定積分及其應(yīng)用

第七章 定積分及其應(yīng)用積分學(xué)的基本任務(wù)是要解決兩類問(wèn)題：第一是求原函數(shù)問(wèn)題，由此引出不定積分的概念；第二是求和式的極限問(wèn)題，由此引出定積分的概念及其應(yīng)用。第一個(gè)問(wèn)題在上一章中已經(jīng)討論過(guò)了，本章討論和要解決的將是第二個(gè)問(wèn)題。n應(yīng)該注意到定積分作為一類和式的極限，以乘積的和式 f(i)xi給出近似結(jié)果，極限過(guò)程改善了近似的程度，而極i 1限是給所要測(cè)度的量的精確定義，故以這種形式的數(shù)量關(guān)系就導(dǎo)出了定積分這個(gè)概念。定積分是由于解決實(shí)際問(wèn)題的需要而產(chǎn)生并發(fā)展的，很多問(wèn)題是在積分過(guò)程中才得到了所需要的精確數(shù)學(xué)表述?；緝?nèi)容：基本概念：定積分概念；定積分的元素法。基本運(yùn)算：計(jì)算定積分的值（牛頓——萊布尼茲公式、換元、分部積分法等）；基本理論：原函數(shù)存在定理、定積分存在定理、牛頓——萊布尼茲公式。具體應(yīng)用：為使學(xué)會(huì)掌握用定積分解決具體問(wèn)題這一工具，廣泛地介紹了定積分的應(yīng)用，如求面積、體積、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、物理學(xué)和力學(xué)上的應(yīng)用，以滿足各個(gè)專業(yè)的不同需要。本章重點(diǎn)：定積分的概念；定積分的中值定理；定積分作為變上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理；牛頓－萊布尼茲公式。課標(biāo)導(dǎo)航1．掌握定積分的定義、直觀背景及其簡(jiǎn)單性質(zhì)；2．掌握定積分與不定積分的關(guān)系，并會(huì)用牛頓——萊布尼茲公式計(jì)算定積分；3．必須學(xué)會(huì)正確使用定積分的換元積分法和分部積分法,熟練地解決定積分的計(jì)算問(wèn)題；4．會(huì)求一些常見平面曲線圖形的面積（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；5．會(huì)求簡(jiǎn)單的已知平行截面的立體和旋轉(zhuǎn)體的體積；6．初步掌握微元法，學(xué)會(huì)運(yùn)用積分元素法建立積分表達(dá)式，解決有關(guān)的具體問(wèn)題。一、知識(shí)梳理與鏈接（一）基本概念1．積分和數(shù)(或和式)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)。任意用分點(diǎn)ax0x1xi1xixnb把區(qū)間[a,b]分割成n個(gè)子區(qū)間[xi1,xi]，其長(zhǎng)度分別為xixixi1(i1,2,,n).在每個(gè)子區(qū)間[xi1,xi]上任意取一點(diǎn)i:xi1ixi.則和數(shù)nf(i)xi就是函數(shù)f(x)在[a,b]上的積分和數(shù)。注意對(duì)給定的函數(shù)f(x)施行各種結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，都可以構(gòu)造出各i1種形式的和數(shù)。2．定積分的定義 若最大小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零時(shí)，概念1中的積分和式的極限存在，則此極限值就稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作 bf(x)dx.a3．關(guān)于定積分定義的說(shuō)明（1）由于區(qū)間[a,b]的分割及點(diǎn) i的選取都有無(wú)窮多種方法，所以和式是個(gè)變量，它的取值組成一個(gè)無(wú)窮集合。而積分和式的極限limn存在，是指不論對(duì)區(qū)間[a,b]怎樣的分割，也不論對(duì)點(diǎn)i(i1,2,,n)怎樣的取法，0f(i)xixii1極限都存在且有相同的極限。即函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分與區(qū)間[a,b]的分割無(wú)關(guān)；與每個(gè)小區(qū)間上的點(diǎn)i選取無(wú)關(guān)。（2）因定積分是函數(shù)在區(qū)間上的和式的極限，故定積分僅與被積函數(shù) f(x)及積分區(qū)間[a,b]有關(guān)。（3）如果不改變被積函數(shù)與積分區(qū)間，定積分 ba

f(x)dx是一個(gè)確定的常數(shù)。這個(gè)數(shù)只由被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間[a,b]所決定，與積分變量字母的記號(hào)無(wú)關(guān)，而只把積分變量 x字母記號(hào)改寫成其它字母，則定積分的值不變。即bbbf(x)dxaf(t)dtaa

(u)du，所以定積分的值與積分變量字母的記作無(wú)關(guān)。111（4）在借助于積分和式計(jì)算定積分時(shí)，可以從方便著眼來(lái)選取區(qū)間 [a,b]的分割與各i點(diǎn)的位置選取。如經(jīng)常把[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間，取各子區(qū)間的左端點(diǎn)xi1（或右端點(diǎn)xi）作為 i點(diǎn)來(lái)方便計(jì)算。（5）保證積分和式的極限存在的條件是被積函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)性。連續(xù)的函數(shù)定積分一定存在，這就是所謂定積分的存在性定理。但是連續(xù)的條件是個(gè)充分條件，不是必要條件，一些非連續(xù)的函數(shù)，例如在[a,b]上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)以及單調(diào)有界函數(shù)，它們的定積分也是存在的。4．定積分定義的補(bǔ)充規(guī)定①ba②aaf(x)dxbf(x)dxaf(x)dx0b5．定積分a

f(x)dx的幾何意義 是曲線f(x)在區(qū)間[a,b]上及x軸所圍各部分圖形面積的代數(shù)和。6．積分上限函數(shù)（變上限函數(shù)） 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在區(qū)間[a,b]上每取一點(diǎn)x，就有一個(gè)確定的定積分 xf(t)dt的值與x對(duì)應(yīng)，依據(jù)函數(shù)的定義就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)。我們把這個(gè)函數(shù)稱之為變上限函數(shù)，記為：(x).a即(x)=xf(t)dt.（a≤x≤b）。a對(duì)于其它的變限積分函數(shù)利用定積分的補(bǔ)充定義或定積分的可加性均可化為變上限函數(shù)。7．廣義積分概念（1）無(wú)窮廣義積分的定義設(shè)f(x)在區(qū)間[a, )上連續(xù)，則設(shè)f(x)在區(qū)間( ,a]上連續(xù)，則

f(x)dx=limbaf(x)dxbaaf(x)dx=limaf(x)dxbb設(shè)f(x)在(,)上連續(xù)，則f(x)dx=ccf(x)dx+limaf(x)dx+cf(x)dx=limf(x)dxbbac（2）無(wú)界函數(shù)的廣義積分的定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b)內(nèi)連續(xù)，limf(x)，取ε>0，則bf(x)dx=limbf(x)dxxb0a0a設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]內(nèi)連續(xù)，limf(x)，取ε>0，則bf(x)dx=limbf(x)dxxa0a0a設(shè)f(x)在[a,b]除點(diǎn)c(c(a,b))外連續(xù)，limf(x)，則bf(x)dx=limcf(x)dx+limbf(x)dxxca0a0c以上六個(gè)等式右邊的極限存在，則稱左邊的廣義積分收斂；否則稱為發(fā)散。對(duì)無(wú)窮廣義積分，實(shí)質(zhì)是對(duì)積分區(qū)間有限計(jì)算取極限的過(guò)程，幾何上表示不封閉的開口曲線的面積；無(wú)界的廣義積分是選取間斷點(diǎn)的鄰域取極限，幾何意義是間斷處逼近圖形的面積。8．積分元素法一個(gè)量I要用定積分表示必須具有兩個(gè)特性：①I是一個(gè)與其變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量；②I對(duì)于[a,b]具有可加性，即II.其中△I是區(qū)間[a,b]的子區(qū)間[x,x+dx]所對(duì)應(yīng)的部分量，如果△I的近似表示式是△I≈f(x)dx，而dIbf(x)dx.f(x)dx.則I=a對(duì)量I建立定積分式的積分元素法，dI為I的積分元素。若量I表示面積，dI就稱為面積元素；若量I表示體積，dI就稱為體積元素等。這種方法在解決問(wèn)題時(shí)簡(jiǎn)單、方便，并經(jīng)常采用，應(yīng)熟練掌握。9．定積分的近似計(jì)算定積分的近似計(jì)算是被積函數(shù)的原函數(shù)存在，但用初等函數(shù)無(wú)法表示出，或被積函數(shù)用表格給出，不能用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算的定積分。它實(shí)用于工程技術(shù)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)，這時(shí)就需要用近似積分方法來(lái)計(jì)算。隨著計(jì)算工具的現(xiàn)112代化和計(jì)算程序公式化，使近似計(jì)算既快又能達(dá)到所需精確度，所以積分近似計(jì)算的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。（二）定理、性質(zhì)和公式1．定積分存在性定理b如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)或僅有有限個(gè)第一類型間斷點(diǎn)且有界，那么定積分a

f(x)dx一定存在。2．定積分的性質(zhì)（假設(shè)下列被積函數(shù)都是可積的，積分限的大小如不特別指明均不加限制。）性質(zhì)1有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的積分等于各個(gè)函數(shù)積分的代數(shù)和。即bbb[f(x)g(x)]dx=f(x)dxg(x)dxaaa性質(zhì)2被積函數(shù)中有常數(shù)因子可以提到積分號(hào)的前邊來(lái)。即bbkf(x)dxkf(x)dxaa推論1bba；推論2ba]（k為常數(shù)）dxkdxk[baa性質(zhì)3若函數(shù)f(x)在a與b、a與c、b與c構(gòu)成的區(qū)間上連續(xù)，則bf(x)dx=cf(x)dxbf(x)dx.aac性質(zhì)4如果ab，在區(qū)間[a,b]上f(x)0，則bf(x)dx0.a【注意】①這個(gè)性質(zhì)的逆不真。②利用此條性質(zhì)可以不加以計(jì)算積分就能確定積分值的符號(hào)。性質(zhì)5abb如果b，在區(qū)間[a,b]上f(x)g(x)，則f(x)dxg(x)dx.aa推論3∣bf(x)dx∣bf(x)dx.aa性質(zhì)6如果M與m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值，則m(ba)≤b（ab）f(x)dx≤M(ba)a性質(zhì)7如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)，使得bf()(ba)（a≤≤b）af(x)dx3．原函數(shù)存在性定理x若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)f(x)的原函數(shù)必存在，且函數(shù) (x)=a的原函數(shù)。4．變上限函數(shù)的可導(dǎo)性定理

f(t)dt是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上x定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么變上限函數(shù) (x)=a

(t)dt在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，而且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)f(x).又若u(x)是可微函數(shù)，則du(x)f[u(x)]u(x)f(t)dtdxa5．牛頓—萊布尼茲公式（微積分基本公式）b如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的任意一個(gè)原函數(shù)，則f(x)dx=[F(x)]ba=F(b)F(a)abbbb6．分部積分公式bvudx或bvduuvdx[uv]audv[uv]aaaaa7．平面圖形的面積（1）曲邊圖形的面積由曲線yf(x)與x軸在[a,b]上所圍成的平面圖形的面積公式為Abydxbf(x)dx.aa由曲線yf(x)，yg(x)在[a,b]上所圍圖形的面積公式為Abf(x)g(x)dx.a曲線由參數(shù)方程xt2x(t),yy(t)給出時(shí)，在t[t1,t2]上所圍圖形的面積公式為Ay(t)x(t)dtt1113由曲線x(y),x(y)在y[c,d]上圍成圖形的面積公式為Ad(y)dy(y)c（2）曲邊扇形的面積由曲線r()及矢徑,()所圍成的曲邊扇形的面積公式為A1r2d1[()]2d22由曲線r1(),r2(),(1()2())及矢徑,()所圍成的面積公式為A121{[1()]2[2()]2}d(122)d22在求面積以及在用定積分解決其他問(wèn)題時(shí)，第一要注意選取積分變量，正確確定積分的上、下限；第二要注意利用圖形的對(duì)稱性，這樣可以使計(jì)算簡(jiǎn)化。8．立體的體積（1）旋轉(zhuǎn)體的體積曲線y=y(x)在[a,b]上繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為Vxb2(x)dxya類似地，若曲線y=y(x)在[a,b]上繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為Vy2bxy(x)dx.a在[a,b]上y1(x)yy2(x)①繞x軸旋轉(zhuǎn)所成立體的體積為Vxb[y22(x)y12(x)]dxa②繞y軸旋轉(zhuǎn)所成立體的體積為Vy2by1(x)]dxx[y2(x)a曲線xx(y)在[c,d]上繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為Vyd2(y)dyxc曲線xx(t),yy(t)(t1tt2)繞x軸旋轉(zhuǎn)所成立體的體積為Vxt2y2(t)x(t)dtt1曲線0,0rr(2)繞極軸旋轉(zhuǎn)所成立體的體積為V3（2）已知垂直于x軸的截面面積A(x)的立體的體積為VbA(x)dxa9．平面曲線的弧長(zhǎng)光滑（即連續(xù)可微分的）曲線yy(x)在區(qū)間[a，b]上的弧長(zhǎng)公式為s光滑曲線xbx2(y)dy.x(y)在區(qū)間[a，b]上的弧長(zhǎng)公式為s1a

r3()sindb1y2dx.a曲線由參數(shù)方程xx(t),yb2(t)y2(t)dt.y(t)給出，則t在區(qū)間[a，b]上的弧長(zhǎng)為sxa曲線由極坐標(biāo)方程rr()給出，則曲線上弧AB的長(zhǎng)為s（B）（A）ds

B2()r2()d.rA10．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積函數(shù)yf(x)在[a,b]上繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式為S2bf2(x)dx.f(x)1a曲線x(y),y[c,d]繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的表面積公式S2d(y)12(y)dy.c11．物理學(xué)上的應(yīng)用f().（1）積分均值：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的積分均值公式是y1f(x)dxbbaa（2）由曲線yf(x),y(x)和直線xa,xb所圍成平面，且f(x)(x)，設(shè)平面的密度是均勻的，而該平面的重心坐標(biāo)為(,)，則b1b[f2(x)2(x)]dx.ax[f(x)(x)]dx，2ab(x)]dxb[f(x)(x)]dx[f(x)aa114二、友情提醒與內(nèi)容強(qiáng)化解讀定積分定義雖然很長(zhǎng)，可概括要領(lǐng)如下：第①句是添加分點(diǎn)，對(duì)所討論的函數(shù)提出要求——閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。第②句是分割，講對(duì)所給定的區(qū)間進(jìn)行分割——任意分成n個(gè)小區(qū)間。第③句是求和式，講作函數(shù)值f(i)與小區(qū)間長(zhǎng)度xi的乘積f(i)xi.并對(duì)i取和式nf(i)xi.第④句是取極限，將對(duì)第③句的和式取極限。對(duì)這個(gè)極限存在要求很高，i1即要滿足“兩個(gè)任意”：小區(qū)間任意分割；i任意取值，極限都存在。即這個(gè)極限與小區(qū)間分法和i取法無(wú)關(guān)。第⑤句是結(jié)論部分：極限值就叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作bf(x)dx，即limnf(i)xiba0i1xa

f(x)dx.由此：第①句是條件，第②、③、④句是做法，第⑤句是結(jié)論。定義簡(jiǎn)言之就是對(duì)區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)“分割區(qū)間”、“作乘積”、“求和式”、“取極限”，極限值就叫做函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分，這些意思可用式子bnf(x)dxlimf(i)xiax0i1完全表示之。1．定積分概念的強(qiáng)化與解讀n⑴積分和式f(i)xi它與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間[a,b]、小區(qū)間的分法及i點(diǎn)的取法有關(guān)。如函數(shù)f(x)x2i1在區(qū)間[0，1]上進(jìn)行不同的分割及點(diǎn) i不同的取法，有不同的結(jié)果。（1）把[0,1]三等分：① i取小區(qū)間左端點(diǎn)，則和式為5；②i取小區(qū)間右端點(diǎn)，則和式為14；（2）把[0,1]四等分：①i取小區(qū)間左端點(diǎn)，則和式為14；②i取小區(qū)27 27 64間右端點(diǎn)，則和式為30.注意到本問(wèn)題計(jì)算中的結(jié)果與被積函數(shù)、積分區(qū)間、小區(qū)間分法及 i點(diǎn)取法是有關(guān)的，這就64會(huì)確信無(wú)疑。⑵定積分只與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，與小區(qū)間的分法及 i點(diǎn)的取法有關(guān)。⑶定義中要求被積函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，這個(gè)要求的目的是確保積分存在，這是充分條件。事實(shí)上，當(dāng)被積函數(shù)在區(qū)間[a,b]上只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)且有界，此函數(shù)也是可積的。如函數(shù)f(x)1,x1在[0，1]上是可0,x1積的。⑷在定義中極限符號(hào)lim下面寫上n或x0是表示積分和式要在分點(diǎn)無(wú)限增多（即n）且每一個(gè)小區(qū)間無(wú)限縮?。ㄓ涀鱴0）這樣一個(gè)過(guò)程中取極限。注意：①只寫n一般是不行的，比如我們只把第一個(gè)小區(qū)間[x0,x1]繼續(xù)分下去，其它小區(qū)間[xi1,xi]，(i2,3,,n)保留不變，這樣也令n，但如此保留不分的小區(qū)間的長(zhǎng)度不會(huì)無(wú)限縮小，在定積分定義中，n并不能保證小區(qū)間長(zhǎng)度最大者x0，因此，只寫n，不寫x0是不行的。當(dāng)然事情也不是絕對(duì)的，若等分區(qū)間[a,b]，則nba0，此種情況下，只寫n就可時(shí)，xn以了。②只寫x0是可以的。根據(jù)x的意義，即小區(qū)間長(zhǎng)度最大者趨于零，也就是每一個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度都趨于零，這必須分點(diǎn)無(wú)限增多（即n）才能做到，所以，x0，就蘊(yùn)含著n，故只寫x0是可以的。⑸無(wú)界函數(shù)是一定不可積的，注意有界函數(shù)也不一定可積。例如D(x)1,x為有理數(shù)就是一個(gè)有界函數(shù)，但0,x為無(wú)理數(shù)是對(duì)區(qū)間[0，1]任意分割，如果i取有理數(shù)點(diǎn)，則和式為1，如果i取無(wú)理數(shù)點(diǎn)，則和式為0.因此，當(dāng)x0時(shí)，積115分和沒有確定的極限，即函數(shù)D(x)不可積。2．牛頓——萊布尼茲公式（微積分基本公式）⑴應(yīng)用牛頓——萊布尼茲公式必須注意被積函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)但這個(gè)條件常被一些學(xué)生忽視，如1dx[lnx]110的錯(cuò)誤原因是忽視了定積分的存在性，因?yàn)楸环e函數(shù)1及1xx其原函數(shù)lnx在積分區(qū)間[-1，1]上有無(wú)窮間斷點(diǎn)x0，從而定積分不存在。故決定了不能用牛頓——萊布尼茲公式來(lái)計(jì)算。又如2dx2d(x1)12112.而被積函數(shù)10，怎么它的積分反成負(fù)數(shù)了呢？解(x1)20(x1)2[]020x1(x1)法顯然是錯(cuò)誤的，出錯(cuò)的原因是當(dāng)x1時(shí)，f(x)，即f(x)無(wú)界，則f(x)在[0，2]上不可積，故不能應(yīng)用?！R公式計(jì)算。為此，函數(shù)f(x)在積分區(qū)間[a,b]上無(wú)界可判斷積分不存在。⑵應(yīng)用?！R公式必須注意原函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有原函數(shù)，這函數(shù)在該區(qū)間上也不一定可積。例如函數(shù)x2sin12,x0，在F(x)x0x0（上可導(dǎo)，且1210，即函數(shù)f(x)在(,)上有原函數(shù)F(x)，但由于函數(shù)f(x)f(x)F(x)xxx0x0在x 0的任一鄰域內(nèi)無(wú)界。故函數(shù)f(x)在包含x 0的區(qū)間上不可積；⑶對(duì)于f(x)在[a,b]上可積，但有間斷點(diǎn)的情形要具體考慮；⑷計(jì)算定積分時(shí)的原函數(shù)F(x)可由不定積分法求出，即 f(x)dx F(x) C.一個(gè)函數(shù)有無(wú)限多個(gè)原函數(shù)，但不會(huì)因原函數(shù)選取的不同而影響積分的值。換元積分法⑴定積分換元法在計(jì)算中起著化難為易的作用，正確應(yīng)用換元的條件，是確保計(jì)算無(wú)誤必不可少的。否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。如設(shè)xt，則xt,dxdt，由xt，當(dāng)時(shí)，，x時(shí)，，故11t(dt)0，x1t11t1xdx11這出錯(cuò)的原因在于換元xt不符合要求的條件。又如1dx1，設(shè)xcost，x在[0，1]取值時(shí)，t在[0,]取值，且021dxsintdt.則0dx02(sint)dt[cost]021.如此得出錯(cuò)誤“1=-1”的結(jié)論。出現(xiàn)錯(cuò)誤是換元xcost中的x與t變化范圍不滿足換元法條件要求的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為此要注意x (t)是否滿足有關(guān)條件。⑵定積分與不定積分換元法的異同定積分與不定積分的換元法相類似，即替換x (t)的選用原則是一致的。不同的是在不定積分換元時(shí)，求出原函數(shù)后仍要換回原來(lái)的變量；但定積分只須在積分變量代換的同時(shí)，相應(yīng)地把積分上、下限加以改變即可，最后不必再換回原來(lái)的變量，如果變換后的積分計(jì)算出來(lái)了，那么原來(lái)的積分自然也就計(jì)算出來(lái)了。為此對(duì)不定積分使用換元法的經(jīng)驗(yàn)和技巧也可用在定積分的換元積分法上。必須注意的是：①在應(yīng)用第一換元法（湊微分法）計(jì)算定積分時(shí)，有些問(wèn)題沒有必要把變換式u(x)寫出。若沒有正式引入新變量，則積分限不應(yīng)改變。②在應(yīng)用第二換元法時(shí)，選用的函數(shù)x(t)在[,]上應(yīng)是單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)(t)；如果換元時(shí)用代換t(x)來(lái)引入新變量t，則必須要求t(x)的反函數(shù)x(t)滿足上述的條件，否則會(huì)造成錯(cuò)誤。③用x(t)把原變量x換成新變量t，在變換被積表116達(dá)式的同時(shí)，還必須把原積分區(qū)間[a,b]變換成新變量t的對(duì)應(yīng)區(qū)間[ , ].即換元必須換限，不必像不定積分再把 (t)換成原來(lái)變量x的函數(shù)。④定積分換元公式可從兩個(gè)方向使用，可從左向右，也可從右向左端使用。⑶第二類換元積分法主要解決以下類型的積分問(wèn)題及其選取換元的方式、方法和技巧被積函數(shù)形式 所設(shè)換元的函數(shù) 被積函數(shù)形式 所設(shè)換元的函數(shù)naxbaxbtna2x2xatantf(nx,mx)xt[n,m]x2a2xasecta2x2xasint4．分部積分法分部積分法主要解決兩函數(shù)乘積的積分，關(guān)鍵是依被積表達(dá)式來(lái)選取u及dv，選取方法如下被積函數(shù)形式u及dv的選擇Pn(x)exuPn(x),dvexdxPn(x)sinx或Pn(x)cosxuPn(x),dvsinxdx或cosxdxPn(x)(lnx)nu(lnx)n,dvPn(x)dxexsinx或excosxu,dv可依情況隨意選取，第一次分部怎樣選取，第二次分部依此選取，?，移項(xiàng)解方程，即得。5.變上限函數(shù)⑴變上限函數(shù)xf(t)dt，既然是一個(gè)函數(shù)，就可以討論它的各種特性，在滿足一定條件下就可以進(jìn)行各(x)a種運(yùn)算，例如求極限、求導(dǎo)數(shù)、判斷單調(diào)性、凹凸性、極值等。xxx⑵xaf(x)dx、axf(x)dx、a

xf(t)dt這三個(gè)表達(dá)式表示的函數(shù)不要混淆。xxxx對(duì)表達(dá)式xaf(x)dx，由于定積分與積分變量的記法無(wú)關(guān)，故xaf(x)dxaxf(t)dt；對(duì)表達(dá)式a

xf(t)dt，由于表達(dá)式中的x與積分變量無(wú)關(guān)，可提到積分號(hào)外面來(lái)，故xxf(t)dtxxf(t)dt，因此xxf(x)dxxxf(t)dt.而對(duì)表達(dá)式aaaaxa

xf(x)dx，如果將積分變量x記作t，就成為

xa

tf(t)dt，故它與其它兩個(gè)是不同的。⑶對(duì)變上限函數(shù)的理解及其求導(dǎo)。①用積分定義變上限函數(shù)是一種全新的表示函數(shù)的方法。它解決了上一章的遺留問(wèn)題——在何條件下函數(shù)的原函數(shù)存在的問(wèn)題。對(duì)概念一定要從函數(shù)的定義弄清楚為什么說(shuō) (x)=xa

f(t)dt確定了上限x的一個(gè)函數(shù)；同時(shí)要分清楚x和t這兩個(gè)變量的不同作用，x在這里表示積分區(qū)間的右端點(diǎn)，積分變量t在[a，x]之間變化，如果遇到積分變量仍用x來(lái)表示的情形，即記 (x)

x

(x)dx，一定要把作為上限這個(gè)變量的x與作為積分變量的x區(qū)別開來(lái)，不要混淆。a求導(dǎo)時(shí)，首先要弄清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，把積分上限函數(shù)的自變量與積分變量區(qū)分開來(lái)，變上限函數(shù)的自變量是上限變量，因此，對(duì)變上限函數(shù)的求導(dǎo)，就是對(duì)上限變量的求導(dǎo)，與積分變量無(wú)關(guān)。但有時(shí)被積表達(dá)式內(nèi)含有上限變量的情況，應(yīng)把上限變量從被積表達(dá)式內(nèi)提到積分號(hào)外，然后再進(jìn)行求導(dǎo)。例如對(duì)上個(gè)問(wèn)題中的 xa先把它寫作xxf(t)dt，然后應(yīng)用乘積的求導(dǎo)法則求導(dǎo)。a

xf(t)dt求導(dǎo)時(shí)，117③對(duì)積分下限是變量的積分，可以類似地建立上述結(jié)論。如dbdxf(t)dtf(t)dt]f(x)[dxxdxb④當(dāng)積分上限，甚至積分下限，都是x的函數(shù)時(shí)，就要應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。一般地，若uu(x)和vv(x)是x的可微函數(shù)，則有dvf(t)dtvf(v)uf(u)dxu6．對(duì)廣義積分概念的把握⑴上下限為無(wú)窮廣義積分可化為上限為無(wú)窮廣義積分及下限為無(wú)窮的廣義積分，而下限為無(wú)窮的廣義積分作簡(jiǎn)單變量代換后可化為上限為無(wú)窮的廣義積分，所以只需深入研究上限為無(wú)窮的廣義積分即可。同理，無(wú)界函數(shù)積分只研究定義上限為無(wú)界的廣義積分即可。⑵收斂的廣義積分仍具有常義積分通常所具有的那些性質(zhì)。如在計(jì)算廣義積分xdx時(shí)，會(huì)認(rèn)為被積函數(shù)1x2是奇函數(shù)，所以xdx=0，這是錯(cuò)誤的。因?yàn)閠xdx1ln(1t2)，當(dāng)t時(shí)是發(fā)散的，所以xdx1x201x221x2發(fā)散。一般地，對(duì)于奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的反常積分，能夠證明其積分收斂，則該積分值為零。⑶根據(jù)定義來(lái)判斷廣義積分是否收斂必須先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再考慮相應(yīng)的極限是否存在來(lái)決定積分的斂散性。當(dāng)積分收斂時(shí)，用這種方法同時(shí)也求得了廣義積分的值。⑷廣義積分就是把極限方法運(yùn)用到這兩種情況（積分去間為無(wú)窮與被積函數(shù)為無(wú)界）而得到的積分。⑸廣義積分存在，推不出函數(shù)f(x)有界，而f(x)無(wú)界時(shí)，廣義積分也可能存在。7．定積分的計(jì)算主要是解決三類函數(shù)的積分問(wèn)題。一是有理函數(shù)；二是無(wú)理函數(shù)；三是三角函數(shù)。對(duì)被積函數(shù)是有理函數(shù)可化為有理整函數(shù)和有理分式函數(shù)；有理分式函數(shù)化為有理整函數(shù)與真分式之和，或把真分式化為部分分式之和；對(duì)被積函數(shù)是無(wú)理函數(shù)，如果不能直接用基本公式、換元法或分部積分法的話，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分問(wèn)題或三角函數(shù)的積分問(wèn)題；對(duì)被積函數(shù)是三角函數(shù)，如果不能直接用微積分基本公式、換元法或分部積分法的話，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)（往往用萬(wàn)能公式）把它轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分問(wèn)題。下面我們就介紹定積分的計(jì)算方法及其應(yīng)用。8．定積分的應(yīng)用⑴所求量I用定積分表示時(shí)：①I是由自變量x變化區(qū)間[a,b]所決定；②I在[a,b]上具有可加性。⑵用元素法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí) ①選好坐標(biāo)系，這關(guān)系到計(jì)算簡(jiǎn)繁問(wèn)題；②取好元素f(x)dx，經(jīng)常運(yùn)用“以勻代變、以直代曲”的思想決定dI，這關(guān)系到結(jié)果正確與否；③核對(duì)f(x)dx的量剛是否與所求量的量剛一致。⑶在求面積以及在用定積分解其它問(wèn)題時(shí)，除了注意選取積分變量，正確確定積分的上、下限外，還要注意利用圖形的對(duì)稱性，這樣可以使計(jì)算簡(jiǎn)化。特別地，在計(jì)算三葉玫瑰線sin3的面積時(shí)，認(rèn)為函數(shù)sin3的周期為2，所以面積為A23123d，這是不對(duì)的。因?yàn)樵跇O坐標(biāo)系中，函數(shù)()的周期并不等于函數(shù)圖形開始302sin出現(xiàn)重疊的的變化周期。問(wèn)題雖然(2)()，但(,)和(,2)并不表示同一點(diǎn)。然而，由于33()sin3()()，而(,)和(,)表示同一點(diǎn)，故使圖形開始出現(xiàn)重疊的的變化周期是.因此計(jì)算時(shí)需要考慮的變化范圍應(yīng)該是[0,].經(jīng)畫圖容易確定三葉玫瑰線的三葉的變化范圍分別是[0,],[3,2],[2,]，由于三葉是對(duì)稱的，因此有A331sin23d.33302三、典型例題分析瀏覽及解題方法技能技巧解讀（一）由定義計(jì)算定積分直接利用定義計(jì)算定積分的困難是巨大的，怎樣求積分和式的極限？最后求出什么樣的結(jié)果，這都是很難想象的。此處只舉一例，僅供正確理解定義之用，并不要求學(xué)生深究其技巧。118例由定義計(jì)算1axdx(a0)0【分析】對(duì)區(qū)間等分和i取分點(diǎn)，這樣就便于求積分和式及其極限。解將區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間[i,i1]，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為xi1，取ixii，則nnnnn1111n1i1a11ha1a1axdxlimaixilimanlim(a1)limn(a1)0x0i1nni1nn11limah1lnaan1nn(an1)hh011時(shí)，11特別地，一是分母的極限limn(an1)lna二是當(dāng)aaxdxdx1n00【小結(jié)】只要定積分存在，任何的分割區(qū)間與 i的取法都是可以的。但怎樣才能使積分和式的極限容易求出，卻是一個(gè)技巧問(wèn)題。各種不同的做法，目的都是有利積分和式的極限求出來(lái)。通常卻并不用定義來(lái)計(jì)算定積分。（二）由定積分的幾何意義計(jì)算定積分例計(jì)算RR2x2dx0【分析】被積函數(shù)R2x2是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，R為半徑的在第一象限的圓。其面積正好是圓的面積的1.4解由定積分的幾何意義與以上的分析知Rx2dx1R2.R204【注意】此題若用牛頓——萊布尼茲公式計(jì)算，是比較麻煩的。定積分的幾何意義計(jì)算定積分也是方便的。利用定積分定義計(jì)算定積分由于繁難而應(yīng)用不便。通過(guò)尋求定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系而建立牛頓－萊布尼茲公式是積分學(xué)中的基本公式，它提供了用原函數(shù)計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便而統(tǒng)一的方法。（三）利用牛頓——萊布尼茲公式計(jì)算定積分用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分時(shí)，只要求出被積函數(shù)f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)F(x)，然后求這個(gè)原函數(shù)在積分區(qū)間[a,b]上的增量即可。可見計(jì)算定積分的關(guān)鍵是求原函數(shù)，在第四章已詳細(xì)介紹過(guò)求原函數(shù)，這里不在重述。這樣牛頓-萊布尼茲公式把定積分的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化求原函數(shù)的問(wèn)題。例1.驗(yàn)證下列積分應(yīng)用?！R公式的正確性11122（1）120；（2）secxdx1tanx20.x2dx[]12[arctan()]01x02tanx22【分析】應(yīng)用?！R公式計(jì)算定積分時(shí)，必須注意被積函數(shù)及其原函數(shù)在被積區(qū)間上是否連續(xù)。解（1）不正確。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)1在[-1，1]上有第二類間斷點(diǎn)x0，?！R公式對(duì)此函數(shù)f(x)1不適x2x2用（由廣義積分的知識(shí)，可以判定此積分是發(fā)散的，即不存在的），故不能應(yīng)用公式。（2）不正確。因?yàn)閟ec2x0，故積分若存在，必為正。原因在于原函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)的x，x3處不2tan2x22連續(xù)（無(wú)窮間斷點(diǎn)），故不能直接應(yīng)用公式?！咀⒁狻吭趹?yīng)用牛頓——萊布尼茲公式計(jì)算定積分時(shí)，一定牢記原函數(shù)存在性定理。例2計(jì)算（1）1x41；11dx（2）20x611dx.221x【分析】應(yīng)用?！R公式計(jì)算定積分，關(guān)鍵是把被積函數(shù)恒等變形化簡(jiǎn)或適當(dāng)?shù)牡攘看鷵Q，利用定積分的性質(zhì)和?！R公式把它的積分求出來(lái)，在等量代換中尋求的換元函數(shù)必須單值可導(dǎo)。解（1）因?yàn)閤411x21所以1x41dx111x2dx[arctanx1313x611x2x60x6101x2dx0x613arctanx]011911111（2）2dxarcsinx2arcsinarcsin()11x2122223【小結(jié)】牛頓——萊布尼茲公式通常只能用于被積函數(shù)f(x)及其原函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)的情形。但這個(gè)條件常被一些學(xué)生忽視，象例1的做法。計(jì)算定積分，最終都應(yīng)用?！R公式，它在計(jì)算定積分中始終起著重要的作用，此處僅舉二小例，下面再?gòu)膭e的角度介紹計(jì)算定積分的方法，但也是不能離開牛——萊公式的。（四）利用換元法計(jì)算定積分換元法是求不定積分的基本方法之一，它原則上也可以用于計(jì)算定積分。不同的是在不定積分換元時(shí)，求出原函數(shù)后仍要換回成原來(lái)的變量；但在定積分卻不需要這樣，只須在作積分變量代換的同時(shí)，相應(yīng)地也把積分上、下限加以改變就行了，最后可不必再換回成原來(lái)的變量，因?yàn)槎ǚe分乃是一個(gè)數(shù)，如果變換后的積分計(jì)算出來(lái)了，那么原來(lái)的積分自然也就計(jì)算出來(lái)了。定積分的換元法可概述如下1．第一類換元法（湊微分法）：設(shè)被積函數(shù)f[(x)](x)在[a,b]上連續(xù)，且F[(x)]為f[(x)](x)的原函數(shù)，那么bbF[(b)]F[(a)].f[(x)](x)dxF[(x)]aa2．第二類換元法：設(shè)被積函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，x(t)在[,]上單值且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)(t)，t從變到時(shí)，x(t)在[a,b]上變化，且()a,()b.則bf(x)dxa例1求1x1x2dx01111123解法122221dx2)))20x1x2(1xd(1x23(1x00解法2令u12,du2xdx則12121`1x1dxu2dux0x212

f[ (t)] (t)dt.22132322122u331解法3令xtant則124tant14113t221x1xdxdtant4dcostcos04300cost0cost3【注意】使用換元法，不僅可用第一換元法，而且也可用第二換元法。在用第二換元法時(shí)，換元不是唯一的。例2 指出下面解法的錯(cuò)誤：（1）令1dt.有1dx1dt1dt.則1dx1t20xt,dxt211x211)211t211x21(t【分析】這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的。原因在于作變換x(t)1時(shí)，應(yīng)使xt(t)在1,1上連續(xù)。而在上面的代換中，tt1在1,1上有間斷點(diǎn)t0，不滿足換元公式所需條件。t2解答正確的做法應(yīng)是1dx1dx111x2201x22arctanx0242（2）令tanxt，則dx1dxdtanx0dtcos2x001sin2x01sin2x012tan2x012t2cos2xcos2x【分析】被積函數(shù)10，此積分值不會(huì)為0，所以這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的，原因在于變換tanxt，其反函數(shù)sin2x1xarctant不是單值的，不滿足換元公式所要求的條件。12011解答正確做法是dx2cos2xdxcos2xdx2dtanx12x2201sin2x0sin21sinx012tanx2xcos2xcos2xcos2xcosdtanxtanxt1dt01dt[2arctan2t]0212tan2x012t212t22【注意】在應(yīng)用第二換元法時(shí)，換元應(yīng)注意滿足換元的兩個(gè)條件。例3求aln1xdxa1x【分析】偶函數(shù)在[a,a]上的定積分等于在[0,a]上的定積分的2倍；奇函數(shù)在[a,a]上的定積分等于0解因?yàn)閒(x)ln11例4在求積分110

xf(x)，所以aln1xdx=0xa1xx2dx，作代換xsint可否取數(shù)和作為新的上下限？2解可以的。因?yàn)閤sint是單值且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且在區(qū)間[，]上是單調(diào)的。因在區(qū)間[，]，cos2tcost，22故11x2dx2cos2tdt21cos2tdt[1t1sin2t]202244【小結(jié)】注意把握定積分的積分換元法具體步驟一是作換元，首先要使x t在[ , ]上單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；其次，積分變量改變后，積分上下限也要作相應(yīng)的改變；二是在新的變量下求出原函數(shù)，不必再回到原變量，只要把相應(yīng)的積分限代入相減即可。三是選取的變換x t中的t所取的區(qū)間[ , ]不是唯一的。（五）利用分部積分法計(jì)算定積分應(yīng)用分部積分法求定積分的過(guò)程與求不定積分一樣，只是其中已積出的部分要用積分的上、下限代入，未積出的部分仍然是一個(gè)定積分，其上下限不變，即budv[uv]babaavdu.其中u,v在[a,b]上都是連續(xù)可微函數(shù)。所以，在定積分情形應(yīng)用分部積分法往往還簡(jiǎn)單性；如果上下限代入后[u(x)v(x)]ba的值等于是0，分部積分法更會(huì)是特別方便的。定積分的分部積分法著重解決三類積分問(wèn)題1．被積函數(shù)為有理整函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或與三角函數(shù)的正弦或余弦函數(shù)的乘積，它的計(jì)算往往用到分部積分法，并把有理整函數(shù)看作公式里的u.2．被積函數(shù)為有理整函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)——對(duì)數(shù)函數(shù)，或與三角函數(shù)的反函數(shù)——反三角函數(shù)的乘積，它的計(jì)算往往用到分部積分法，并把對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)看作公式里的u.3．遞推移項(xiàng)式：被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘積，哪一個(gè)選取公式里的u都行，但是必須用兩次或兩次以上的分部積分法，推得含有原積分的解析式，最后移項(xiàng)可得定積分的值。例1 求3arcsin x dx1x【分析】如果令arcsinxu，就把含有無(wú)理式的反三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)與有理函數(shù)的積的積分。1x解令arcsinxu，則3arcsinxdx3udtan2u[utan2u]033tan2udu[tanuu]03431x01x003例2設(shè)f()x[f(x)f(x)]sinxdx5求f(0)2,0解由xf(x)sinxdx[f(x)cosx]0xf(x)cosxdxf()f(0)[f(x)sinx]00f(x)sinxdx00121f()f(0)f(x)sinxdx知[f(x)f(x)]sinxdxf()f(0)00于是f()f(0)5.所以f(0)5f()523（六）利用定積分簡(jiǎn)單的性質(zhì)，中值定理解題在解題中，定積分性質(zhì)起著重要的作用，如判斷定積分的符號(hào)；比較大小，估計(jì)定積分的取值范圍；利用中值定理進(jìn)行證明以及估值性質(zhì)與夾逼準(zhǔn)則求極限等。例1試證不等式32ex2dx3e41【分析】遇到定積分的不等式往往想到用定積分的估值性質(zhì)和中值定理證明因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ex2在[-1，2]上是連續(xù)的，且最大值為1、最小值為1.而e421dx32所以32x2圖7—144,dx34edx31ee1e1x2,0x1例2設(shè)函數(shù)x1x（如圖7—1），求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，3]上的定積分。f(x)22x2x5【分析】這是個(gè)分段函數(shù)在區(qū)間上的定積分，用定積分性質(zhì)的可加性來(lái)解決即可。解 因?yàn)閤 2是函數(shù)的一個(gè)第一類間斷點(diǎn)，若把x 2作為一個(gè)分點(diǎn)，由定積分的可加性便得312312xdx35424f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx0x2dx2xdx001212123ln2例3確定積分2x22xdx的符號(hào)2【分析】用定積分的不等式性質(zhì)可判斷其符號(hào)解因?yàn)樵赱-2，2]上函數(shù)f(x)0所以2x22xdx≥02例4證明lim1xn0dx0n1x【分析】遇到定積分的極限問(wèn)題往往想到用定積分的中值定理或估值性質(zhì)和極限的夾逼準(zhǔn)則進(jìn)行解答證明因?yàn)?xnxn.所以01xndx1xndx1.又因?yàn)閘im10.故lim1xndx01x01x01nn1nn01x（七）公式法求定積分利用定積分的換元法證得的許多公式，對(duì)于某類型的函數(shù)的積分法，可以作重大的簡(jiǎn)化。經(jīng)常會(huì)用到下面的一些公式1．a(chǎn)f(x)dxa[f(x)f(x)]dx；2．a(chǎn)f(x)dxaf(ax)dxa0003．若f(x)是連續(xù)偶函數(shù)，則af(x)dx2aa0

f(x)dx；4．若f(x)是連續(xù)奇函數(shù)，則af(x)dx0；a5．若f(x)是周期為T的周期函數(shù)，則aTf(x)dxTaf(x)dx0例求1x8arcsinxdx1解因?yàn)閤8arcsinx是奇函數(shù)，利用公式af(x)dx0(其中f(x)是奇函數(shù))，a所以11x8arcsinxdx0x8arcsinxdx1(1)（八）遞推公式法求積分在有些情況下，被積函數(shù)不僅是自變量x的函數(shù)，而且還依賴于整數(shù)指標(biāo)n.這時(shí)應(yīng)用分部積分法得出的常常不是積分的值，而是另一個(gè)類似的積分式，其中指標(biāo)n具有較小的值。這時(shí)需要經(jīng)過(guò)多次分部積分以后，才能得到積分的122值，這種方法稱為遞推法。利用遞推法求得的許多積分公式在實(shí)用中很有用，最好記住。例設(shè)In12ndx（n為正整數(shù)）。證明In2nIn0(1x)2n11證明由于(1x2)n(1x2)n1x2(1x2)n1，故111In0(1x2)ndx0(1x2)n1dx0x2(1x2)n1dx112nIn112n112n1In1xd(1x){[x(1x)]0(1x)dx}In1In2n02n02n即InIn11In.所以In2nIn12n2n1（九）變上限定積分的分析運(yùn)算設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則由定積分定義的“新函數(shù)”（作為變上限的函數(shù)）(x)xf(t)dt(axb)，a在[a,b]上連續(xù)、可導(dǎo)，而且(x)dxf(x).這是一個(gè)具有巨大原則性和實(shí)用意義的結(jié)論，必須深刻理解。f(t)dtdxax2x1例1（1）求lim0costdt(2)設(shè)fx0，求fx的極值點(diǎn)。xtt2t4dtxx0x【分析】(1)這是含有變上限函數(shù)的分式函數(shù)0,型的極限問(wèn)題，可用羅比搭法則來(lái)解決。0解（1）對(duì)分子應(yīng)用積分中值定理，則原式=limcos2x0limcos21x0x0(,0)【分析】(2)這是變上限函數(shù)求極值問(wèn)題，這就用求導(dǎo)數(shù)，得駐點(diǎn)，判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)來(lái)解答。解（1）求導(dǎo)數(shù)fxx1x12x141xx2x41x1x1x3xx2x43x23x1（2）求駐點(diǎn)，令fx0，即x23x10.得x13535,x222（3）列表x0(0,35)325(325,35)35(35,)2222f(x)++0-0+f(x)↗極大↘極小↗所以，函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)為35，極大值點(diǎn)為35.22x例2設(shè)fx為正值連續(xù)函數(shù)，證明：當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)x0tftdt單調(diào)增加x0ftdt【分析】這是變上限函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，需用其導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷之。證明只要證明x0即可。按商的求導(dǎo)法則有1xxfxxxx2xfx0ftdtfx0tftdtxtdt20xtftdt0ftdtf00(因?yàn)閠[0,x],xt0,f(t)0)例3求函數(shù)fzdx2dx對(duì)z的二階導(dǎo)數(shù)當(dāng)z1時(shí)的值dz01x3【分析】這是變上限函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，本例就用復(fù)合函數(shù)變上限函數(shù)及變上限函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法則來(lái)解答。123解因?yàn)閐x2dx12z；2z62z6z5210z6fz21zfzdz01x31z232z1z61z61z621z62所以f1210222例4設(shè)x0時(shí)f(x)連續(xù)，并且x2f(t)dtx2(1x).求f(2)0解x2f(t)dtx2(1x)x2x3對(duì)x求導(dǎo),得f(x2)2x2x3x2.故f(x2)13x02令x2就有f(2)1322x【注意】變上限函數(shù) (x) f(t)dt是一個(gè)函數(shù)，可以討論它的各種特性，并能進(jìn)行各種運(yùn)算。例如求極限、求a導(dǎo)數(shù)、判斷單調(diào)性、凹凸性、極值等。（十）利用定積分求下列和的極限值由定積分定義limnbf(i)xi=af(x)dx知，在求左端極限時(shí)，可通過(guò)右端的定積分來(lái)得到。0i1例求lim(111)4n2124n2224n2nn2【分析】由定積分定義知：limnbf(i)xi0axi1(n)

(x)dx。所求數(shù)列極限值，也通過(guò)求右端的定積分值來(lái)得到?？蓸?gòu)造成函數(shù) 1 在[0，1]上的積分和式，于是該極限等于函數(shù)在[0，1]上的定積分。4x2解原式=111xi1,iin11nnlimlim()nnn4(1)24(2)24(n)2ni14(i)2nnnn11dx[arcsinx]10604x22【小結(jié)】1．若所求和式的極限，能化為形如

n

f(i)1的數(shù)列，則都可以利用定積分求其極限，即i 1ni1b，其中f(x)在[0，1]上連續(xù)。limf()f(x)dx0axi1nn(n)

nnni(ba))ba的數(shù)列，則可用定積分求極限，limni(ba))ba2．若和式能化為f(a0f(ai1nnxi1nnba

f(x)dx，其中f(x)在[a,b]上連續(xù)。（十一）廣義積分的計(jì)算廣義積分的計(jì)算方法是一個(gè)極限的過(guò)程，廣義積分也可以應(yīng)用換元法、分部積分法等基本積分方法。例1計(jì)算2dx2xx2【分析】本例是無(wú)窮限的廣義積分解dxbdx1x1b1b112limlim[ln]2lim[lnln]ln2x2x2123b3x2b3b24322(x)()22例2計(jì)算10

dxx(1 x)124【分析】本例是無(wú)界函數(shù)的廣義積分，x0,x1是被積函數(shù)f(x)1的奇點(diǎn)。x(1x)解x0,x1是被積函數(shù)1的無(wú)窮間斷點(diǎn)，取10,20，則f(x)x)x(110

11dx1dx12d(x)ux1lim222lim2limx(1x)01x(1x)1121010(x)2042021

du1u24lim[arccos2u]122lim[arccos(122)arccos(121)]arccos(1)arccos101021102020例3求（1）0x2n1ex2dx（n是自然數(shù)）(2)0eaxcosbxdx(3)ax3xdx0ax解(1)In0x2n1ex2dx0x2n2ex2xdxx2t1tn1etdt1[tn1et]0(n1)tn2etdtn1tn2etdt(n1)In1202200所以In(n1)In1(n1)(n2)In2(n1)！I1=(n1)！1etdt=(n1)(n-2)321=(n1)!2022（2）Ieaxcosbxdx[1eaxcosbx]0beaxsinbxdx0aa01b[1eaxsinbx]0beaxcosbxdx1b2eaxcosbxdx.即I1b2I.故Ia.2a2b2aaaa0aa20aatxttan,dt2daxax3t62att8sec34428(3)xdxatdt2adt2asinda(t21)3(t21)2(t21)500x002a41357235a42468128（十二）求平面圖形的面積元素法是定積分應(yīng)用解決實(shí)際問(wèn)題的通用方法。其實(shí)質(zhì)是在小區(qū)間[x,xdx]上“以直代曲，以不變代變”，同時(shí)也揭示了定積分就是微分的無(wú)限求和這一本質(zhì)。采用元素法的一般步驟為：（1）畫草圖，得交點(diǎn)；（2）選變量，定區(qū)間；（3）分整體，求微元；（4）作積分，算結(jié)果。圖7—2例1計(jì)算由兩拋物線x5y2,x1y2所圍成平面圖形的面積.解法1x5y2y2解之得兩曲線的交點(diǎn)為(5,1),(5,1).取y為積分變量（如圖7—2所示），則面積元素為x1424211ds[(1y2)5y2]dy(14y2)dy.所以S21(14y2)dy[y4y2]212232315時(shí)，解法2取x為積分變量（圖7—3），在0≤x≤1時(shí)，ds1(x)2dx；在1x54x1115112ds[(2(x1)2]dx.則1x24x22)S2()dx2[()(x1)]dx501355【注意】求平面圖形的面積，如何選取積分變量，會(huì)使計(jì)算過(guò)程有簡(jiǎn)繁之分，通過(guò)兩種方法比較，體會(huì)選擇積分變量的重要性。圖7—3例2計(jì)算由曲線r(1cos)3和直線rcos1所圍成圖形的面積（如圖7—4所示）.【分析】本例是在極坐系下給出的曲線，我們用極坐系下求面積公式進(jìn)行計(jì)算。125解法1r(1cos)3解之得r2,.則rcos13S13[91]d3[91]d2(1cos)2cos2)2cos230(1cosd19d96dt93332[tan330(1cos)20cos2d204]0204costcos296sec2t(1tan2t)dt39[tant1tan3t]0632圖7—420233【分析】本例雖然是在極坐系下給出的曲線，我們也可把它化為在直角坐標(biāo)系下的曲線進(jìn)行計(jì)算解法2在直角坐標(biāo)系下，這兩條曲線就是拋物線x31y2和直線x1.其交點(diǎn)為(1,3),(1,3).26若取y為積分變量，則S23[(31y2)1]dy23(11y2)dy[yy3]03202602693【注意】在題中所給出坐標(biāo)系下的曲線方程，我們就會(huì)馬上想到，用與題中相同的坐標(biāo)系下求面積公式進(jìn)行來(lái)解答，這是自然的，但是認(rèn)為一定如此，就會(huì)棄簡(jiǎn)就難，本例就說(shuō)明了這一點(diǎn)。例3222求星形線x3y3a3所圍成的面積解根據(jù)對(duì)稱性，總面積等于第一象限圖形面積的4倍。所以Aaa4ydx4ydx.為避免復(fù)雜計(jì)算，利用星形00線的參數(shù)方程xacos3t,yasin3t，當(dāng)x從0變到a時(shí)，t由2變到0.則有A012a22sin4t(1sin2t)dt4asin3t(3acos2tsint)dt2012a2[2sin4tdt2sin6tdt]12a2[13135]3a20024224628【總結(jié)】在求面積以及在用定積分解其它問(wèn)題時(shí)，第一要注意選取積分變量，正確確定積分的上、下限；第二要注意利用圖形的對(duì)稱性，這樣可以使計(jì)算簡(jiǎn)化。（十三）求體積例1求由x2(yh)2r2(0rh)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成環(huán)體的體積【分析】曲線x2(yh)2r2(0rh)是一個(gè)圓，圓心在y軸上，過(guò)圓心作y軸的平行線，把曲線分為該平行線上的一條曲線y1(x)hr2x2和該平行線下的一條曲線y2(x)hr2x2.所求旋轉(zhuǎn)一周所成環(huán)體的體積是曲線y(x)hr2x2和y2(x)hr2x2的旋轉(zhuǎn)體的體積之差。1解本旋轉(zhuǎn)體是由曲線y1(x)hr2x2及y2(x)hr2x2在區(qū)間x[r,r]上所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體之差。即Vrr2x2)2(hr2x2)2]dxrx2dx4h2rx2dx4h21r222r2h[(h4hr2r2rrr4【注意】本題的體積計(jì)算就給出了汽車內(nèi)胎容積的計(jì)算方法。例2求擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱，y0，繞x軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。解擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱，則t[0,2]V2y2dx2a3(1cost)3dta32[13cost3(1cos2t)cos3t]dta35252a300022126例3求心星線ra(1cos)繞極軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積【分析】利用極坐標(biāo)系下曲線繞極軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積公式進(jìn)行計(jì)算解V2r3sind2a3(1cos)3sind[2a3(1cos)4]08a33030343【注意】求在極坐標(biāo)系下曲線繞極軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積，應(yīng)把極角或極徑的取值范圍搞清.（十四）弧長(zhǎng)的計(jì)算法1．對(duì)于空間曲線L，有弧長(zhǎng)的計(jì)算公式L弧AB（B）tB2(t)y2(t)z2(t)dt，其中：xx(t),yy(t),zz(t)是L的參數(shù)方程。dsx（A）tA2．弧長(zhǎng)計(jì)算公式中被積函數(shù)都是正的，為使弧長(zhǎng)得正值，定限時(shí)應(yīng)使積分下限小于積分上限。3．對(duì)于封閉曲線，用直角坐標(biāo)、參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程時(shí)，取作端點(diǎn)或終點(diǎn)的常數(shù)是同一點(diǎn)，定限時(shí)應(yīng)取動(dòng)點(diǎn)沿曲線轉(zhuǎn)一周時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)或極角，而用直角坐標(biāo)時(shí)則要分段計(jì)算。例計(jì)算曲線r2,[0,]的弧長(zhǎng)（如圖7—5所示）2【分析】本例在極坐系下給出的曲線，我們分別把極角和極徑作為積分變量利用公式進(jìn)行計(jì)算弧長(zhǎng)。解法1（對(duì)的積分）2d,得ddr，弧微分ds2(rd22dr2r(dr))4d221233823222S04d[(4)]0[(1)]13316，則r由0變到2r解法2（對(duì)r的積分）從0到4，而dsdr.由上可得弧長(zhǎng)2142為S 40

rdr8[(1328[(1231r)2]0416)21]圖7—54343【注意】由本例知，由極坐系下給出的曲線，選擇極角和極徑作為積分變量計(jì)算弧長(zhǎng)都是可以的。（十五）求旋轉(zhuǎn)體的表面積設(shè)平面曲線C由函數(shù)y f(x)(x [a,b])給出，這里f(x) 0，在[a,b]上的曲線段AB繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)曲面S，如圖7—6.現(xiàn)在討論用微元法求該旋轉(zhuǎn)曲面S的側(cè)面積，并得計(jì)算公式。通過(guò)x軸上的點(diǎn)x與xx分別作垂直于x軸的平面，它們?cè)谛D(zhuǎn)體中截出一個(gè)薄片（圖7—7），當(dāng)x很小時(shí)，這薄片近似于圓臺(tái)，故用圓臺(tái)側(cè)面積近似代替薄片側(cè)面積，即S2f(x)f(xx)(x)2(y)2圖7—6圖7—72其中yf(xx)f(x).由于f(x)連續(xù)，當(dāng)x充分小時(shí)，有f(x)f(xx)f(x)2又(2y)21(y)21f22f(x)1f2(x)xx)(x(x)x.從而得Sx于是面積元素有dS2f(x)1f2(x)dx,則旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式為S2bf(x)1f2(x)dxa例1計(jì)算圓x2y2R2在x1xx2上的弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的球面的表面積解對(duì)曲線yR2x2,x1xx2應(yīng)用公式得S2x2x2Rdx2R(x2x1)y1y2dx2x1x1當(dāng)xRxR時(shí)，則得半徑為R球的表面積公式S4R21,2127如果平面曲線由參數(shù)方程xx(t)x給出，那么由它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式為yy(t)S2y(t)x2(t)y2(t)dt.例2計(jì)算由星形線xRcos3t繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積。Rsin3t解由曲線的對(duì)稱性及公式得S222Rsin3t(3Rcos2tsint)2(3Rsin2tcost)2dt12R22sin4tcostdt12R2005例3求拋物線y22px(0xx0)繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的表面積解（1）繞x軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的表面積S2x02px1(p)2dx2px02xpdxp[2(2x22p2pp]p)3]0x0[(2x0p)302x033（2）繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的表面積S2d(y)12(y)dy4y0y21(y)2dy22x0x(2xp)dxc02pp02[(xp)x2pxp2px2pxx0[(x0p22x02x0p42lnx4]0)2x0(2x0p)plnp16244【注意】同樣的曲線繞不同的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)曲面是不同的，側(cè)面積是不相等的。（十六）平面圖形的重心的計(jì)算例 求拋物線ax y2,ay x2(a 0)所圍成圖形面積的重心，面密度為常數(shù)【分析】由于兩條拋物線ax y2,ay x2(a 0)所圍成圖形面積是在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，且關(guān)于直線x對(duì)稱，又圖形密度是均勻的，則重心的橫、縱坐標(biāo)相等，所以只求重心橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)便知。b[25x4]0aax2解由重心橫坐標(biāo)公式得ax[f(x)(x)]dx54a9ab(x)]dx23x3a20[f(x)ax2a[3a]03因圖形關(guān)于yx對(duì)稱，故重心必在對(duì)稱軸上，即9a，所以重心為G(9a,9a)202020（十七）定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用用積分元素法來(lái)處理物理學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題是定積分應(yīng)用的又一個(gè)重要方面，概括起來(lái)可分為以下幾個(gè)方面：變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)點(diǎn)沿一曲線運(yùn)動(dòng)，如果每一時(shí)刻t的速度為vf(t)，則在微小時(shí)間間隔[t,tdt]內(nèi)，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的微小路程s近似地等于dsf(t)dt,ds即是s的路程“元素”。所以在時(shí)間間隔[t1,t2]內(nèi)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程等于t2sf(t)dt.t1例一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為vte0.01t米/秒。求這質(zhì)點(diǎn)從開始運(yùn)動(dòng)到完全停止所經(jīng)過(guò)的全部路程。解因?yàn)閘imte0.01t0，則所經(jīng)過(guò)