單組樣本的假設(shè)檢定課件

第10章

單組樣本的假設(shè)檢定10-1第10章

單組樣本的假設(shè)檢定10-110-2目標(biāo)定義假設(shè)與假設(shè)檢定。描述假設(shè)檢定的5個步驟。區(qū)別單尾檢定與雙尾檢定間的不同。進(jìn)行母體平均數(shù)的假設(shè)檢定。進(jìn)行母體比例的假設(shè)檢定。定義型I與型II誤差。10-2目標(biāo)定義假設(shè)與假設(shè)檢定。何謂假設(shè)？假設(shè)是一個關(guān)於母體參數(shù)的陳述，之後則使用資料與計算機(jī)率驗證這個陳述是否合理。母體參數(shù)的假設(shè)例子為：對於系統(tǒng)分析師的平均月收入為$3,625。Bovine’sChopHouse約有20%的顧客會在一個月內(nèi)來用餐兩次。10-3何謂假設(shè)？假設(shè)是一個關(guān)於母體參數(shù)的陳述，之後則使用資料與計算何謂假設(shè)檢定？假設(shè)檢定(hypothesistesting)：基於樣本證據(jù)與機(jī)率理論來判斷假設(shè)是否合理而要接受，或是假設(shè)不合理而要拒絕的過程。10-4何謂假設(shè)檢定？假設(shè)檢定(hypothesistesting假設(shè)檢定的五個步驟10-5假設(shè)檢定的五個步驟10-5步驟1：建立虛無假設(shè)與對立假設(shè)虛無假設(shè)（nullhypothesis）H0

：關(guān)於母體參數(shù)值的假設(shè)性敘述。對立假設(shè)（alternatehypothesis）H1

：當(dāng)樣本資料提供足夠證明虛無假設(shè)不為真時，接受的對立敘述就是對立假設(shè)。10-6步驟1：建立虛無假設(shè)與對立假設(shè)虛無假設(shè)（nullhypo母體平均數(shù)的假設(shè)檢定有三種情形1.2.3.

記得虛無假設(shè)始終包含等式10-7母體平均數(shù)的假設(shè)檢定有三種情形1.10定義型I誤差（typeIerror）：當(dāng)虛無假設(shè)H0為真時卻被拒絕，用表示。型II誤差（typeIIerror）：當(dāng)虛無假設(shè)不正確時卻被接受，用表示。10-8定義型I誤差（typeIerror）：10-8步驟2：選擇顯著水準(zhǔn)10-9步驟2：選擇顯著水準(zhǔn)10-9單尾檢定當(dāng)對立假設(shè)

H1

，表示一個方向時，即為單尾檢定，例如：H1：全職員工的年終獎金超過$35,000。（μ>$35,000）H1：行駛在I-95公路上的卡車時數(shù)每小時小於60英里。（μ<60）H1：對於加油的顧客，付現(xiàn)的人數(shù)少於20%。（μ<20）10-10單尾檢定當(dāng)對立假設(shè)H1，表示一個方向時，即為單尾檢定，例在0.05顯著水準(zhǔn)與右尾檢定下的z

統(tǒng)計量抽樣分配10-11在0.05顯著水準(zhǔn)與右尾檢定下的z統(tǒng)計量抽樣分配10雙尾檢定如果對立假設(shè)並沒有指出一個方向時，我們使用雙尾檢定。例如：H1：Georgetown城沃爾瑪百貨每位顧客的平均消費金額不等於$25。（μ≠$25）H1：每加侖汽車售價不等於$1.54。（μ≠$1.54）10-12雙尾檢定如果對立假設(shè)並沒有指出一個方向時，我們使用雙尾檢定。雙尾檢定的不拒絕域與拒絕域，顯著水準(zhǔn)為0.0510-13雙尾檢定的不拒絕域與拒絕域，顯著水準(zhǔn)為0.0510-13步驟3：決定檢定統(tǒng)計量檢定統(tǒng)計量（teststatistic）：一個由樣本資訊所計算出來的統(tǒng)計值，用來決定是否要拒絕這個虛無假設(shè)。10-14步驟3：決定檢定統(tǒng)計量檢定統(tǒng)計量（teststatist母體平均數(shù)檢定，其中母體標(biāo)準(zhǔn)差已知在大樣本與母體標(biāo)準(zhǔn)差已知的情形下，母體平均數(shù)的檢定統(tǒng)計量為：10-15母體平均數(shù)檢定，其中母體標(biāo)準(zhǔn)差已知在大樣本與母體標(biāo)準(zhǔn)差已知的步驟4：制訂決策法則臨界值（criticalvalue）：介於虛無假設(shè)拒絕域與接受域間的分隔點。10-16步驟4：制訂決策法則臨界值（criticalvalue）範(fàn)例位在紐約州西部的Jamestown鋼鐵公司，主要製造及組裝書桌或其他辦公室設(shè)備。在Fredonia分廠中，每週生產(chǎn)的A325型號書桌數(shù)量服從常態(tài)分配，其平均數(shù)為200張、標(biāo)準(zhǔn)差為16張書桌。最近由於市場需求增加，該工廠引進(jìn)新的生產(chǎn)方式並雇用了新的員工。公司副總裁想要調(diào)查A325型號書桌在引進(jìn)新的生產(chǎn)方式後，產(chǎn)量是否有改變。換句話說，在0.01的顯著水準(zhǔn)下，F(xiàn)redonia分廠的平均書桌產(chǎn)量是否為200張？10-17範(fàn)例位在紐約州西部的Jamestown鋼鐵公司，範(fàn)例continued步驟1：建立虛無假設(shè)與對立假設(shè)。

H0:μ=200；H1:μ≠20010-18步驟3：選擇樣本統(tǒng)計量。母體服從常態(tài)分配，且母體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知，使用z分配做為檢定統(tǒng)計量。

步驟2：選擇顯著水準(zhǔn)。

如題目所述，使用0.01

的顯著水準(zhǔn)。

範(fàn)例continued步驟1：建立虛無假設(shè)與對立假設(shè)。範(fàn)例continued步驟4：決定決策法則。決策法則的制定，是先從附錄B.1中找出z

的臨界值。由於這個範(fàn)例是雙尾檢定，因此在兩尾內(nèi)的機(jī)率是0.01的一半，即0.005。在左右兩尾之間的面積0.99即為不拒絕H0

的機(jī)率。因為附錄B.1基於曲線下右半邊的面積，也就是0.5；再由0.5－0.005=0.495，得出在0至臨界值間的面積是0.495；查表得出最接近0.495的機(jī)率值是0.4951，而其相對應(yīng)的z

值為2.58。

10-19範(fàn)例continued步驟4：決定決策法則。10-19範(fàn)例continued顯著水準(zhǔn)為0.01的決策法則10-20範(fàn)例continued顯著水準(zhǔn)為0.01的決策法則範(fàn)例continued決定決策法則。

若z>2.58或

z<－2.58，則拒絕H0

10-21

步驟5：做決策。

範(fàn)例continued決定決策法則。10-21步驟5範(fàn)例continued計算結(jié)果是1.55未落在拒絕域內(nèi)，因此不拒絕H0。結(jié)論是母體平均數(shù)與200張書桌沒有差異，因此根據(jù)樣本證據(jù)顯示：Fredonia分廠的每週產(chǎn)量與原先的平均產(chǎn)量200張書桌沒有顯著的不同，而母體平均週產(chǎn)量與去年週產(chǎn)量間的差距3.5單位，可能導(dǎo)因於抽樣誤差。

10-22範(fàn)例continued計算結(jié)果是1.55未落假設(shè)檢定的p-值法此方法在於計算樣本統(tǒng)計量的值至少與實際觀測值一樣大的機(jī)率（假設(shè)虛無假設(shè)為真），其檢定程序是將機(jī)率值，稱為p值，與顯著水準(zhǔn)進(jìn)行比較。10-23假設(shè)檢定的p-值法此方法在於計算樣本統(tǒng)計量的值至少與實際假設(shè)檢定的p-值法如果p-值比顯著水準(zhǔn)小，則拒絕H0；如果p-值比顯著水準(zhǔn)大，則不拒絕H0。10-24假設(shè)檢定的p-值法如果p-值比顯著水準(zhǔn)小，則拒絕H0P-值計算單尾檢定：p-值=P{z≥檢定統(tǒng)計量}雙尾檢定：p-值=P{z≥檢定統(tǒng)計量的絕對值}例子：假若z=1.44，顯著水準(zhǔn)為0.05，且為雙尾檢定，所以p-值=2P{z≥1.44}=2(0.5-0.4251)=0.1498。因為0.1498>0.05，所以不拒絕H0。10-25P-值計算單尾檢定：p-值=P{z≥檢定統(tǒng)計量}p值假設(shè)檢定-Example10-26上個問題，利用p值檢定：

H0:≤200 H1:>200

拒絕

H0

若fZ>Z

其中Z=1.55andZ=2.33

拒絕H0

若p-value<

0.0606不小於0.01

結(jié)論:不能拒絕H0p值假設(shè)檢定-Example10-26上個問題，利用pp值小於之意義?=0.10，具有一些證據(jù)證明

H0

不真。=0.05，具有較強(qiáng)證據(jù)證明H0

不真。=0.01，具有強(qiáng)烈證據(jù)證明H0

不真。=0.001，具有極端強(qiáng)烈證據(jù)證明H0

不真。10-27p值小於之意義?=0.10，具有一些證據(jù)證明H0不母體平均數(shù)檢定：大樣本與母體標(biāo)準(zhǔn)差已知因為母體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知，且樣本個數(shù)n大於30，計算公式如下所示：10-28母體平均數(shù)檢定：大樣本與母體標(biāo)準(zhǔn)差已知因為母體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知，母體平均數(shù)檢定：大樣本與母體標(biāo)準(zhǔn)差未知因為母體標(biāo)準(zhǔn)差未知，因此使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計σ。同樣的，若樣本個數(shù)n大於30，可以使用s來代替σ，計算公式如下所示：

10-29母體平均數(shù)檢定：大樣本與母體標(biāo)準(zhǔn)差未知因為母體標(biāo)準(zhǔn)差未知，因母體平均數(shù)檢定：小樣本與母體平均數(shù)未知必須使用t分配取代標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配。其檢定統(tǒng)計量為：

10-30母體平均數(shù)檢定：小樣本與母體平均數(shù)未知必須使用t分配取代範(fàn)例

McFarland保險公司處理一件理賠案件需要花費$60。與其他保險公司比較，McFarland保險公司處理理賠案件的成本比其他公司高，因此該公司進(jìn)行了降低成本的計畫。為了評估降低成本計畫的成效，McFarland保險公司隨機(jī)抽選最近的26件理賠案件，其樣本資料如下所示：在0.01

的顯著水準(zhǔn)下，可以說處理理賠案件的平均成本低於$60

嗎？10-31範(fàn)例McFarland保險公司處理一件理賠案件需要範(fàn)例continued10-32步驟1：建立虛無假設(shè)與對立假設(shè)。

H0:μ≥60；H1:μ<60步驟2：選擇顯著水準(zhǔn)。其為0.01範(fàn)例continued10-32步驟1：建立虛無假設(shè)與範(fàn)例continued步驟3：計算檢定統(tǒng)計量。檢定統(tǒng)計量是t分配。因為樣本數(shù)小於30。我們可以合理地假設(shè)每件理賠案件的平均成本服從常態(tài)分配。10-33範(fàn)例continued步驟3：計算檢定統(tǒng)計量。10-範(fàn)例continued步驟4：陳述決策法則。

附錄B.2表格最左邊的那一行標(biāo)示為df（自由度），即樣本內(nèi)觀測資料數(shù)量減去樣本的組數(shù)，寫成n－1。此範(fàn)例的樣本數(shù)量是26，組數(shù)是1組，所以自由度是26－1=25，在表格中找到自由度是25的那一列。此範(fàn)例為單尾檢定，因此在表格中找到標(biāo)示單尾部分，找出顯著水準(zhǔn)0.01的那一行，再從左邊找到自由度為25的那一列，交叉點是2.485，也就是所計算之檢定統(tǒng)計量值。此外，又因本例為單尾檢定且拒絕域在左邊，所以臨界值為負(fù)數(shù)（－2.485）。而決策法則是如果t值小於－2.485，就必須拒絕H0。10-34範(fàn)例continued步驟4：陳述決策法則。10-34範(fàn)例continued步驟5：做決策。26個樣本的平均成本是$56.42，樣本標(biāo)準(zhǔn)差是$10.04。把這些值代入公式[10-2]中，計算出t

值：因為－1.818落在臨界值－2.485的右邊，所以在0.01顯著水準(zhǔn)下，不能拒絕虛無假設(shè)。這表示降低成本計畫，並沒有將平均處理成本降至$60以下。也就是樣本平均數(shù)$56.42與母體平均數(shù)$60之間的差距$3.58，可能源自抽樣誤差。

10-35範(fàn)例continued步驟5：做決策。10-35t-DistributionTable(portion)10-36t-DistributionTable(portion)範(fàn)例continuedt

分配的拒絕域，顯著水準(zhǔn)為0.01

10-37範(fàn)例continuedt分配的拒絕域，顯著水準(zhǔn)為0.範(fàn)例一個小型平衡錘的平均長度是43公釐。生產(chǎn)主管認(rèn)為調(diào)整後的機(jī)器所生產(chǎn)之平衡錘的長度已經(jīng)改變，他要求工程部門進(jìn)行調(diào)查。工程部門選取了12

個平衡錘的樣本進(jìn)行測量。其測量結(jié)果如下表所示：可以說平衡錘的平均長度已經(jīng)改變了嗎？請使用0.02

顯著水準(zhǔn)。

10-38範(fàn)例一個小型平衡錘的平均長度是43公釐。生產(chǎn)主管範(fàn)例continued先建立虛無假設(shè)與對立假設(shè)。

H0：μ=43

H1：μ≠43本例為雙尾檢定，且其自由度是n－1=12－1=11。根據(jù)以上資料，從附錄B.2中的雙尾檢定，使用0.02顯著水準(zhǔn)找出t

值是2.718。決策法則是：如果檢定統(tǒng)計量t落在－2.718的左邊或是2.718的右邊，則拒絕虛無假設(shè)。我們將上述資訊整理成圖10-7。10-39範(fàn)例continued先建立虛無假設(shè)與對立假設(shè)。10-範(fàn)例continuedt

分配雙尾檢定的拒絕域，其中α=0.0210-40範(fàn)例continuedt分配雙尾檢定的拒絕域，其中α=範(fàn)例continued使用公式[10-2]計算t

值：因為計算出來的t

值是－2.913，落在－2.718的左邊區(qū)域，所以拒絕母體平均數(shù)是43公釐的虛無假設(shè)，接受對立假設(shè)。因此結(jié)論是母體平均數(shù)不是43公釐，機(jī)器需要再做調(diào)整。10-41範(fàn)例continued使用公式[10-2]計算tPopulationStandardDeviation-Example2continued10-42PopulationStandardDeviation-母體比例的檢定比例的定義是成功次數(shù)與觀測資料總數(shù)量的比例。

10-43母體比例的檢定比例的定義是成功次數(shù)與觀測資料總數(shù)量的比例。母體比例的檢定計算樣本比例p的公式為10-44母體比例的檢定計算樣本比例p的公式為10-44假設(shè)檢定，單一比例10-45π：

為母體比例p

：為樣本比例假設(shè)檢定，單一比例10-45π：為母體比例範(fàn)例在前一次的印地安那州長選舉顯示，如果候選人要當(dāng)選，那麼至少要在北區(qū)贏得80%的選票?，F(xiàn)任州長想要了解繼續(xù)連任的機(jī)會有多大，他計畫在本州北區(qū)隨機(jī)抽選2,000位合格選民進(jìn)行調(diào)查。使用假設(shè)檢定的步驟，了解現(xiàn)任州長連任機(jī)會。

10-46範(fàn)例在前一次的印地安那州長選舉顯示，如果候選人要當(dāng)選範(fàn)例continued州長選舉的情形符合二項分配的條件，但這個範(fàn)例可以使用常態(tài)分配去近似二項分配，因為nπ與n(1－π)

皆超過5。

n=2,000，π=0.8（π是在本州北區(qū)的得票率，也就是80%），所以nπ=2,0000.8=1,600與n(1－π)=2,000(1－0.8)=400

都大於5，可以進(jìn)行母體比例的檢定。

10-47範(fàn)例continued州長選舉的情形符合二項分配範(fàn)例continued10-48步驟1：建立虛無假設(shè)與對立假設(shè)。

H0:π≥0.8；H1:π<0.8步驟2：選擇顯著水準(zhǔn)。

其為0.05範(fàn)例continued10-48步驟1：建立虛無假設(shè)與範(fàn)例continued步驟3：選擇檢定統(tǒng)計量。

使用z統(tǒng)計量，

10-49範(fàn)例continued步驟3：選擇檢定統(tǒng)計量。10-4範(fàn)例continued步驟4：建立決策法則。顯著水準(zhǔn)是0.05，這機(jī)率是左尾拒絕域的面積。因此，z值介於0與臨界值之間的機(jī)率是