新初中升高中教育數(shù)學(xué)銜接教材

--一、數(shù)與式的運算乘法公式、因式分第一節(jié)解重點：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及應(yīng)用，十字相乘法，分組分解法，試根法難點：公式的靈便運用，因式分解授課過程：一、乘法公式引入：回顧初中常用的乘法公式：平方差公式，完好平方公（從項的角度變化）那三式，數(shù)和的平方公式(abc)2a2b2c22ab2bc2ac呢？（從指數(shù)的角度變化）看看和與差的立方公式是什()3?么？如ab，能用學(xué)過的公式推導(dǎo)嗎？（平方―――立方）(ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3···················①?呢，同理可推。那可否不重復(fù)推導(dǎo)，直接從①式看出結(jié)將那(ab)3果？(ab)3中的b換成－b即bR）▲這類代換的思想很常用，但要清楚什么時候才能夠代換可。（b3············符號的記憶，(ab)3a33a2b3ab2和――差從代換的角度看問：能推導(dǎo)立方和、立方差公式嗎？即（）（）＝a3b3由①可)233()3(3232((2知，))······abababababaabb②b代換成－b得出：立方差呢？②中的a3b3(ab)(a2abb2)▲符號的記憶，系數(shù)的差異例1：化簡(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)法1：平方差――立方差法2：立方和――立方差（2）已知x2x10,求證：(x1)3(x1)386x▲注意觀察構(gòu)造特點，及整體的掌握二、因式分解：將一個多項式化成幾個整式的積的形式，與乘法運算是互逆變形。初中學(xué)過的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完好平方、立方和、立方差等）（1）十字相乘法試分解因式：x23x2(x1)(2)x----要將二次三項式x2+px+q因式分解，就需要找到兩個數(shù)a、b，使它們的積等于常數(shù)項q，和等于一次項系數(shù)p,滿足這兩個條件便能夠進行以下因式分解，即x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).用十字交織線表示:1a1ba+b（交織相乘后相加）若二次項的系數(shù)不為呢？ax2bxc(a0)，如：2x27x31怎樣辦理二次項的系數(shù)？近似分解：1－32－1--61=-72x27x3(x3)(2x1)ax2+bx+c（a≠0），若是二次項系數(shù)a能夠分解成兩個因數(shù)之整理：關(guān)于二次三項式積，即a=a1a2，常數(shù)項c能夠分解成兩個因數(shù)之c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如積，即下：a1+c1a2+c2=a1c2+a2a1c2+a2c1c1a1c2+a2c1，若它正好等于二次三項ax2+bx+c的一次項系按斜線交織相乘，再相加，獲取式數(shù)b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三項式就可以分解為兩個a1x+c1與a2x+c2之因式積，即ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）?！舶葱袑懛纸夂蟮囊蚴健呈窒喑朔ㄖ攸c：（1）看兩端，湊中間；（2）分解后的因式如3）二次項系數(shù)為負(fù)何寫（時，怎樣簡化例2：因式分解：（1）（2）6x27x55x26xy8y2（3）(xy)(2x2y3)2（2）分組分解法分解xmxnymyn，觀察；無公因式，四項式，則不能夠用提公因式法，公式法及十字相乘法兩種方法----合適分組后提出公因式，各組間又出現(xiàn)新的公因式，····叫分組分解法▲怎樣合適分組是重點（試一試，構(gòu)造），分組的原則，目的是什么？分組后能夠提取公因式，----或；利用公式4(xy1)4練習(xí)：因式分解（1）x393x23x（2）x2y2（3）x33x4（試根法，豎式相除）歸納：怎樣選擇合適的方法作業(yè)：將以下各式分解因式5x6；（4）（1）x25x6；（2）x25x6；（3）x2x25x6x2yxy2；（7）（5）3x22axa2；（6）x3y32a2b2ab2ab；（9）x（8）a62(a1)xa【公式】(abc)2a2b2c22ab2bc2ca1證(abc)2[(ab)c]2(ab)22(ab)cc2明：a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2bc2ca等式成立【例3】計算：22x1)2(x3解：原式=[x2(2x)1]232)x2x22(1)21(x2)2(2x)22x2(1(x)2333x422x38x222x1339說明：多項式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降冪或升冪排列．b【公式2】(ab)(a2ab2)a3b3(立方和公式)(a證明:b)(a2abb2)a3a2bab2a2bab2b3a3b3說明:請同學(xué)用文字語言表述公2.式【例4】計算：（2a+b）（4a2-2ab+b2）=8a3+b3----b【公式3】(ab)(a2ab2)a3b3(立方差公式)----1．計算1）（3x+2y）（9x2-6xy+4y2）=2）（2x-3）（4x2+6xy+9）=（3）1m1(1m21m1)=234694）（a+b）（a2-ab+b2）（a-b）（a2+ab+b2）=2．利用立方和、立方差公式進行因式分解1）27m3-n3=2）27m3-1n3=83）x3-125=4）m6-n6=4】b)3a3b33a2b3ab2【公式(a5】b)3a33a2b3ab2b3【公式(a【例5】計算：（1）(4)(1642)（2）1112112mmm(mn)(mmnn)5225104（3）2)2)(((44216)（4）22)(222aaaa(x2xyyxxyy)解：（1）原式=433643mm（2）原式=3333(1m)(1n)11nm521258（3）原式=(a(a2)24)(a44a242)343a664（4）原式=y)2[(y)(x(x(x2xyy2)2x2xyy2)]2y3)(x32x62x3y3y6說明：（1）在進行代數(shù)式的乘法、除法運算時，要觀察代數(shù)式的構(gòu)造可否滿足乘法公式的構(gòu)造．（2）為了更好地使用乘法公式，記1、2、3、4、?、20的平方數(shù)住和1、2、3、4、?、10的立方數(shù)，是特別有好處的．【例6】已知23x10，求x31的值．xx3解：x23x10x0x13x原式2=(x1)(2111)[(1)23]3(33)18----xxx2)(xxxx說明：此題若先從方程x23x10中解出x的值后，再代入代數(shù)式求值，則計算較煩----瑣．此題是依照條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計算，簡化了計算．請注意整體代換法．此題的解法，表現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，依照題求利用題知，是理智之舉．111111【例7】已知abc0，求a()b()c()的值．bccaab解：abc0,ac,bca,cabb原式=abcbaccabbcacaba(a)b(b)c(c)a3b3c3①bcacababcb)[(a3b3(aab)23ab]c(c23ab)c33abca3b3c33abc②，把②代入①得原式=3abc3abc說明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用．二）、根式式0)叫做二次根式，其性質(zhì)如子a(a下：(1)(a)2a(a0)(2)a2|a|bb(3)abab(a0,b0)(4)(a0,b0)aa【例8】化簡以下各式：x)(1)(32)2(31)2(2)(12(2x)2(x1)解：(1)原式=|32||31|23311(*(2原式=|12x1)(x2)2x3(x2))x||x|(x1)(x2)1(1x2)說明：請注意性|a|的使用：當(dāng)化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要質(zhì)a2對字母的取值分類談?wù)摚纠?】計算(沒有特別說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為3正數(shù))：(1)83x3(2)(3)11(4)2x8x23ab2----33326解：(1)=88824----3(23)3(23)(2)原式=22633(23)(23)3aba2bab2原式=ababxx22x32x22(4)原式=22xxx22x2xxx說明：二次根式的化簡結(jié)果應(yīng)滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．二次根式的化簡常有種類有以下兩種：①被開方數(shù)是整數(shù)或整式．化簡時，先將它分解因數(shù)或因式，爾后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來；x)．這時可將其化②分母中有根式)或被開方數(shù)有分(為a形式(如x可(如3母如232b2x化為)，轉(zhuǎn)變成“分母中有根式”的情況．化簡時，要把分母中的根式化為有理式，采2取分子、分母同乘以一個根式進行化(如33(23)，其中23簡．化為與23(23)(23)3叫做互為有理化因式)．有理化因式和分母有理化若是它們的積不含有二次根那么這有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，式，兩個代數(shù)式叫做有理化因式。a與a；axby與axby互為有理化因式。如分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化?！纠?0】計算：(1)b)2(ab1)(1ab)(a(2)aaaabaab(a)2解：(1)原式=(1b)22(a2abb)2a2abb1aa11原式=ab)a(ab)abab----(ab(b(a)a)2a(ab)(ab)ab----說明：有理數(shù)的的運算法規(guī)都適用于加分法、乘法的運算律以及多項式的乘法公式、式二次根式的運算．【例11】設(shè)23,y23，求x3y3的值．x23233)23(2243,解：x227y743xy14,xy1233原式=(xxyy2)y)22y)(x2(xy)[(x3xy]14(143)2702說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問(1)先化簡后求值；可題：(2)當(dāng)直接代入運算較復(fù)雜時，根據(jù)結(jié)論的構(gòu)造特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量．練習(xí)1．二次根式a2a成立的條件是()D．a(chǎn)是任意實A．a(chǎn)03，2．若x則．－３3．計算：(x3y(3)(ab)(a4．化簡(以下a意義8a3

．a(chǎn)0．a(chǎn)0數(shù)BCx26|的值是96x|x()B．３C．－９D．９4z)2(2b)2()(2a1ab)(a2b)(42abb2)(ab)3)(a4b)(1a24b2ab)的取值范圍均使根式有4)：(2)a1a4ab(4112(3))abba232315．化簡：(2(1)m9m10mm2)2x2yxy(xy0)2m1325mx2x2y，6．若11則3xxy3y的值為()：xyxxyyA33C．55．B．D．55337．設(shè)x1,y1，求代數(shù)x2xyy2式的值．3232xy8．已知a1x20,b1x19,c1x21，求代數(shù)式a2b2c2abbcac----202020的值．----2x1的9．設(shè)x51，求x4x2值．210．化簡或計算：(1)(18411)3(2)222(25)212233352xxxyxxyy(3)xyy2xxyy答案：1．C2．A3．(1x29y216z2(23a25ab3b2)6xy8xz24yz)4a2b13a2b3ab2(416b3(3))1a342(ab)24．2a2aa1ab25．mm2xy6．D7．133643xy8．39．3510．3,,3y（三）、分式當(dāng)分式A的分子、分母中最少有一個是分式時，A就叫做繁分式，繁分式的化簡常用BB以下兩種方法：(2)利用分式的基本性(1)利用除法法規(guī)；質(zhì)．x【例1】化簡1xx1xx1)xxxxx(xx1解法一：原式=1x(1x)xxx2xxx2xxx2xx1(x1)(x1)x1x1xxxxx(x1)x1解法一：原式=x2x(1x)xxx(1x)xxxx----x2x11x1(x)xx說明：解法一的運算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采用通分的方式漸漸脫掉繁分式，解m進行化簡．一般依照題目特點綜合使用兩種方法二則是利用分式的基本性AA法．質(zhì)BBm----【例2】化簡x23x96xx1x2279xx262x解：原式x23x96xx116x1=29x2)3)2(x(x3)(x3x)x(92(3x)x3(x3)(x3)(2(x3)12(x1)(x3)x3)23x2(2(x3)(x3)2(x3)(x3)x3)說明：當(dāng)分子、分母為多項式應(yīng)先因式(1)分式的乘除運算一般化為乘法進行，時，分解再進行約分化簡；(2)分式的計算結(jié)果應(yīng)是最簡分式或整式．四）、多項式除以多項式做豎式除法時，被除式、除式都要按同一字母的降冪排列，缺項補零（除式的缺項也可以不補零，但做其中的減法時，要同類項對齊），要特別注意，獲取每個余式的運算都是減法。結(jié)果表示為：被除式=除式商式+余式計算243)(3【例1】()xxxx23解：x23xx

44

003x003x23x3x

22

3x93x9(x43x)(3x2)(x23)93x練習(xí)計算1．(3x2．(2x

310x213x27)(x22x3)2x32)(x21)3．已知9x421x32x211x2,B335241Axxx求：A2B2答案：----1．(3x310x213x27)(x22x3)14x153x42x2x3----2．(2x2x32)(x21)x2xx213．A2B2(3x2)2二、因式分解因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形．在分式運算、解方程及各種恒等變形中起重視要的作用．是一種重要的基本技術(shù)．因式分解的方法很多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等．一）、公式法【例1】用立方和或立方差公式分解以下各多項式：(1)8x3(2)0.12527b3中，解析：823，(2)中0.1250.53,27b3(3b)3．解：x323x32xx2(1)8(2x)(4)(2)0.12527b30.53(3b)3(0.53b)[0.520.53b(3b)2](0.53b)(0.251.5b9b2)說明：(1)在運用立方和(差)公式分解因式時，經(jīng)常要逆用冪的運算法則，如8a3b3(2ab)3，這里逆用了法規(guī)(ab)nanbn；(2)在運用立方和(差)公式分解因式時，必然要看準(zhǔn)因式中各項的符號．【例2】分解因式：(1)3a3b81b4(2)a7ab6解析：(1)中應(yīng)先提取公因式再進一步分(2)中提取公因式后，括號內(nèi)出現(xiàn)a6b6，解；可看著是(b3)2或(a3)2(a2)3(b2)3．解：(1)3a3b81b43b(a327b3)3b(a3b)(a23ab9b2)．(2)a7ab6a(a6b6)a(a3b3)(a3b3)a(ab)(a2abb2)(ab)(a2a(ab)(ab)(a2abb2)(a2

2abb)二)、分組分解法從前面能夠看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主若是二項式和三項式．而關(guān)于----mbnanb既沒有公式可用，也沒有公因式能夠提?。蛩捻椧陨系亩囗検?，如ma此，能夠先將多項式分組處這類利用分組來因式分解的方法叫做分組分解理．法．分組分解法的重點在于怎樣分組．1．分組后能提取公因式【例3】把2ax10ay5bybx分解因式．x的降冪排列，解析：把多項式的四項按前兩項與后兩項分成兩組，并使兩組的項按然2a與b，這時另一個因式正好都后從兩組分別提出公因式是x5y，這樣能夠連續(xù)提取公因式．解：2ax10ay5bybx2a(x5y)b(x5y)(x5y)(2ab)說明：用分組分解法，必然要想想分組后可否連續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法．此題也能夠?qū)⒁?、四項為一組，二、三項為一組，同學(xué)不如一試．【例4】把ab(c2d2)(a2b2)cd分解因式．解析：依照本來分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，爾后再分解因式．解：ab(c2d2)(a2b2)cdabc2abd2a2cdb2cd(abc2a2cd)(b2cdabd2)ac(bcad)bd(bcad)(bcad)(acbd)說明：由例3、例4能夠看出，分組時運用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運用了分配律．由此能夠看出運算律在因式分解中所起的作用．2．分組后能直接運用公式【例5】把x2y2axay分解因式．解析：把第一、二項為一組，這兩項誠然沒有公因式，但能夠運用平方差公式分解因式，其中一個因式是xy；把第三、四項作為另一組，在提出公因式a后，另一個因式也是xy.解：x2y2axay(xy)(xy)a(xy)(xy)(xya)【例6】把2x24xy2y28z2分解因式．解析：先將系數(shù)2提出后，獲取x22xyy24z2，其中前三項作為一組，它是一個完好平方式，再和第四項形成平方差形式，可連續(xù)分解因式．解：2x24xy2y28z22(x22xyy24z2)2[(xy)2(2z)2]2(xy2z)(xy2z)說明：從例5、例6能夠看出：若是一個多項式的項分組后，各組都能直接運用公式或----提取公因式進行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運用公式或有公因式，那么這個多項式就可以分組分解法來分解因式．三)、十字相乘法1．x2(pq)xpq型的因式分解這類式子在好多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點是：(1)二次項系數(shù)是1；(2)常數(shù)項是兩個數(shù)之積；(3)一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和．x(q)xpqx2pxqxpqx(p)q(xp)(xp)(q)2pxxx2(q)pq(p)(q)所以，pxxx運用這個公式，能夠把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式．【例7】把以下各式因式分解：(1)x27x6(2)x213x36解：6(1)(6),(1)(6)7(1)x2(1)(6)(x7x6[xx][x]1．)(6)(2)3649,4913x23613xx(4x)(9)說明：此例能夠看出，常數(shù)項為正數(shù)時，應(yīng)分解為兩個同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號同樣．【例8】把以下各式因式分解：(1)x25x24(2)x22x15解：(1)24(3)8,(3)85x2(3)x]x3)5x24x[(8)x((8)(2)15(5)3,(5)32x5)x22x15x[(5)x](3)x((3)說明：此例能夠看出，常數(shù)項為負(fù)數(shù)時，應(yīng)分解為兩個異號的因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)的符號同樣．【例9】把以下各式因式分解：(1)x2xy6y2(2)(x2x)28(x2x)12解析：(1)把看作x的二次三項式，這經(jīng)常數(shù)項，一次項系數(shù)x2xy6y2是6y2是----，把6y2分解成3y與2y的積，而3y(2y)y，正好是一次項系數(shù)．整體看作一個字(2)由換元思想，只要把x2母a，可不用寫出，只看作分解二次三項式28a12．a(chǎn)解：x2xy6y2x2yx62(x3y)(x2y)(1)2x)22x(x22(2)(x8(x)12x6)(xx2)2)((x3)(x2)(xx1)2．一般二次三項ax2bxc型的因式分式解c1)(a2c2)a1a2大家知道，(a1xxx2(a1c2a2c1)xc1c2．c1)(a2x反過來，就獲?。篴1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc2)a分解成a1a2，常數(shù)c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)項寫成a1c1a2c1，若是它正好等于2c，這里按斜線交織相乘，再相加，就獲取a1ac2axbxc22的一次項系數(shù)b，那么c就可以分解成(a1c1)(a2xc2)，其中a1,c1位于ax2bxx上一行，a2,c2位于下一行．這類借助畫十字交織線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必定注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所過去往要經(jīng)過多次試一試，才能確定一個二次三項式可否用十字相乘法分解．【例10】把以下各式因式分解：(1)12x25x2(2)5x26xy8y232解：(1)12x25x2(3x2)(4x1)415x212y(2)6xy8y24y(x2y)(5x4y)5說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要．當(dāng)二次項系數(shù)不是1時較困難，詳盡分解時，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交織相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否吻合一次項系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對值，爾后調(diào)整，增加正、負(fù)號．四)、其他因式分解的方法----1．配方法【例11】分解因式x26x16解：x26x16x22x3323216(x3)252(x35)(x35)(x8)(x2)說明：這類想法配成有完好平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項式化為兩個平方式，爾后用平方差公式分解．自然，此題還有其他方法，請大家試驗．2．拆、添項法【例】分解因式x33x2412解析：此多項式顯然不能夠直接提取公因式或運用公式，分組也不易進行．細(xì)查式中無一次項，若是它能分解成幾個因式的積，那么進行乘法運算時，必是把一次項系數(shù)合并為0了，可考慮經(jīng)過添項或拆項解決．解：x33x24(x31)(3x23)(1)(xx1)(x2x1)3(x1)(x1)[(x2x1)3(x1)](x1)(1)(x24x4)(xx2)2說明：本解法把原常4拆成1與3的和，將多項式分成兩組，滿足系數(shù)對應(yīng)成比數(shù)例，造成能夠用公式法及提取公因式的條件．此題還可以夠?qū)?x2拆成x24x2，將多項式分成兩組(x3x2)和4x24．一般地，把一個多項式因式分解，能夠依照以下步驟進行：若是多項式各項有公因式，那么先提取公因式；若是各項沒有公因式，那么能夠試一試運用公式來分解；(3)若是用上述方法不能夠分解，那么能夠試一試用分組或其他方法(如十字相乘法)來分解；分解因式，必定進行到每一個多項式因式都不能夠再分解為止．練習(xí)1．把以下各式分解因式：(1)a327(2)8m3(3)27x382．把以下各式分解因式：(1)xy3x4(2)xn3xny3(3)y2(x22x)3y23．把以下各式分解因式：(1)x23x2(2)x26x27(3)m24mn5n24．把以下各式分解因式：----(1ax510ax416ax3an2an1b6anb2(3)(x22x)2)(2)9(4)8x226xy15y2(5)7(ab)25(ab)25．把以下各式分解因式：(1)3ax3ayxyy2(2)8x34x22x1(3)5x215x2xy6y(4)4xy14x2y2(5)a4ba3b2a2b3ab4(6)x6y62x31(7)x2(x1)y(xyx)6．已知ab2,ab2，求代數(shù)式a2b2a2b2ab2的值．372n5n4n120．證明：當(dāng)n為大的整數(shù)時，53于能被整除．8．已知abc0，求證：a3a2cb2cabcb30．答案：1．(a3)(a23a9),(2m)(423x)(46x9x2),2mm),(22．x(x2),xny2)y2(x1)2xy)(y2xy(xy)(x2xy,(x44x33x22x1)3．(x1)，9)(2)(x(xx3)，(m5n)(mn)4．a(chǎn)x33b)(1)(x(x2)(x8)；an(aa2b)；(x3)(x22x3)；(2xy)(4x15y),(7a7b2)(ab1)5．(y)(31)2(2x2y)；xay),(2x1),(x3)(5x(12xy)(12xy),b)2(a31y3)(x3y3),y)(ab(ab),(x1x(xxy1)．286．37．n55n34n(n2)(n1)n(n1)(n2)8．a(chǎn)3a2cb2cabcb3(a2abb2)(abc)二次函數(shù)及其最第二節(jié)值重點：二次函數(shù)的三種表示形式，韋達定理，給定區(qū)間的最值問題難點：給定區(qū)間的最值問題----授課過程：一、韋達定理（二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系）0時），此時由求根公式二次方程ax2bxc0(a0)什么時候有根（鑒識式得，bb24acx，求出了詳盡的根，還反響了根與系數(shù)的關(guān)系。那能夠不解方程，直2a接從方程中看出兩根和（積）與系數(shù)的關(guān)系嗎，bb24acbb24acbx1x22a2aabb24acbb24accx1x22a2aac，那么x1,x2必然是ax反過來，若x1,x2滿足2x1x2b,xbxc0(a0)1x2aa的兩根，即韋達定理的逆定理也成立。作用：（1）已知方程，得出根與系數(shù)的關(guān)系（2）已知兩數(shù)，構(gòu)造出以兩數(shù)為根的一元二次方1）：xx2)程（系數(shù)為2(x1xx1x20例1：x1,x2是方程2x23x50的兩根，不解方程，求以下代數(shù)式的值；2②|x23①x12x2x1|③x13x2二、二次函數(shù)的三種形式(1)yax2bxc(a0)一般式：(2)ya(xh)2k(a0)，其中極點坐標(biāo)為（h，k）極點式：練：求以下函數(shù)的最（2）y3x（3（1）yx24x526x8值。）y2x23x4除了上述兩種表示方法外，我們還可以夠借助圖像與x軸的交點，得出另一種表示方法；函數(shù)yax2bxc(a0)的圖像與x軸公共點的橫坐標(biāo)就是方程ax2bxc0的根，那它根的情況由誰決定，（鑒識式），當(dāng)方程有兩根x1,x2時，由韋達定理可知----x1x2b,x1x2c，aa所以----bxca(x2bc)a[x(x1x2)xx1x2]a(xx1)(xyax2x2x2)，這是二次函數(shù)的交點式。aa（3）交點式：ya(xx1)(xx2)(a0)▲依照題目所給條件，適當(dāng)選擇三種形式。例2：分別求以下一元二次函數(shù)的解析（P43－44）式。（1）3，0），（1，0），且極點到x軸的距2；已知二次函數(shù)的圖象過點（－離等于x＝1，最大值為15，圖象與x軸有兩個交點，其橫坐2）已知二次函數(shù)的對稱軸為標(biāo)的立方和為17；三、二次函數(shù)在給定范圍內(nèi)的最值問題例3、已知函數(shù)yx22x3，當(dāng)自變量x在以下取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（?。┲禃r所對應(yīng)的自變量x的值:(1)x2;(2)x2;(3)2x1;(4)0x3（選動范圍問題講）a(a為大于－1的常數(shù)），求函數(shù)x2的最大值M和最小值m。例4、已知1xy（P50）▲數(shù)形結(jié)合，依照對稱軸與取值范圍內(nèi)圖象的相對地址進行分類討論，掌握好為什么要分類談?wù)?、怎樣進行分類討論。（要講到位）作業(yè)：A（2，18），它與x軸兩個交點之間的距1、已知某二次函數(shù)的圖象的極點為離為6，求此二次函數(shù)的解析式。2、如圖，用長為18m的籬笆（虛線部分），兩面靠墻圍成矩形的苗圃。（1）設(shè)矩形的一邊為x（m），面積為y（m2），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為什么值時，所圍苗圃的面積最大，最大面積是多少三、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要修業(yè)生掌握一元二次方程的看法、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有----著好多應(yīng)用．本節(jié)將對一元二次方程根的鑒識式、根與系數(shù)的關(guān)系進行闡述．----一）、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程bxc0(a0)，用配方法將其變形為：b2ax2(xb)24ac2a4a2(1)當(dāng)b24ac0時，右端是正數(shù)．所以，方程有兩個不相等的實數(shù)根：bb24acx2a(2時，右端是零．所以，方程有兩個相等的實數(shù)x1,2b)當(dāng)b24ac0根：2a當(dāng)b24ac0時，右端是負(fù)數(shù)．所以，方程沒有實數(shù)根．由于能夠用b24ac的取值情況來判斷一元二次方程的根的情所以，把b24ac況．叫做一元二次方程c0(a0)的根的鑒識式，表示ax2bx為：b24ac【例1】不解方程，判斷以下方程的實數(shù)根的個數(shù)：(12x24y25(x2)3x10(2)912y(3)3)6x0(1原方程有兩個不相等的實數(shù)解：)(3)242110，∴根．(22)原方程可化為：4y12y90(122)449，∴0原方程有兩個相等的實數(shù)根．(32)原方程可化為：5x6x1502264，∴0原方程沒有實數(shù)(6)4515根．說明：在求判斷式時，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式．2】已知關(guān)于x的一元二次方3x22xk0，依照以下條件，分別求k【例程出的范圍：方程有兩個不相等的實數(shù)(2方程有兩個相等的實數(shù)(1))根；根(3)方程有實數(shù)(4根；)方程無實數(shù)根．解：(2)243k412k(111)412k0k3；(2)412k0k；3(311)412k0k；(4)412k0k．33----3yxyxy2xy10，試求y的【例】已知實數(shù)x、滿足22x、值．----解：能夠把所給方程看作為關(guān)x的方程，整理2)于得：x2(yxy2y10由于x是實數(shù)，所以上述方程有實數(shù)根，因此：[(y2)]24(y2y1)3y20y0，代入原方程得：x22x10x1．綜上知：x1,y0二）、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的兩個根一元二次方程ax2bxc0(a為：xbb24ac,xbb24ac2a2abb24acbb24acb所以：x1x2，2a2aabb24acbb24ac(b)2(b24ac)24accx1x224a22a2a(2a)aax200)的兩個根為x1,x2，那定理：若是一元二次方程bxc(a么：x1x2b,x1x2caa說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)，所過去常把此定理稱為”韋達定理”．是方程的兩個根，試求以下各式的【例4】若x1,x2x22x20070值：2(3(4)|x1x2x22；(2)11；)(x15)(x25)；|．(1)x1x1x2解析：此題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現(xiàn)復(fù)雜的計算．這里，能夠利用韋達定理來解答．解：由題意，依照根與系數(shù)的關(guān)系x1x22,x1x22007得：(1)x12x22(x1x2)22x1x2(2)22(2007)401811x1x222(2)x1x2x1x220072007(3)(x15)(x25)x1x25(x1x2)2520075(2)251972----(4)|x1x2|(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2)24(2007)4502----說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以低等式變形：22211x1x22x22x1x2(x1x2)2x1x2，，(x1x2)(x1)4x1x2，x1x2x1x2|x222x1|(x1x2)2x2x1x2(x1x2)，4x1x2，x1x2x1x13x23(x1x2)33x1x2(x1x2)等等．韋達定理表現(xiàn)了整體思想．【例5】一元二次方程x24xa0有兩個實根，一個比3大，一個比3小，求a的取值范圍。y0x=2解一：由(x13)(x23)0解得：a3，則以下列圖，只解二：設(shè)f(x)x24x須f(3)0，x03解得a30一個根小于0，另一根大于【例6】已知一元二次方程x2(a29)xa25a62，求a的取值范圍。y解：如圖，設(shè)f(x)2(a29)xa25a6x2a3x02f(0)0880，解之得1a2a則只須f(2)3∴3【例7】已知關(guān)于x的方程x2(k1)x1k210，依照以下條件，分別求k的值．出4方程兩實根的積方程的兩實x1,x2滿足|x1|(1)為5；(2)根x2．解析：(20，二是(1)由韋達定理即可求之；)有兩種可能，一是x1x2x1x2，所以要分類談?wù)摚猓骸叻匠虄蓪嵏姆e5(1)為[(k1)]24(1k21)043∴k,k4121k2152xx4----所以，當(dāng)k4時，方程兩實根的積為5．由|x1(2)|x2得知：----x2，所以方程有兩相等實數(shù)根，3①當(dāng)x10時，x1故0k；2x1x20②當(dāng)x10時，x1x2k10k1，由于31不合題意，舍0k，故k去．2綜上可得，3x1,x時，方程的兩實根2滿足k|x1|x2．2說明：依照一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足0．【例8】已知x1,x2是一元二次方程4kx24kxk10的兩個實數(shù)根．可否存在實數(shù)k，使3k的成立？若存在，求出(1)(2x1x2)(x12x2)值；2若不存在，請您說明原由．x1x22的值為整數(shù)的實(2)求使數(shù)k的整數(shù)值．x2x1假設(shè)存在實數(shù)k，使3解：(1)(2x1x2)(x12x2)成立．2∵一元二次方程4kx24kxk10的兩個實數(shù)根4k0∴2k0，(4k)44k(k1)16k0又x1,x2是一元二次方程4kx24kxk10的兩個實數(shù)根x1x21∴k1x1x24kx2)(x222∴(2x112x2)2(x)5x1x22(x1x2)9x1x21x2k939k，但k0．4k253∴不存在實數(shù)k，使(2x1x2)(x12x2)成立．2(2x1x2x12x22(x1x2)24k4)∵2244x2x1x1x2x1x2k1k1----0∴要使其值是整數(shù)，只要k1能被4整除，故k11,2,4，注意到k，x1x2要使2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值為2,3,5．x2x1----說明：(1)存在性問題的題型，平時是先假設(shè)存在，爾后推導(dǎo)其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在．(2)此題綜合性較強，要學(xué)會對4為整數(shù)的解析方法．k1練習(xí)k的取值范圍是1．一元二次方程(1k)x22x10有兩個不相等的實數(shù)根，則()B．k2,且kC．kD．k2,且kA．k21212．若x1,x2是方程的值為2x26x30的兩個根，則11()x1x2A．2B．2C．1D9．22x的3．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線交于O點，且OA、OB的長分別是關(guān)于方程x2(2m1)xm230的根，則m等于)(B．A．35C．5或3D．5或34．若實數(shù)ab，且a,b滿足a28a50,b28b50，則b1a1的值為a1b1()A．20B．2C．2或20D．2或205．若方程0的兩根之差2x2(k1)xk3為1，則k的值是_____．6．設(shè)x1,x2是方程1是關(guān)于x的方程x2pxq0的兩實根，x11,x2x2qxp0p=，q=的兩實根，則__________．7x10x36x取什么實數(shù)，其值都不能．關(guān)于二次三項，小明得出以下結(jié)論：無式2論能等于10，您可否贊成他的看法？請您說明原由．8．一元二次方程7x2m20兩根x1、x2滿足013)xm2x11x22(m求m取值范圍。9x(4m1)x2m10．已知關(guān)于x的一元二次方2程．求證：不論為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的兩根x1,111為x2，且滿足，求m的值．x1x22----10x的方x(k1)xk10．已知關(guān)于程212．4k取何值時，方程存在兩個正實數(shù)根？(2)若該方程的兩根是一個矩形相鄰兩邊的長，當(dāng)矩形的對角線長是5時，求k的值．11．已知關(guān)于x的方程(k1)x2(2k3)xk10有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2．求k的取值范圍；(2)可否存在實數(shù)k，使方程的兩實根互為相反數(shù)？若是存在，求出k的值；若是不存在，請您說明原由．12．若x1,x2是關(guān)于x的方程x2(2k1)xk210的兩個實數(shù)根，且x1,x2都大于1．求實數(shù)k的取值范圍；x11(2)若，求k的值．x22答案：1．B2．A3．A4．．或36．p1,q3A597．正確f0f0f01或28．由(2)可得2m3m49．(1)16m50(2)m1210．(1)3k(2)k2211．(1)13k且k1(2)不存在12．(12k3且k1(2)k7．1)；4四、一元高次方程的解法含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次項的次數(shù)2的整式方程叫做一元高次方程。大于一元高次方程的解法平時用試根法因式分解或換元法達到降次的目的，變換為一元一次方程或一元二次方程，從而求出一元高次方程的解。（1）x32（）42【例1】解方程+3x-4x=02x-13x+36=04,x20,x3解：（1）原方程可化為x（x-1）（x+4）=0x11,（2）原方程可化為（x2-9）（x2-4）=0；（x+3）（x-3）（x+2）（x-2）=0----x13,x22,x32，x43練習(xí)----解方程1）x3+5x2-6x=02）（x2-3x）2-2（x2-3x）-8=0（1）（）答案：6,1,x4x1x20,x31,2x11,x22,x34五、三元一次方程組的解法舉例1）．三元一次方程組的看法：三一次方程組中含有三個未知數(shù)，每個方程的未知項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程。注：（1）“未知項”與“未知數(shù)”不同樣。（2）每個方程不用然都含有三個未知數(shù)。它的一般形式是未知項的系數(shù)不全為零，其中每一個方程都能夠是三元、二元、一元一次方程，但方程組中必然要有三個未知數(shù)。2）．解三元一次方程組的基本思想方法是：【例1】解方程組解析：方程①只含x，z，所以，能夠由②，③消去y，再獲取一個只含x，z的方程，與方程①組成一個二元一次方程組．解：②×3＋③，得11x＋10z＝35．（4）①與④組成方程組解這個方程組，得----把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，∴．∴【例2】解方程組解析：三個方程中，z的系數(shù)比較簡單，能夠考慮用加減法，想法先消z。解：①+③，得5x+6y=17④②+③×2，5x+9y=23得，⑤④與⑤組成方程組解這個方程組，得把x=1，代入③得：y=22×1+2×2-∴z=3z=3，∴另解：②+③-①，得3y=6，∴y=2把y=2分別代入①和③，得解這個方程組，得：----∴注：①此題確定先消去z后，就要依照三個方程消兩次z（其中一個方程要用兩次），切忌消一次z，再消一次其他未知數(shù)，這樣得不到一個二元一次方程組，達不到消元的目的。②此題的“另解”是先同時消去兩個未知數(shù)，直接求出一個未知數(shù)的值，爾后把所求得的未知數(shù)的值代入方程組中的兩個方程組中，獲取一個二元一次方程組，再求出另兩個未知數(shù)的值。這類解法是一種特別解法，只有認(rèn)真觀察，才能做出。練習(xí)解以下三元一次方程組1）2）3）2．已知，且x+y+z=24，求x、y、z的值。3．代數(shù)式ax2+bx+c在x為1，-1，2時，它的值分-6，-8，-11，別是求：①a，b，c的值；②當(dāng)x=-4時，求代數(shù)的值。*4．已知2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且xyz≠0求：的值。*5．已知且xyz≠0，求x：y：z．．*．用100元恰好買了三種筆100支，其中金筆每3元，圓珠筆6共支10元，鉑金筆每支每支0．5元，試問三種筆各買了多少支？答案：----x4a3x81.(1)y3(2)b0(3)y4z8c6z22.x=6,y=8,z=103.a=-2,b=1,c=-5;-4114.8x:y:z3:2:46..金筆5支鉑金筆5支圓珠筆90支六、簡單的二元二次方程組的解法舉例（1）二元二次方程及二元二次方程組觀察方程，此方程的特點：①含有兩個未知數(shù)；②是整式方程；③含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2.定義①：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做二元二次方程.二元二次方程的一般形式是：（、、不同樣時為零）abc.其中叫做二次項，叫做一次項，叫做常數(shù)項.定義②：二元二次方程組即有兩個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的方程組由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程及兩個二元二次方程組成的方程組是我們所研究的二元二次方程組.比方：都是二元二次方程組.（2）二元二次方程組求解的基本思想是“轉(zhuǎn)變”，即經(jīng)過“降次”、“消元”，將方程組轉(zhuǎn)變成一元二次方程或二元一次方程組。由于這類方程組形式錯雜，解題方法靈便多樣，擁有較----強的技巧性，所以在解這類方程組時，要認(rèn)真解析題中各個方程的構(gòu)造特點，選擇較合適的方法。由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組的解法.我們已經(jīng)學(xué)過二元一次方程組的解法，所謂解二元一次方程組就是求方程組中兩個方程的公共解，同樣，解二元二次方程組也就是求方程組中兩個方程的公共解.解二元二次方程組的基本思想是消元和降次，消元就是化二元為一元，降次就是把二次降為一次，所以能夠經(jīng)過消元和降次把二元二次方程組轉(zhuǎn)變成二元一次方程組、一元二次方程甚至一元一次方程.關(guān)于由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組來說，代入消元法是解這類方程組的基本方法.【例1】解方程組解析：由于方程組是由一個二元一次方程和二元二次方程組成的，所以經(jīng)過代入可以達到消元的目的，經(jīng)過②得再代入①能夠求出的值，從而獲取方程組的解.解：由②，得把③代入①，整理，得解這個方程，得.把代入③，得；把代入③，得.----所以原方程的解是xy7(1)【例2】解方程組xy10(2)解析：可用“代入法”解。也能夠依照一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把x、y看作一元二次方程的兩個根，經(jīng)過解這個一元二次方程來求x，y。解：從根與系數(shù)的關(guān)系，這個方程組的解，能夠看作一元二次方程t27t100的兩個根。解此方程得t12,t25，t的這兩個值，不論哪一個作為x、y都能夠。所以，x12x25所求的解為或y15y22練習(xí)3x2xy4y23x4y0*1.解方程組x2y3x2xyy

22

2515*2.解方程組3x231xy5y245解析（1）×3＋（2）得（x－2y）（3x－y）＝0x2y25解方程組xy2----答案：----1.（把第一個方程因式分解為(3x4y)(xy1)0，得兩個一次方程，從而降次）x14x24x34x43解為或或或y13y23y33y44x12x22x31x412.解為：或或或y11y21y33y43x12x22x31x413.解為：或或或y11y21y32y42第三節(jié)比率關(guān)系，性質(zhì)及其應(yīng)用授課過程：4個非零數(shù)a，b，c，dc，其中a，d叫做比成比率，即c:daa:b，也可寫成例外bd項，b，c叫做比率內(nèi)項，d叫做a，b，c的第四比率項。特其他當(dāng)比率內(nèi)項相等時，即a:bb:c，（或ab），此時b叫做ac的比率中項。bc一、比率的性質(zhì)ac1、基本性質(zhì)adbc(bd0)，比率的兩個外項的乘積等于兩個內(nèi)項的乘積。bd特別地，abb2ac(bc0)c2、更比性質(zhì)當(dāng)abcd0時，acadbcbdbabdacdc比率式有多種變形形式：內(nèi)項和外項能夠相應(yīng)的交換地址（注意是對應(yīng)地址，即交織相乘相等出現(xiàn)的式子是同樣的）3、合比性質(zhì)acabcd（證明：兩邊＋1）bdbd4、等比性質(zhì)acmacma(bdn0)bdnbdnbk過渡，這類k的方法在解決比率問題中很常（證明：用中間量設(shè)用）例1：(1)已知b3，求證：a11----ab8b8（2）已知ac(bd0)，求證：abdcbdacbd----（3）已知ace3,bdf4,求ace的值。（比任性質(zhì)的靈便使用）bdf二、比任性質(zhì)的應(yīng)用（一）平行線均分線段定理1、由特別：“三條平行線被兩條直線所截”情況入非平行）、猜手，觀察（平行想：不論l與l可否平行，只要A1A2A2A3,就有B1B2B2B3。lll'l'BCA1A111B1l1l1A2A2C2B2B2l2l2CA33B3A3B3l3l3證明：（1）先證l//l時，（特別地址）（2）再證l不平行l(wèi)時，（引導(dǎo)怎樣思慮：將一般地址化歸為特別地址辦理：輔助線作法兩種（上圖）〔給學(xué)生指出：在研究問題中，將困難的、不熟悉的問題轉(zhuǎn)變成簡單的、熟悉的問題，這是解決數(shù)學(xué)問題不能缺少的思想方法――－化歸思想〕從運動的角度看，將l平移，使得l與l1訂交于A1，得出推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必均分第三邊；BDAB例2：已知三角形ABC中，AD是角平行線，求證：DCAC析：證比率關(guān)系，從相似，平行下手，解析思路▲三角形內(nèi)角均分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角均分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比率。練習(xí)：已知在ABC中，AD是角均分線，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm，則BD=_____cm.作業(yè)：1、依照以下各式，a:b的值。（1）ab3（2）a5求b8ba72、已知a2,3e＝_______________。ce則2acbdf2bd3f3、已知在△ABC中，AB＝6,BC＝8,AC＝7，MN//AC，分別交AB，B