高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)有什么不同

高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)有什么不同第1頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四第2頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四阿基米德圓錐曲線(xiàn)的研究，變速運(yùn)動(dòng)，坐標(biāo)系的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。初等數(shù)學(xué)：形式邏輯。孤立，靜止，一個(gè)一個(gè)的數(shù)。微積分——無(wú)窮小量分析在微積分中要加強(qiáng)而不是回避邏輯，要從直觀(guān)上理解和分析漂亮的概念，嚴(yán)密性不妨礙直觀(guān)理解。學(xué)會(huì)方向思維。21世紀(jì)的高科技——“數(shù)學(xué)技術(shù)”，不僅是工具，而且從后臺(tái)走到了前臺(tái)。要明白：（1）數(shù)學(xué)作為科學(xué)方法的效力，他應(yīng)有的統(tǒng)一與美；（2）數(shù)學(xué)的應(yīng)用，最好的學(xué)習(xí)就是用？要培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)、興趣和能力。

第3頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四說(shuō)明:

記號(hào)f和f(x)的區(qū)別:前者表示自變量x和因變量y之間的對(duì)應(yīng)法則,而后者表示與自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.說(shuō)明:

為了敘述方便,常用記號(hào)“f(x),xD”或“yf(x),xD”來(lái)表示定義在D上的函數(shù),這時(shí)應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)f.說(shuō)明:

函數(shù)的記號(hào)是可以任意選取的,除了用f外,還可用“g”、“F”、“”等,此時(shí)函數(shù)就記作yg(x)、yF(x)、y(x)等.

但在同一問(wèn)題中,不同的函數(shù)應(yīng)選用不同的記號(hào).三、函數(shù)設(shè)數(shù)集DR,則稱(chēng)映射f:D

R為定義在D上的函數(shù),通常簡(jiǎn)記為

yf(x),xD,其中x稱(chēng)為自變量,y稱(chēng)為因變量,D稱(chēng)為定義域,記作Df,即DfD.1.函數(shù)概念定義第4頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四構(gòu)成函數(shù)的要素是定義域Df及對(duì)應(yīng)法則f.

如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,對(duì)應(yīng)法則也相同,那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.函數(shù)的兩要素函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來(lái)確定:

對(duì)有實(shí)際背景的函數(shù),根據(jù)實(shí)際背景中變量的實(shí)際意義確定.函數(shù)的定義域?qū)Τ橄蟮赜盟闶奖磉_(dá)的函數(shù),其定義域是使得算式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合,這種定義域稱(chēng)為函數(shù)的自然定義域.求函數(shù)的定義域舉例>>>第5頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四單值函數(shù)與多值函數(shù)在函數(shù)的定義中,對(duì)每個(gè)xD,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的,這樣定義的函數(shù)稱(chēng)為單值函數(shù).

如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則,按這個(gè)法則,對(duì)每個(gè)xD,總有確定的y值與之對(duì)應(yīng),但這個(gè)y不總是唯一的,我們稱(chēng)這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù).例如,由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù):此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到一個(gè)單值分支第6頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).

用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念,坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集

{P(x,y)|yf(x),xD}稱(chēng)為函數(shù)yf(x),xD的圖形.函數(shù)的表示法第7頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四此函數(shù)稱(chēng)為絕對(duì)值函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)镽f

=[0,+).

例6

例5

函數(shù)y=2.

這是一個(gè)常值函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-,

+),其值域?yàn)镽f

={2}.函數(shù)舉例第8頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四此函數(shù)稱(chēng)為符號(hào)函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)镽f

={-1,0,1}.

例8

函數(shù)y=[x].

例7

注:

設(shè)x為任上實(shí)數(shù),不超過(guò)x的最大整數(shù)稱(chēng)為x的整數(shù)部分,記作[x].此函數(shù)稱(chēng)為取整函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)镽f

=Z.第9頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四

例9

此函數(shù)的定義域?yàn)镈=[0,1](0,+)=[0,+).

f(3)=1+3=4.分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù).第10頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,數(shù)集XD.

如果存在數(shù)K1,使對(duì)任一xX,有f(x)K1,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有上界.(1)函數(shù)的有界性如果存在數(shù)K2,使對(duì)任一xX,有f(x)K2,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有下界.如果存在正數(shù)M,使對(duì)任一xX,有|f(x)|M,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有界;如果這樣的M不存在,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上無(wú)界.2.函數(shù)的幾種特性第11頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四

f(x)=sinx在(-,+)上是有界的:

|sinx|1.所以函數(shù)無(wú)上界.函數(shù)的有界性舉例第12頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義,

x1及x2為區(qū)間I上任意兩點(diǎn),

且x1<x2.如果恒有f(x1)<f(x2),則稱(chēng)f(x)在I上是單調(diào)增加的.(2)函數(shù)的單調(diào)性如果恒有f(x1)>f(x2),則稱(chēng)f(x)在I上是單調(diào)減少的.單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù).

第13頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

如果在D上有f(-x)=f(x),則稱(chēng)f(x)為偶函數(shù).

如果在D上有f(-x)=-f(x),則稱(chēng)f(x)為奇函數(shù).(3)函數(shù)的奇偶性奇偶函數(shù)舉例

y=x2,

y=cosx都是偶函數(shù).

y=x3,

y=sinx都是奇函數(shù).第14頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四奇函數(shù)的圖形對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)偶函數(shù)的圖形對(duì)稱(chēng)于y軸奇偶函數(shù)的圖形特點(diǎn)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

如果在D上有f(-x)=f(x),則稱(chēng)f(x)為偶函數(shù).

如果在D上有f(-x)=-f(x),則稱(chēng)f(x)為奇函數(shù).(3)函數(shù)的奇偶性第15頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四(4)函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈.如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l,使得對(duì)于任一xD有(xl)D,且f(x+l)=f(x),則稱(chēng)f(x)為周期函數(shù),l稱(chēng)為f(x)的周期.周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)第16頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱(chēng)此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).按習(xí)慣,yf(x),xD的反函數(shù)記成yf

1(x),xf(D).例如,函數(shù)yx3,xR是單射,所以它的反函數(shù)存在,其反函數(shù)為函數(shù)yx3,xR的反函數(shù)是提問(wèn):下列結(jié)論是否正確？第17頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱(chēng)此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).按習(xí)慣,yf(x),xD的反函數(shù)記成yf

1(x),xf(D).若f是定義在D上的單調(diào)函數(shù),則f:Df(D)是單射,于是f的反函數(shù)f

1必定存在,而且容易證明f

1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).第18頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四相對(duì)于反函數(shù)yf

1(x)來(lái)說(shuō),原來(lái)的函數(shù)yf(x)稱(chēng)為直接函數(shù).

函數(shù)yf(x)和yf

1(x)的圖形關(guān)于直線(xiàn)yx是對(duì)稱(chēng)的.3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱(chēng)此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).按習(xí)慣,yf(x),xD的反函數(shù)記成yf

1(x),xf(D).第19頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)yf(u)的定義域?yàn)镈1,函數(shù)ug(x)在D上有定義且g(D)D1,則由

yf[g(x)],xD確定的函數(shù)稱(chēng)為由函數(shù)ug(x)和函數(shù)yf(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域?yàn)镈,變量u稱(chēng)為中間變量.復(fù)合函數(shù)函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為f

o

g,即

(f

o

g)(x)f[g(x)].說(shuō)明:g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)f

o

g的條件是:是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內(nèi),即g(D)Df.否則,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如>>>第20頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四4.函數(shù)的運(yùn)算設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為D1,D2,DD1D2,則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算:

和(差)f

g:(f

g)(x)f(x)g(x),xD;

積f

g:(f

g)(x)f(x)g(x),xD;第21頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四

例10

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?l,l),證明必存在(l,l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x),使得f(x)g(x)h(x).提示:如果f(x)g(x)h(x),則f(x)g(x)h(x),于是

證

則f(x)g(x)h(x),且第22頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四基本初等函數(shù)冪函數(shù):yx

(R是常數(shù));

指數(shù)函數(shù):ya

x(a0且a1);

對(duì)數(shù)函數(shù):yloga

x(a0且a1),

特別當(dāng)ae時(shí),記為ylnx;

三角函數(shù):ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx;5.初等函數(shù)反三角函數(shù):yarcsinx,yarccosx,

yarctanx,yarccotx.>>>第23頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四5.初等函數(shù)初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱(chēng)為初等函數(shù).都是初等函數(shù).例如,函數(shù)第24頁(yè)，