四章分層隨機(jī)抽樣2

第四章分層隨機(jī)抽樣河南財(cái)經(jīng)學(xué)院4.1概述一、分層層抽樣（（stratifiedsampling)、分層隨機(jī)機(jī)抽樣(stratifiedrandomsampling))分層抽樣樣：將容量量為N的總體分分成L個(gè)不相重重疊的子子總體，，子總體體的大小小分別為為N1、N2、…NL，皆已知，，且則每個(gè)子子總體就就稱為層層。從每每層中獨(dú)獨(dú)立地進(jìn)進(jìn)行抽樣樣，這樣樣的抽樣樣方法稱稱為分層層抽樣。。分層隨機(jī)機(jī)抽樣：在分層層抽樣中中，如果果每層中中的抽樣樣都是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)抽樣，，則這樣樣的分層層抽樣稱稱為分層層隨機(jī)抽抽樣。河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院二、分層層抽樣的的適用場(chǎng)場(chǎng)合不僅需要要估計(jì)總總體參數(shù)數(shù)，也需需要估計(jì)計(jì)各層參參數(shù)。便于管理理，按現(xiàn)現(xiàn)成的地地理分布布或行政政劃分來來分層。。希望樣本本中能包包含各個(gè)個(gè)部分，，以增加加代表性性。把一個(gè)內(nèi)內(nèi)部差異異很大的的總體分分成幾個(gè)個(gè)內(nèi)部比比較相似似的子總總體（層層）進(jìn)行行分層抽抽樣，可可以提高高估計(jì)量量的精度度。如果果有極端端值，也也可以把把它們分分離出來來形成一一層。即即“層間間方差大大，層內(nèi)內(nèi)方差小小”。三、進(jìn)行行分層抽抽樣時(shí)，，應(yīng)注意意的方面面層內(nèi)抽樣樣設(shè)計(jì)的的選擇。。分層變量量的選擇擇。各層樣本本量的分分配，樣樣本總量量的確定定。層數(shù)。層的分界界。河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院4.2簡(jiǎn)單估計(jì)計(jì)量及其其性質(zhì)對(duì)總體均均值或總總值的估估計(jì)：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院例4.1總體由1000人組成，，按以往往的收入入情況將將總體分分成兩層層：第一一層（高高收入層層），20人；第二二層（低低收入層層），980人。從第第一層隨隨機(jī)抽取取2人，調(diào)查查上月收收入，得得數(shù)據(jù)（（單位：：元）1200及1600；從第二二層隨機(jī)機(jī)抽取8人，調(diào)查查上月收收入，得得數(shù)據(jù)（（單位：：元）220、230、180、320、400、340、280、360。估計(jì)這這1000人上月平平均收入入。解：對(duì)比：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院一、分層層抽樣中中，河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院例3.２調(diào)調(diào)查某地地區(qū)的居居民奶制制品年消消費(fèi)支出出，以居居民戶為為抽樣單單元，根根據(jù)經(jīng)濟(jì)濟(jì)及收入入水平將將居民戶戶分為４４層，每每層按簡(jiǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)抽樣抽抽取１００戶，調(diào)調(diào)查數(shù)據(jù)據(jù)如下，，估計(jì)該該地區(qū)居居民奶制制品年消消費(fèi)總支支出及估估計(jì)的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差。。樣本戶奶奶制品年年消費(fèi)支支出層居民戶總數(shù)樣本戶奶制品年消費(fèi)支出1234567891012001040011015104080900240050130608010055160851601703750180260110014060200180300220415005035150203025103025河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院解：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院（3）該地區(qū)區(qū)居民奶奶制品年年消費(fèi)總總支出的的置信度度為95%的置信區(qū)區(qū)間為河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院例3.3：某市進(jìn)進(jìn)行家庭庭收入調(diào)調(diào)查，分分城鎮(zhèn)居居民及農(nóng)農(nóng)村居民民兩部分分抽樣，，在全部部城鎮(zhèn)居居民23560戶中隨機(jī)機(jī)抽取300戶，在全全部農(nóng)村村居民148420戶中隨機(jī)機(jī)抽取250戶，調(diào)查查結(jié)果是是城鎮(zhèn)年年平均戶戶收入為為15180元，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為2972元；農(nóng)村村年平均均戶收入入為9856元，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為2546元。求全全市年平平均戶收收入的置置信度為為90%的置信區(qū)區(qū)間。解：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院3、分層隨隨機(jī)抽樣樣中，總總體比例例P的簡(jiǎn)單估估計(jì)河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院估計(jì)的性性質(zhì)（1）（2）河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院(3)(4)河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院4河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院例：在某行行業(yè)技術(shù)術(shù)人員中中，按年年齡分層層，調(diào)查查會(huì)使用用計(jì)算機(jī)機(jī)者所占占的比例例。數(shù)據(jù)據(jù)如下：：試估計(jì)總總體中會(huì)會(huì)計(jì)算機(jī)機(jī)者占的的比例。。層人數(shù)入樣人數(shù)樣本中會(huì)使用計(jì)算機(jī)的人數(shù)30歲以下7781712430-35歲7497681236-40歲9779892241-45歲4627421145歲以上5366504總計(jì)35050320河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院解：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院3.3各層樣本本量的分分配在分層隨隨機(jī)抽樣樣中，假假設(shè)樣本本量n固定河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院1.比例分配配：指按按各層層層權(quán)（各各層單元元數(shù)占總總體單元元數(shù)的比比例）進(jìn)進(jìn)行分配配。河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院例：假設(shè)某某公司欲欲估計(jì)某某類產(chǎn)品品的用戶戶的每年年平均支支出。企企劃人員員擬就整整個(gè)潛在在用戶的的名單，，共8000戶。采用分層層隨機(jī)抽抽樣抽取取樣本200戶，求按按比例分分配時(shí)各各層樣本本量。層每層中的潛在用戶少用2000中等4000多用2000總和N=8000河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院解：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院例.某電視臺(tái)臺(tái)要在某某地區(qū)的的住戶中中,調(diào)查該臺(tái)臺(tái)的晚間間新聞的的收視率率。該地地區(qū)包括括3個(gè)縣,共有67401家住戶。。假定該該電視臺(tái)臺(tái)采用等等比例分分層隨機(jī)機(jī)抽樣分分別從三三個(gè)縣抽抽取住戶戶，樣本本量為1500。每個(gè)縣縣的總戶戶數(shù)以及及抽樣數(shù)數(shù)據(jù)列表表如下：：求該地區(qū)區(qū)新聞收收視率的的95%的置信區(qū)區(qū)間?？hi每個(gè)縣的戶數(shù)Ni每個(gè)縣被抽出的戶數(shù)ni

每個(gè)縣的樣本收視率pi1234810712419687510712761530.270.180.17合計(jì)N=67401n=1500河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院解：分層隨機(jī)機(jī)抽樣時(shí)時(shí)，收視視率P的估計(jì)為為：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院收視率P的置信度度為95%的近似置置信區(qū)間間為：即有95%的把握可可以認(rèn)為為，該地地區(qū)的新新聞收視視率在22.1%～26.5%之間。河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院2.最優(yōu)分配配：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院例.在例3.2中，樣本本量仍為為n=40，則按比例例分配和和Neyman分配時(shí)，，各層的的樣本量量為多少少？河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院例.在例3.3中，樣本本量仍為為n=550。城鎮(zhèn)居民民23560戶，農(nóng)村村居民148420戶。城鎮(zhèn)居民民與農(nóng)村村居民的的年收入入的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差分別別為S1=3000元,S2=2500元。對(duì)城鎮(zhèn)居居民與農(nóng)農(nóng)村居民民抽樣平平均每戶戶的費(fèi)用用比為1：2。試求城鎮(zhèn)鎮(zhèn)與農(nóng)村村兩層比比例分配配與最優(yōu)優(yōu)分配的的樣本量量。又若若不考慮慮費(fèi)用因因素，那那么最優(yōu)優(yōu)分配的的結(jié)果如如何？河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院解：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院例3.２：調(diào)查查某地區(qū)區(qū)的居民民奶制品品年消費(fèi)費(fèi)支出，，以居民民戶為抽抽樣單元元，根據(jù)據(jù)經(jīng)濟(jì)及及收入水水平將居居民戶分分為４層層，每層層按簡(jiǎn)單單隨機(jī)抽抽樣抽取?。保皯魬簦{(diào)查查數(shù)據(jù)如如下，估估計(jì)該地地區(qū)居民民奶制品品年消費(fèi)費(fèi)總支出出及估計(jì)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差。表：樣本本戶奶制制品年消消費(fèi)支出出層居民戶總數(shù)樣本戶奶制品年消費(fèi)支出1234567891012001040011015104080900240050130608010055160851601703750180260110014060200180300220415005035150203025103025河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院解：按比比例分配配時(shí)，對(duì)于Neyman分配，河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院例：在例例3.3中，樣本本量仍為為n=550，城鎮(zhèn)居民民與農(nóng)村村居民年年收入的的標(biāo)準(zhǔn)差差估計(jì)分分別為3000元和2500元，對(duì)城城鎮(zhèn)居民民與農(nóng)村村居民抽抽樣品均均每戶的的費(fèi)用比比為1：2，試求（（1）城鎮(zhèn)與與農(nóng)村兩兩層比例例分配樣樣本量；；（2）最優(yōu)分分配的樣樣本量。。解：（1）按比例分分配時(shí)，，（2）對(duì)于Neyman分配，河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院4.4樣本總量量的確定定1.在分層隨隨機(jī)抽樣樣中，影影響樣本本總量n的因素：：（1）只討論論對(duì)總體體參數(shù)的的精度要要求；（2）樣本量量的分配配形式。。2.在估計(jì)總總體均值值時(shí)，若若精度要要求給定定，樣本本總量n的確定公公式：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院證明：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院*河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院例：某流流水線生生產(chǎn)了1500件產(chǎn)品，，為估計(jì)計(jì)產(chǎn)品的的合格率率，將產(chǎn)產(chǎn)品按早早、中、、晚班分分成三層層。各班班產(chǎn)量分分別為：：早班550件，中班班500件，晚班班450件。根據(jù)據(jù)以往的的情況，，每班合合格率均均在95%左右。若若要求以以95%的把握使使估計(jì)量量的絕對(duì)對(duì)誤差不不超過2%，分別確確定按比比例配置置和按Neyman配置時(shí)總總樣本量量和各層層樣本量量。解：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院例：（續(xù)續(xù)例3.2）如果要要求在置置信度95%下，相對(duì)對(duì)誤差不不超過10%，則按比比例分配配和Neyman分配時(shí)，，總樣本本量分別別為多少少？解：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院3.在估計(jì)總總體均值值時(shí)，若若總費(fèi)用用給定，，精度最最高時(shí)，，樣本總總量n的確定公公式：河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院4.5分層時(shí)的的若干問問題1.抽樣效果果分析（1）分層隨隨機(jī)抽樣樣與簡(jiǎn)單單隨機(jī)抽抽樣的比比較在相同的的樣本量量下，比比較二者者的估計(jì)計(jì)量的方方差的大大小。分分層隨機(jī)機(jī)抽樣以以比例分分配為代代表。

河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院（2）最優(yōu)分分配（以以Neyman為例）與與比例分分配在精精度上的的比較理論上講講，最優(yōu)優(yōu)分配的的精度應(yīng)應(yīng)高于相相同樣本本量的任任何其他他分配。。當(dāng)然，，也高于于比例分分配的精精度。但但最優(yōu)分分配在精精度上的的改進(jìn)有有多大呢呢？河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院*最優(yōu)分配配對(duì)于估估計(jì)總體體比例P的情形較較少使用用。（除非ＰＰ特別小小或特別別大）河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院2.層的劃分分（１）層層的劃分分原則一種原則則是僅為為滿足估估計(jì)部分分（即子子總體））參數(shù)的的需要或或?yàn)榱私M組織實(shí)施施的便利利。另一種原原則是盡盡可能提提高抽樣樣精度，，減少估估計(jì)量的的方差。。需要選選擇恰當(dāng)當(dāng)?shù)淖兞苛孔兞孔髯鳛榉謱訉訕?biāo)志。。分層標(biāo)志志的選擇擇：可以是調(diào)調(diào)查指標(biāo)標(biāo)的前期期值可以是與與調(diào)查指指標(biāo)有較較大線性性相關(guān)的的指標(biāo)。。例如交交通運(yùn)輸輸量的調(diào)調(diào)查中，，車輛的的噸位是是與其兩兩個(gè)主要要指標(biāo)：：運(yùn)量與與周轉(zhuǎn)量量密切相相關(guān)的。。（2）層權(quán)對(duì)對(duì)估計(jì)量量的影響響河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院（3）最優(yōu)分分層如何何確定各各層的分分點(diǎn)：下下面介紹紹一種確確定層界界的快速速近似法法——累積平方方根法。。它是由Dalenius和Hodges提出的。。其做法：：將分層層變量的的分布的的累積平平方根進(jìn)進(jìn)行等分分來獲得得最優(yōu)分分層，所所以成為為累積平平方根法法。例：某地區(qū)區(qū)電信部部門在對(duì)對(duì)利用電電話上網(wǎng)網(wǎng)的居民民家庭安安裝ADSL意愿進(jìn)行行調(diào)查時(shí)時(shí)，以轄轄區(qū)內(nèi)最最近三個(gè)個(gè)月有電電話上網(wǎng)網(wǎng)支出的的居民用用戶為總總體（上上網(wǎng)電話話費(fèi)為0.02元/分鐘），，并準(zhǔn)備備按上網(wǎng)網(wǎng)電話費(fèi)費(fèi)支出（（記為x）進(jìn)行分分層，試試確定各各層的分分點(diǎn)。居民家庭庭上網(wǎng)電電話費(fèi)支支出分布布如下頁頁表所示示河南財(cái)經(jīng)經(jīng)學(xué)院范圍x頻數(shù)f累積0-565328255.5934255.59345-1089240298.7306554.324110-1536128190.0737744.397715-2077525278.43311022.83120-2562407249.81391272.64525-3024591156.81521429.4630-4024586221.74761651.20840-509582138.43411789.64250-6015761177.54441967.18660-708099127.27142094.45770-805676106.54582201.00380-90345383.102352284.10690-100425692.26052376.366100-1501246111.62442487.99150-20080089.442722577.433