數(shù)學(xué)建模香煙過濾嘴作用

.PAGE.>數(shù)學(xué)建模微分方程模型數(shù)學(xué)建模微分方程模型班級：廣匯化工102班姓名：陳錄順班級：廣匯化工102班姓名：陳錄順競賽組號：04香煙過濾嘴的作用問題:盡管科學(xué)家們對于吸煙的危害提出了許多的無可辯駁的證據(jù)，不少國家的政府和有關(guān)部門也一直致力于減少或制止吸煙，但是仍有不少人不愿拋棄對香煙的嗜好。香煙制造既要滿足癮君子的需要，又要順應(yīng)減少吸煙危害潮流，還要獲取豐厚的利潤，于是普遍地在香煙上安裝了過濾嘴。過濾嘴的作用到底有多大，與使用的材料和過濾嘴的長度有什么關(guān)系，要從定量的角度答復(fù)這些問題就要建立一個(gè)描述吸煙過程的數(shù)學(xué)模型，分析人體吸入的毒物數(shù)量與哪些因素有關(guān)，以及他們之間的數(shù)量表達(dá)式。問題描述與分析：吸煙時(shí)毒物吸入人體的大致過程時(shí)這樣的：毒物根本上均勻的分布在煙草中，吸煙時(shí)點(diǎn)燃處的煙草大局部化為煙霧，毒物由煙霧攜帶著一局部直接進(jìn)入空氣，另一局部沿香煙穿行。在穿行過程中又局部的被未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴吸收而沉積下來，剩下的進(jìn)入人體。被煙草吸收而沉積下來的那一局部毒物，當(dāng)香煙燃燒到哪里的時(shí)候又通過煙草局部進(jìn)入空氣，局部沿香煙穿行，這個(gè)過程一直繼續(xù)到香煙燃燒到過濾嘴處為止。于是我們看到，原來分布在煙草中的毒物除去了進(jìn)入空氣和被過濾嘴吸收的一局部外，剩下的全部被人體吸入。實(shí)際的及煙過程非常復(fù)雜并且因人而異，點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比例，與吸煙的方式、環(huán)境等多種因素有關(guān)；煙霧穿過香煙的速度隨著吸煙動(dòng)作的變化而不斷地改變；過濾嘴和煙草對毒物的吸收作用也會(huì)隨煙霧穿行速度等影響而有所變化。如果要考慮類似于上面這些復(fù)雜情況，將使我們寸步難行。為了能建立一個(gè)初步的模型，可以設(shè)想一個(gè)機(jī)器人在典型的環(huán)境下吸煙，"他〞吸煙的動(dòng)作、方式及外部環(huán)境在整個(gè)過程中不變，于是可以認(rèn)為毒物隨煙進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比例、煙霧穿行的速度、過濾嘴和煙草對毒物的吸收率等在吸煙過程中都是常數(shù)。模型假設(shè)基于上述分析，這個(gè)模型的假設(shè)如下。煙草和過濾嘴的長度分別是和，香煙總長度=+，毒物M〔毫克〕均勻分布在煙草中，密度為點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比例是a’:a,a’+a=1.未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的吸收率〔單位時(shí)間內(nèi)毒物被吸收的比例〕分別是常數(shù)b和煙霧沿香煙穿行的速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u，且v>>u將一支煙吸完,毒物進(jìn)入人體的總量〔不考慮從空氣的煙霧中吸入的〕記作Q，在建立模型以得到Q的數(shù)量表達(dá)式之前，讓我們先根據(jù)常識分析一下Q應(yīng)與那些因素有關(guān)，采取什么方法可以降低Q。首先，提高過濾嘴吸收率、增加過濾嘴長度、減少煙草中毒物的初始含量M，顯然可以降低吸入毒物量Q。其次，當(dāng)毒物隨煙霧沿香煙穿行的比例a和煙霧速度v減小時(shí)，預(yù)料Q也會(huì)降低。至于在假設(shè)條件中涉及的其他因素，如煙草對毒物的吸收率b、煙草長度、香煙燃燒速度u，對Q的影響就不容易估計(jì)了。下面通過建摸對這些作定性分析，對提出的問題作出定量的驗(yàn)證和答復(fù)。模型建立設(shè)t=0時(shí)在*=0處點(diǎn)燃香煙，坐標(biāo)系如圖1所示。吸入毒物量Q由毒物穿過香煙的流量確定，后者又與毒物在煙草中的密度有關(guān)，為研究這些關(guān)系，定義兩個(gè)根本函數(shù)：毒物流量q(*,t)表示時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)通過香煙截面*處〔0≤*≤〕的毒物量。毒物密度表示時(shí)刻t截面*處單位長度煙草中的毒物含量〔0≤*≤〕。由假設(shè)1,,，圖1*=0處點(diǎn)燃的香煙如果知道了流量函數(shù)q(*,t),吸入毒物量Q就是*=處的流量在吸一支煙時(shí)間內(nèi)的總和。注意到關(guān)于煙草長度和香煙燃燒速度的假設(shè)，我們得到〔1〕下面分步計(jì)算Q。1．求t=0瞬間由煙霧攜帶的毒物單位時(shí)間內(nèi)通過*處的數(shù)量q(*,0)。由假設(shè)4中關(guān)于v﹥﹥u的假定，可以認(rèn)為香煙點(diǎn)燃處*=0靜止不動(dòng)。為簡單起見，記q(*,0)=q(*)，考察(*,*+△*)一段香煙〔圖1〕，毒物通過*和*+△*處的流量分別是q(*)和q(*+△*)，根據(jù)守恒定律這兩個(gè)流量之差應(yīng)該等于這一段未點(diǎn)燃的煙草或過濾嘴對毒物的吸收量，于是由假設(shè)2、4有其中△是香煙穿過△*所需時(shí)間，令△→0得到微分方程(2)在*=0處點(diǎn)燃的煙草單位時(shí)間內(nèi)放出的毒物量記作，根據(jù)假設(shè)1、3、4可以寫出方程〔2〕的初始條件為(3)求解〔2〕、〔3〕式時(shí)先解出q(*)(0≤*≤)，再利用q(*)在*=處的連續(xù)確定q(*)(≤*≤)，其結(jié)果為〔4〕2、在香煙燃燒過程的任意時(shí)刻t，求毒物單位時(shí)間內(nèi)通過*=的數(shù)量q(,t).因?yàn)樵趖時(shí)刻香煙燃至*=ut處，記此時(shí)點(diǎn)燃的煙草單位時(shí)間放出的毒物量為H〔t〕,則H〔t〕=〔5〕根據(jù)與第1步完全一樣的分析和計(jì)算可得〔6〕實(shí)際上在〔4〕式中將坐標(biāo)原點(diǎn)平移至*=ut處即可得到〔6〕式。由〔5〕、〔6〕式能夠直接寫出〔7〕3.確定w(ut,t)因?yàn)樵谖鼰熯^程中未點(diǎn)燃的煙草不斷地吸收煙霧中的毒物，所以毒物在煙草中的密度w(ut,t)由初始值逐漸增加?？疾鞜煵萁孛?處⊿t時(shí)間內(nèi)毒物密度的增量w(*,t+⊿t)-w(*,t)，根據(jù)守恒定律它應(yīng)該等于單位長度煙霧中的毒物被吸收的局部，按照假設(shè)2、4有w(*,t+⊿t)-w(*,t)=令并將〔5〕、〔6〕式代入得〔8〕方程〔8〕的解為(9)其中a’=1-a〔假設(shè)2〕將〔9〕代入〔7〕式得(10)最后將〔10〕代入〔1〕式作積分得到(11)為便于下面的分析將上式化作〔12〕記〔13〕則〔12〕式可寫作〔14〕〔13〕，〔14〕式是我們得到的最終結(jié)果，表示了吸入有毒物質(zhì)量Q與等的因素之間的數(shù)量關(guān)系。結(jié)果分析Q與煙草的含毒物質(zhì)量的M，毒物隨煙霧沿香煙穿行比例a成正比*，設(shè)想將毒物M集中在*=處，則吸入量為aM。因子表達(dá)了過濾嘴的減少毒物進(jìn)入人體的作用，提高過濾嘴吸收率和增長長度能夠?qū)起到負(fù)質(zhì)數(shù)衰減的效果，并且和在數(shù)量上增加一定比例時(shí)起作用一樣。降低煙霧穿行速度v也可減少Q(mào)。設(shè)想將毒物M集中在*=處，利用上述建模方法不難證明，吸入毒物量為。因子表示的是由于未點(diǎn)燃煙草對毒物的吸收而起到的減少Q(mào)的作用。雖然被吸收的毒物還要被點(diǎn)燃，隨煙霧沿香煙穿行的局部的進(jìn)入人體，但是因?yàn)闊煵葜卸疚锏拿芏仍絹碓礁?，所以按照固定的比例跑到空氣中的毒物增多，相?yīng)的減少了進(jìn)入人體的毒物量。根據(jù)實(shí)際資料<<1在〔13〕試中的取Taylor展開的前3項(xiàng)可得，，于是〔14〕試為(15)可知，提高煙草吸收率b和增加長度〔毒物量M不變〕對減少Q(mào)的作用是線性的，與和是負(fù)指數(shù)衰減作用相比，效果要小得多。4.為了更清楚的了解過濾嘴的作用，不妨比較兩支香煙，一只是上述模型討論的，另一支長度為，不帶過濾嘴，參數(shù)，b,a,v與第一支香煙一樣，并且吸到*=處就扔掉。吸第一支香煙和第二支香煙進(jìn)入人體的毒物量分別記著當(dāng)然可由〔11〕式給出，Q2也不必重新計(jì)算，只需把第二支煙設(shè)想成吸收率為b〔與煙草一樣〕的假過濾嘴香煙就行了，這樣由〔11〕式可以直接寫出與〔11〕式給出的Q1相比，我們得到所以只要就有Q1<Q2，過濾嘴是起作用的，并且，提高吸收率之差與加長過濾嘴長度l2，對于降低比例Q1/Q2的