2021年江蘇省淮安市文華中學高三數(shù)學理期末試題含解析

2021年江蘇省淮安市文華中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，AB⊥BC且PA=7，PB=5，PC=，AC=10，則球O的表面積為

A．80

B．90

C．100

D．120參考答案：C略2.將函數(shù)y=cos(x－)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖像向左平移個單位，則所得函數(shù)圖像對應的解析式是A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.（5分）函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象與函數(shù)y=cos（x﹣）的圖象（）A．有相同的對稱軸但無相同的對稱中心B．有相同的對稱中心但無相同的對稱軸C．既有相同的對稱軸也有相同的對稱中心D．既無相同的對稱中心也無相同的對稱軸參考答案：D【考點】：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：分別求出2函數(shù)的對稱軸和對稱中心即可得解．解：由2x﹣=k，k∈Z，可解得函數(shù)y=sin（2x﹣）的對稱軸為：x=+，k∈Z．由x﹣=kπ，k∈Z，可解得函數(shù)y=cos（x﹣）的對稱軸為：x=kπ，k∈Z．故2個函數(shù)沒有相同的對稱軸．由2x﹣=kπ，k∈Z，可解得函數(shù)y=sin（2x﹣）的對稱中心為：（，0），k∈Z．由x﹣=k，k∈Z，可解得函數(shù)y=cos（x﹣）的對稱中心為：（kπ+，0），k∈Z．故2函數(shù)沒有相同的對稱中心．故選：D．【點評】：本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．4.甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是（）A．210 B．84 C．343 D．336參考答案：D【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】由題意知本題需要分組解決，共有兩種情況，對于7個臺階上每一個只站一人，若有一個臺階有2人另一個是1人，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題需要分組解決，因為對于7個臺階上每一個只站一人有種；若有一個臺階有2人另一個是1人共有種，所以根據(jù)分類計數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是種．故選：D．【點評】分類要做到不重不漏，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到步驟完整，完成了所有步驟，恰好完成任務．5.三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且底面是邊長為2的等邊三角形，其正視圖（如圖所示）的面積為8，則該三棱柱外接球的表面積為（

）A. B. C. D.

參考答案：C6.已知集合且a3≠0，則A中所有元素之和等于(

)A．3240

B．3120

C．2997

D．2889參考答案：D由題意可知，a0，a1，a2各有3種取法(均可取0，1，2)，a3有2種取法(可取1，2)，由分步計數(shù)原理可得共有3×3×3×2種方法，∴當a0取0，1，2時，a1，a2各有3種取法，a3有2種取法，共有3×3×2＝18種方法，即集合A中含有a0項的所有數(shù)的和為(0＋1＋2)×18；同理可得集合A中含有a1項的所有數(shù)的和為(3×0＋3×1＋3×2)×18；集合A中含有a2項的所有數(shù)的和為(32×0＋32×1＋32×2)×18；集合A中含有a3項的所有數(shù)的和為(33×1＋33×2)×27；由分類計數(shù)原理得集合A中所有元素之和：S＝(0＋1＋2)×18＋(3×0＋3×1＋3×2)×18＋(32×0＋32×1＋32×2)×18＋(33×1＋33×2)×27＝18(3＋9＋27)＋81×27＝702＋2187＝2889.故選D.7.設，則 （

）A． B． C． D．參考答案：B8.函數(shù)（其中）的圖象如圖1所示，為了得到的圖象，則只需將的圖象(

)A.向右平移個長度單位

B.向右平移個長度單位C.向左平移個長度單位

D.向左平移個長度單位

參考答案：A略9.下列函數(shù)中，即是單調(diào)函數(shù)又是奇函數(shù)的是（

）A. B. C. D.參考答案：D根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象知y=log3x是非奇非偶函數(shù)；是偶函數(shù)；是非奇非偶函數(shù)；y=x3是奇函數(shù)，且在定義域R上是奇函數(shù)，所以D正確。本題選擇D選項.10.復數(shù)的共軛復數(shù)等于（

）

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知隨機變量X的分布列如下表所示，X的期望EX=1.5，則DX的值等于

。X0123P0．1ab0.2

參考答案：0.8512.2014年10月四川省天府新區(qū)成為國家級新區(qū)。其中包括高新區(qū)的中和、桂溪和石羊三個街道，現(xiàn)在三個街道共引進A、B、C、D四個項目，每個街道至少引進一個項目，共有

種不同的引進方法參考答案：36

略13.在平面直角坐標系中，雙曲線的一個頂點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的兩條漸近線的方程為

參考答案：14.已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是．參考答案：【考點】基本不等式．【分析】由已知條件變形后，利用完全平方式將變形后的式子代入得到b、c是某一方程的兩個實數(shù)根，利用根的判別式得到有關(guān)a的不等式后確定a的取值范圍．【解答】解：∵a+b+c=0，a2+b2+c2=1，∴b+c=﹣a，b2+c2=1﹣a2，∴bc=?（2bc）=[（b+c）2﹣（b2+c2）]=a2﹣∴b、c是方程：x2+ax+a2﹣=0的兩個實數(shù)根，∴△≥0∴a2﹣4（a2﹣）≥0即a2≤∴﹣≤a≤即a的最大值為故答案為：．15.已知函數(shù)，則方程的實根個數(shù)為

.參考答案：4

4．考點：函數(shù)與方程，函數(shù)的零點．【名師點睛】本題考查方程根的個數(shù)問題，方程根的個數(shù)與函數(shù)的零點常常相互轉(zhuǎn)化，也常與函數(shù)的圖象聯(lián)系在一起，這樣通過數(shù)形結(jié)合思想得出結(jié)論．在函數(shù)的圖象不能簡單表示出時，我們可能研究函數(shù)的性質(zhì)，研究函數(shù)的單調(diào)性，極值等，以確定函數(shù)圖象的變化趨勢，然后由數(shù)形結(jié)合思想得出結(jié)論．本題方程的實根個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與兩條直線的交點個數(shù)，因此要研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)其解析式，分類討論，在，，三個范圍討論的性質(zhì)（這三個范圍內(nèi)都可以化云中的絕對值符號，從而可用易得出結(jié)論．16.已知函數(shù)，，構(gòu)造函數(shù)，定義如下：當

時，；當時，，則的最大值為__________．參考答案：217.已知拋物線與雙曲線有相同的焦點F，點A是兩曲線的一個交點，且軸，則雙曲線的離心率為

。 參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿13分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問8分.）設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知，求：（Ⅰ）A的大小;（Ⅱ）的值.參考答案：解：(Ⅰ)由余弦定理，

(Ⅱ)

19.（本題滿分14分；第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分7分）如圖，制圖工程師要用兩個同中心的邊長均為4的正方形合成一個八角形圖形．由對稱性，圖中8個三角形都是全等的三角形，設．（1）試用表示的面積；（2）求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時的大?。畢⒖即鸢福海?）設為,∴，，

…………3分,，…………7分（2）令，

…………9分只需考慮取到最大值的情況，即為，………11分當,即時,達到最大

………13分此時八角形所覆蓋面積的最大值為．

………14分20.（13分）已知函數(shù)f（x）=ax﹣ln（x+1）的最小值為0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若對任意的x∈（0，+∞），有＞1成立，求實數(shù)k的最小值；（3）證明﹣ln（2n+1）＜2（n∈N*）．參考答案：【考點】：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．【專題】：導數(shù)的概念及應用；導數(shù)的綜合應用．【分析】：（1）利用導數(shù)研究單調(diào)性，求出最小值點，根據(jù)此時函數(shù)值為0列出方程即可求出a的值；（2）根據(jù)關(guān)于x的不等式恒成立利用函數(shù)的最值得到一個關(guān)于k表達式，然后據(jù)原式恒成立構(gòu)造關(guān)于k的不等式求出符合題意的k值；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可適當?shù)膶⒃竭M行放縮，以便可以化簡求和，從而使問題獲證．解析：（1）f（x）的定義域為x∈（﹣1，+∞）．f（x）=ax﹣ln（x+1）f′（x）=a﹣．所以f′（x）＞0，f′（x）＜0．得：時，，所以a=1．（2）由（1）知，f（x）在x∈（0，+∞）上是增函數(shù)，所以f（x）＞f（0）=0，x∈（0，+∞）．所以kx2﹣f（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立設g（x）=kx2﹣f（x）=kx2﹣x+ln（x+1）（x≥0）．則g（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，即g（x）min≥0=g（0）．（*）由g（1）=k﹣1+ln2≥0得k＞0．．①當2k﹣1＜0即k時，g′（x）≤0g（x0）＜g（0）=0與（*）矛盾②當時，g′（x）≥0g（x）min=g（0）=0符合（*）得：實數(shù)k的最小值為．（3）由（2）得：對任意的x＞0值恒成立取：．當n=1時，2﹣ln3＜2得：．當i≥2時，．得：．【點評】：本題考查了導數(shù)在求函數(shù)的最值，證明不等式恒成立問題中的應用，在證第三問時，要注意放縮法的應用．本題有些難度．21.已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=ex（其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)）．（1）過坐標原點O作曲線y=f（x）的切線，設切點P（x0，y0）為，求x0的值；（2）令，若函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）先對函數(shù)求導，f′（x）=2x+a﹣，可得切線的斜率k=2x0+a﹣==，即x02+lnx0﹣1=0，由x0=1是方程的解，且y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函數(shù)，可證（2）由F（x）==，求出函數(shù)F（x）的導數(shù)，通過研究2﹣a的正負可判斷h（x）的單調(diào)性，進而可得函數(shù)F（x）的單調(diào)性，可求a的范圍．【解答】解：（1）f′（x）=2x+a﹣（x＞0），過切點P（x0，y0）的切線的斜率k=2x0+a﹣==，整理得x02+lnx0﹣1=0，顯然，x0=1是這個方程的解，又因為y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一實數(shù)解．故x0=1；（2）F（x）==，F(xiàn)′（x）=，設h（x）=﹣x2+（2﹣a）x+a﹣+lnx，則h′（x）=﹣2x+++2﹣a，易知h'（x）在（0，1]上是減函數(shù)，從而h'（x）≥h'（1）=2﹣a；①當2﹣a≥0，即a≤2時，h'（x）≥0，h（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)．∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．∴F（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)．所以，a≤2滿足題意；

②當2﹣a＜0，即a＞2時，設函數(shù)h'（x）的唯一零點為x0，則h（x）在（0，x0）上遞增，在（x0，1）上遞減；又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a＜0，∴h（x）在（0，1）內(nèi)有唯一一個零點x'，當x∈（0，x'）時，h（x）＜0，當x∈（x'，1）時，h（x）＞0．從而F（x）在（0，x'）遞減，在（x'，1）遞增，與在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)函數(shù)矛盾．∴a＞2不合題意．綜合①②得，a≤2．22.設函數(shù)（）．（Ⅰ）若時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設函數(shù)在有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．（其中是自