0=4.123分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：n-m=3負(fù)實(shí)軸為根軌跡分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：與虛軸交點(diǎn)：漸近線出射角與虛軸交于4.61臨界K1=256將K1=256、s=j代入D(s)=0=5.66d=-2.67j1.89！舍去n-m=3負(fù)實(shí)軸為根軌跡分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：與虛軸交點(diǎn)：漸近線出射角與虛軸交于3.46臨界K1=72將K1=72、s=j代入D(s)=0=3.46！三條軌跡重合B=∞n-m=1實(shí)軸[-1,-∞)為根軌跡分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：K1:0∞故根軌跡與虛軸不相交與虛軸交點(diǎn)：漸近線出射角B=∞n-m=1實(shí)軸[-1,-∞)為根軌跡K1:0∞故根軌跡與虛軸不相交與虛軸交點(diǎn)：漸近線出射角分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：B=4n-m=2實(shí)軸[-1,-4]為根軌跡K1:0∞故根軌跡與虛軸不相交分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：與虛軸交點(diǎn)：漸近線出射角！舍去B=4n-m=2實(shí)軸[-1,-4]為根軌跡K1:0∞故根軌跡與虛軸不相交分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：與虛軸交點(diǎn)：漸近線出射角！舍去B=9n-m=2實(shí)軸[-1,-9]為根軌跡K1:0∞故根軌跡與虛軸不相交分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：與虛軸交點(diǎn)：漸近線出射角！三條軌跡重合B=9n-m=2實(shí)軸[-1,-9]為根軌跡K1:0∞故根軌跡與虛軸不相交分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：與虛軸交點(diǎn)：漸近線出射角！三條軌跡重合B=12n-m=2實(shí)軸[-1,-12]為根軌跡K1:0∞故根軌跡與虛軸不相交分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：與虛軸交點(diǎn)：漸近線出射角B=12n-m=2實(shí)軸[-1,-12]為根軌跡K1:0∞故根軌跡與虛軸不相交分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：與虛軸交點(diǎn)：漸近線出射角控制系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系階躍響應(yīng)設(shè)n階閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為-zi——閉環(huán)零點(diǎn)-si——閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)于階躍輸入的輸出為：系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系其中：可見(jiàn)：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由閉環(huán)極點(diǎn)sk及系數(shù)Ak決定，而系數(shù)Ak也是與零極點(diǎn)分布有關(guān)的。系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系階躍響應(yīng)定性關(guān)系一個(gè)控制系統(tǒng)，總是希望它的輸出盡可能復(fù)現(xiàn)給定的輸入，并且希望動(dòng)態(tài)過(guò)程的快速性和平穩(wěn)性盡可能好。因此，要滿足穩(wěn)準(zhǔn)快的三大要求，零極點(diǎn)應(yīng)該如何分布呢？1.要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則必須使所有的閉環(huán)極點(diǎn)-si均分布在[s]平面的左半部。2.要求系統(tǒng)快速性好，應(yīng)使階躍響應(yīng)中的每個(gè)分量eskt

衰減得快，則閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離虛軸。3.要求系統(tǒng)平穩(wěn)性好，則復(fù)數(shù)極點(diǎn)應(yīng)設(shè)置在[s]平面中與負(fù)實(shí)軸成±45o夾角線附近。4.要求動(dòng)態(tài)過(guò)程盡快消失，要求系數(shù)Ak要小，因?yàn)锳k小，對(duì)應(yīng)暫態(tài)分量小。系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系主導(dǎo)極點(diǎn)與偶極子離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)(復(fù)數(shù)極點(diǎn)或者實(shí)數(shù)極點(diǎn))對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程性能的影響最大，起著主導(dǎo)的決定性的作用，我們稱它(們)為主導(dǎo)極點(diǎn)。一般其他極點(diǎn)的實(shí)部絕對(duì)值比主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部絕對(duì)值大6倍以上時(shí)，則那些閉環(huán)極點(diǎn)可以忽略，有時(shí)甚至比主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部絕對(duì)值大2-3倍的極點(diǎn)也可以忽略不計(jì)。工程上，往往只用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，即將系統(tǒng)看成一階的或二階的處理。工程上，當(dāng)閉環(huán)零極點(diǎn)之間的距離比他們的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)，就可以認(rèn)為他們是一對(duì)偶極子。我們把一對(duì)靠得很近的閉環(huán)零極點(diǎn)稱為偶極子，偶極子對(duì)系統(tǒng)輸出的影響可忽略。系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系主導(dǎo)極點(diǎn)與偶極子離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)(復(fù)數(shù)極點(diǎn)或者實(shí)數(shù)極點(diǎn))對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程性能的影響最大，起著主導(dǎo)的決定性的作用，我們稱它(們)為主導(dǎo)極點(diǎn)。當(dāng)某一閉環(huán)極點(diǎn)(復(fù)數(shù)極點(diǎn)或者實(shí)數(shù)極點(diǎn))與某零點(diǎn)靠得很近時(shí)，它們之間的模值很小，暫態(tài)分量也很小，故輸出中這個(gè)分量的影響可忽略不計(jì)。系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下式，試估算：系統(tǒng)的σ%，和ts解：閉環(huán)有3個(gè)極點(diǎn)-4jσ0-1.5主導(dǎo)極點(diǎn)s1s2s3s1離虛軸最近，可視為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，s2，

s3可忽略不計(jì)。此時(shí)系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)。系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下式，試估算：系統(tǒng)的σ%，和ts解：閉環(huán)有3個(gè)極點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)s1與z1構(gòu)成了偶極子，s2，

s3變?yōu)橄到y(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。此時(shí)系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)。-4jσ0-1.5偶極子s1s2s3z1

根軌跡繪出以后，對(duì)于一定的K1值，即可利用幅值條件，確定相應(yīng)的特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）。如果閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)是已知的，則可以根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)的位置以及已知的輸入信號(hào)，分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性。用根軌跡法分析控制系統(tǒng)的步驟:1.畫出系統(tǒng)的根軌跡圖2.在根軌跡上確定閉環(huán)零、極點(diǎn)的位置3.根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)的分布分析系統(tǒng)的性能系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析舉例說(shuō)明例1:已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)解：1.畫出系統(tǒng)的根軌跡試應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比ζ=0.5時(shí)的性能指標(biāo)。K1=2K(1)有3條根軌跡(2)實(shí)軸上(0~-1),(-2~-∞)為根軌跡段(3)漸近線的夾角與坐標(biāo)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析舉例說(shuō)明(4)分離點(diǎn)的坐標(biāo)(5)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)舍去系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析舉例說(shuō)明0j1j-j1-1-2-3σp3ⅹⅹⅹp1p2-0.4860o-j1.141j1.1412.分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性由根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可知：當(dāng)：0<K<3時(shí)，根軌跡位于左半[s]平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。3.根據(jù)對(duì)阻尼比的要求，確定閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置。60os1由圖中得：s1=-0.33+j0.58s2=-0.33-j0.58s2由開(kāi)環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系得系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析舉例說(shuō)明4.估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)寫出等效閉環(huán)傳遞函數(shù)由已知的閉環(huán)極點(diǎn)和根軌跡的幅值條件可求出對(duì)應(yīng)的根軌跡增益和開(kāi)環(huán)增益。開(kāi)環(huán)增益和根軌跡增益的區(qū)別??！系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析小結(jié)：1.根軌跡圖上希望閉環(huán)極點(diǎn)的位置0jσts≤2sts≤1sσ%≤16%ts≤2sσ%=0.25%系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析2.開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的影響(開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)上增加極點(diǎn))降低了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性漸近線與實(shí)軸傾角隨著n數(shù)增大而減小根軌跡向右方向彎曲漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)隨著pc增大（pc點(diǎn)在實(shí)軸上向右移）而右移，故更靠近原點(diǎn)。向右彎曲趨勢(shì)隨著所增加的極點(diǎn)移近原點(diǎn)而加劇系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析2.開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的影響右移極點(diǎn)增加一個(gè)極點(diǎn)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析2.開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的影響系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析2.開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的影響(開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)上增加零點(diǎn))提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性漸近線與實(shí)軸傾角隨著m數(shù)增大而增加根軌跡向左方向彎曲漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)隨著zc增大（zc點(diǎn)在實(shí)軸上向右移）而左移系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析2.開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的影響系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析2.開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的影響增加一個(gè)零點(diǎn)的情況右移零點(diǎn)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析2.開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)增加一個(gè)慣性環(huán)節(jié)增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)加入一階微分環(huán)節(jié)（s+zc）加入環(huán)節(jié)增加一對(duì)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)|zc|<|pc||zc|>|pc|開(kāi)環(huán)偶極子|zc|≈|pc|改變根軌跡的形狀3.參數(shù)變化對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的影響??廣義根軌跡參量根軌跡延遲系統(tǒng)的根軌跡正反饋系統(tǒng)的根軌跡參量根軌跡概述為了區(qū)別一開(kāi)環(huán)增益為變量的常規(guī)根軌跡，我們把非以開(kāi)環(huán)增益為變量的其他根軌跡成為參量根軌跡。參量根軌跡的繪制方法與常規(guī)根軌跡相同，但必須作適當(dāng)?shù)淖儞Q處理。σ——為根軌跡的參變量。參量根軌跡舉例說(shuō)明例1：設(shè)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制K=10時(shí),系統(tǒng)隨參量a變化的根軌跡a——為根軌跡的參變量。解：寫出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，并進(jìn)行變換如下。代K=10可得：0jσ參量根軌跡舉例說(shuō)明（續(xù)1）(1)根軌跡有兩條。-z1-p1-p2ⅹⅹ(3)整個(gè)負(fù)實(shí)軸都是根軌跡。(2)根軌跡漸近線1條0jσ參量根軌跡舉例說(shuō)明（續(xù)2）(4)匯合點(diǎn)z1p1p2ⅹⅹ(5)出射角180o-180o參量根軌跡推廣:如果開(kāi)環(huán)增益K變化，則，對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)也發(fā)生變化，根軌跡也發(fā)生變化。由此得到的是一族根軌跡.其起點(diǎn)為:0jσz1p1p2ⅹⅹ180o-180o參量根軌跡推廣:對(duì)于參量根軌跡，其分析方法和步驟與常規(guī)根軌跡完全一樣。所有對(duì)應(yīng)常規(guī)根軌跡的分析結(jié)論，在這里也都適用。利用參量根軌跡可分析系統(tǒng)中各參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響，也可用于做根軌跡校正。延遲系統(tǒng)的根軌跡m個(gè)零點(diǎn)n個(gè)極點(diǎn)（nm）幅值條件相角條件（k=0,1,2,…）很小正反饋系統(tǒng)的根軌跡根軌跡方程m個(gè)零點(diǎn)，n個(gè)極點(diǎn)（nm）幅值條件相角條件（k

=0,1,…）

正反饋系統(tǒng)的根軌跡正反饋系統(tǒng)的根軌跡的基本規(guī)則根軌跡的分支數(shù)(相同)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)(相同)根軌跡的對(duì)稱性(相同)實(shí)鈾上的根軌跡：實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)(實(shí)軸上)開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)數(shù)目之和相應(yīng)為偶數(shù)(0也視為偶數(shù))。根軌跡的漸近線：根軌跡漸近線與實(shí)袖的交點(diǎn)(相同);根軌跡漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)(相同)根軌跡的出射角和入射角:離開(kāi)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)出射角;進(jìn)入開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的入射角根軌跡與虛軸的交點(diǎn)(相同)閉環(huán)極點(diǎn)的和與積(相同)正反饋系統(tǒng)的根軌跡例題分析：已知正反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。2條根軌跡：一條終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，另一條則沿正實(shí)軸趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-p1,2=-1j,開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-z=-2

實(shí)軸上[一2，+∞]為根軌跡，n-m=1漸近線1