(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案11.2《變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例》(含詳解)

第2講變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例一、知識(shí)梳理1．變量間的相關(guān)關(guān)系常見(jiàn)的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．2．兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線．(2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．(3)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n))^\o(,\s\do4(i＝1))xiyi－nx－y－,\o(∑,\s\up6(n))^\o(,\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))．(4)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．3．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表：假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱2×2列聯(lián)表)為：y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)K2統(tǒng)計(jì)量K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)．常用結(jié)論1．求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，應(yīng)充分利用回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．2．根據(jù)K2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若K2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大．3．根據(jù)回歸方程計(jì)算的eq\o(y,\s\up6(^))值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值．二、教材衍化1.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如表：x0123ym35.57已求得y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2.1x＋0.85，則m的值為_(kāi)_______．答案：0.52．為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測(cè)值k＝eq\f(50×(13×20－10×7)2,23×27×20×30)≈4.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為_(kāi)_______．解析：K2的觀測(cè)值k≈4.844＞3.841，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯(cuò)的可能性約為5%.答案：5%一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系．()(2)利用散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示．()(3)只有兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預(yù)測(cè)價(jià)值．()(4)事件X，Y的關(guān)系越密切，由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值越大．()(5)通過(guò)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))可以估計(jì)和觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì)．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√二、易錯(cuò)糾偏eq\a\vs4\al(常見(jiàn)誤區(qū))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())(1)混淆相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系；(2)對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)K2值的意義不清楚；(3)不知道回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)中心．1．兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)，②負(fù)相關(guān)，③不相關(guān)，則下列散點(diǎn)圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是()A．①②③ B．②③①C．②①③ D．①③②解析：選D．第一個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左下角區(qū)域分布到右上角區(qū)域，則是正相關(guān)；第三個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左上角區(qū)域分布到右下角區(qū)域，則是負(fù)相關(guān)；第二個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布沒(méi)有什么規(guī)律，則是不相關(guān)，所以應(yīng)該是①③②.2．某校為了研究學(xué)生的性別和對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度(支持和不支持兩種態(tài)度)的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算K2＝7.069，則所得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是：有多少的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)有關(guān)系”．()附：P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%解析：選C．因?yàn)?.069與附表中的6.635最接近，所以得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)有關(guān)系”．3．已知x，y的取值如下表，從散點(diǎn)圖可以看出y與x線性相關(guān)，且回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(a,\s\up6(^))＝________．x0134y2.24.34.86.7解析：由已知得eq\o(x,\s\up6(－))＝2，eq\o(y,\s\up6(－))＝4.5，因?yàn)榛貧w方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝4.5－0.95×2＝2.6.答案：2.6考點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系的判斷(基礎(chǔ)型)eq\a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系．核心素養(yǎng)：直觀想象1．已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)解析：選C．因?yàn)閥＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x與y負(fù)相關(guān)．因?yàn)閥與z正相關(guān)，可設(shè)z＝eq\o(b,\s\up6(^))y＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))＞0，則z＝eq\o(b,\s\up6(^))y＋eq\o(a,\s\up6(^))＝－0.1eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))，故x與z負(fù)相關(guān)．2．對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點(diǎn)圖如圖①，對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散點(diǎn)圖如圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析：選C．由散點(diǎn)圖可得兩組數(shù)據(jù)均線性相關(guān)，且圖①的線性回歸方程斜率為負(fù)，圖②的線性回歸方程斜率為正，則由散點(diǎn)圖可判斷變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)．3．某公司在2019年上半年的月收入x(單位：萬(wàn)元)與月支出y(單位：萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出y5.635.755.825.896.116.18根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，則()A．月收入的中位數(shù)是15，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系B．月收入的中位數(shù)是17，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系C．月收入的中位數(shù)是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系D．月收入的中位數(shù)是16，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系解析：選C．月收入的中位數(shù)是eq\f(15＋17,2)＝16，收入增加，支出增加，故x與y有正線性相關(guān)關(guān)系．eq\a\vs4\al()判定兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫(huà)散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：r＞0時(shí)，正相關(guān)；r＜0時(shí)，負(fù)相關(guān)．(3)線性回歸方程中：eq\o(b,\s\up6(^))＞0時(shí)，正相關(guān)；eq\o(b,\s\up6(^))＜0時(shí)，負(fù)相關(guān)．考點(diǎn)二回歸分析(應(yīng)用型)eq\a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過(guò)程，知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程，并進(jìn)一步了解回歸的基本思想、方法及初步應(yīng)用．核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析角度一線性回歸方程及其應(yīng)用(2020·福州市第一學(xué)期抽測(cè))隨著我國(guó)中醫(yī)學(xué)的發(fā)展，藥用昆蟲(chóng)的使用相應(yīng)愈來(lái)愈多．每年春暖以后至寒冬前，昆蟲(chóng)大量活動(dòng)與繁殖，易于采集各種藥用昆蟲(chóng)．已知一只藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y(單位：個(gè))與一定范圍內(nèi)的溫度x(單位：℃)有關(guān)，于是科研人員在3月份的31天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲(chóng)的5組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表：日期2日7日15日22日30日溫度x/℃101113128產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)2325302616科研人員確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中任選2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的線性回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．(1)若選取的是3月2日與30日這2組的數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)3月7日、15日和22日這3組的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2個(gè)，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(wèn)(1)中所得的線性回歸方程是否可靠？附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))(yi－\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).【解】(1)由已知數(shù)據(jù)得eq\o(x,\s\up6(－))＝12，eq\o(y,\s\up6(－))＝27，eq\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝5，eq\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝2.所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))(yi－\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))2)＝eq\f(5,2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\f(5,2)eq\o(x,\s\up6(－))＝27－eq\f(5,2)×12＝－3.所以y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,2)x－3.(2)由(1)知，y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,2)x－3.當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,2)×10－3＝22，|22－23|＜2，當(dāng)x＝8時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,2)×8－3＝17，|17－16|＜2.所以(1)中所得的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,2)x－3是可靠的．eq\a\vs4\al()求回歸直線方程的步驟角度二相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用某基地蔬菜大棚采用無(wú)土栽培方式種植各類蔬菜．過(guò)去50周的資料顯示，該地周光照量X(單位：小時(shí))都在30小時(shí)以上，其中不足50小時(shí)的有5周，不低于50小時(shí)且不超過(guò)70小時(shí)的有35周，超過(guò)70小時(shí)的有10周．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量y(千克)與使用某種液體肥料的質(zhì)量x(千克)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖．依據(jù)折線圖計(jì)算相關(guān)系數(shù)r(精確到0.01)，并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．(若|r|＞0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合)相關(guān)系數(shù)公式：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\o(x,\s\up6(－)))(yi－\o(y,\s\up6(－))),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\o(x,\s\up6(－)))2)\r(\i\su(i＝1,n,)(yi－\o(y,\s\up6(－)))2))，參考數(shù)據(jù)：eq\r(0.3)≈0.55，eq\r(0.9)≈0.95.【解】由已知數(shù)據(jù)可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(3＋4＋4＋4＋5,5)＝4.因?yàn)閑q\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，eq\r(\i\su(i＝1,5,)(xi－\o(x,\s\up6(－)))2)＝eq\r((－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32)＝2eq\r(5)，eq\r(\i\su(i＝1,5,)(yi－\o(y,\s\up6(－)))2)＝eq\r((－1)2＋02＋02＋02＋12)＝eq\r(2)，所以相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)(xi－\o(x,\s\up6(－)))(yi－\o(y,\s\up6(－))),\r(\i\su(i＝1,5,)(xi－\o(x,\s\up6(－)))2)\r(\i\su(i＝1,5,)(yi－\o(y,\s\up6(－)))2))＝eq\f(6,2\r(5)×\r(2))＝eq\r(\f(9,10))≈0.95.因?yàn)閨r|＞0.75，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．eq\a\vs4\al()回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．1．對(duì)兩個(gè)變量x，y進(jìn)行線性回歸分析，計(jì)算得到相關(guān)系數(shù)r＝－0.9962，則下列說(shuō)法中正確的是()A．x與y正相關(guān)B．x與y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系C．x與y幾乎不具有線性相關(guān)關(guān)系D．x與y的線性相關(guān)關(guān)系還需進(jìn)一步確定解析：選B．因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)r＝－0.9962，所以x與y負(fù)相關(guān)，因?yàn)閨r|＝0.9962，非常接近1，所以相關(guān)性很強(qiáng)，故選B．2．(2020·成都第一次診斷性檢測(cè))在2018年俄羅斯世界杯期間，莫斯科的部分餐廳銷售了來(lái)自中國(guó)的小龍蝦，這些小龍蝦均標(biāo)有等級(jí)代碼．為得到小龍蝦等級(jí)代碼數(shù)值x與銷售單價(jià)y(單位：元)之間的關(guān)系，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：等級(jí)代碼數(shù)值x384858687888銷售單價(jià)y/元16.818.820.822.82425.8(1)已知銷售單價(jià)y與等級(jí)代碼數(shù)值x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.1)；(2)若莫斯科某餐廳銷售的中國(guó)小龍蝦的等級(jí)代碼數(shù)值為98，請(qǐng)估計(jì)該等級(jí)的中國(guó)小龍蝦銷售單價(jià)為多少元？參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xiyi＝8440，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝25564.解：(1)由題意，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(38＋48＋58＋68＋78＋88,6)＝63，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(16.8＋18.8＋20.8＋22.8＋24＋25.8,6)＝21.5，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xiyi－6\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(8440－6×63×21.5,25564－6×63×63)≈0.2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝21.5－0.2×63＝8.9.故所求線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋8.9.(2)由(1)，知當(dāng)x＝98時(shí)，y＝0.2×98＋8.9＝28.5.所以估計(jì)該等級(jí)的中國(guó)小龍蝦銷售單價(jià)為28.5元．考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)(應(yīng)用型)eq\a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())通過(guò)對(duì)典型案例(如“肺癌與吸煙有關(guān)嗎”等)的探究，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及初步應(yīng)用．核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？附：K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)).P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解】(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)知，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為eq\f(40,50)＝0.8，因此男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為eq\f(30,50)＝0.6，因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.6.(2)K2＝eq\f(100×(40×20－30×10)2,50×50×70×30)≈4.762.由于4.762＞3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異．eq\a\vs4\al()(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；②根據(jù)公式K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))計(jì)算K2的值；③查表比較K2與臨界值的大小關(guān)系，作出統(tǒng)計(jì)判斷．(2)解獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)①兩個(gè)明確：(ⅰ)明確兩類主體；(ⅱ)明確研究的兩個(gè)問(wèn)題；②兩個(gè)準(zhǔn)確：(ⅰ)準(zhǔn)確畫(huà)出2×2列聯(lián)表；(ⅱ)準(zhǔn)確理解K2.(2020·長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：超過(guò)1小時(shí)不超過(guò)1小時(shí)男208女12m(1)求m，n的值；(2)能否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過(guò)1小時(shí)與性別有關(guān)？附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))解：(1)由已知，該校有女生400人，故eq\f(12＋m,20＋8)＝eq\f(400,560)，得m＝8，從而n＝20＋8＋12＋8＝48.(2)作出2×2列聯(lián)表如下：超過(guò)1小時(shí)的人數(shù)不超過(guò)1小時(shí)的人數(shù)總計(jì)男20828女12820合計(jì)321648K2＝eq\f(48×(160－96)2,28×20×32×16)＝eq\f(24,35)≈0.6857＜3.841.所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過(guò)1小時(shí)與性別有關(guān)．[基礎(chǔ)題組練]1．(2020·陜西西安陜師大附中等八校聯(lián)考)設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)為r，y關(guān)于x的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝kx＋b，則()A．k與r的符號(hào)相同 B．b與r的符號(hào)相同C．k與r的符號(hào)相反 D．b與r的符號(hào)相反解析：選A．因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)r為正，表示正相關(guān)，回歸直線方程上升，r為負(fù)，表示負(fù)相關(guān)，回歸直線方程下降，所以k與r的符號(hào)相同．故選A．2．在一次對(duì)性別與說(shuō)謊是否相關(guān)的調(diào)查中，得到如下數(shù)據(jù)：說(shuō)謊不說(shuō)謊總計(jì)男6713女8917總計(jì)141630根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到如下結(jié)論正確的一項(xiàng)是()A．在此次調(diào)查中有95%的把握認(rèn)為是否說(shuō)謊與性別有關(guān)B．在此次調(diào)查中有99%的把握認(rèn)為是否說(shuō)謊與性別有關(guān)C．在此次調(diào)查中有99.5%的把握認(rèn)為是否說(shuō)謊與性別有關(guān)D．在此次調(diào)查中沒(méi)有充分的證據(jù)顯示說(shuō)謊與性別有關(guān)解析：選D．由已知得k＝eq\f(30×(6×9－7×8)2,13×17×14×16)≈0.002＜0.455，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)50%的情況下，認(rèn)為說(shuō)謊與性別無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，在此調(diào)查中沒(méi)有充分的證據(jù)顯示說(shuō)謊與性別有關(guān)．3．經(jīng)調(diào)查某地若干戶家庭的年收入x(萬(wàn)元)和年飲食支出y(萬(wàn)元)具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸直線方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.245x＋0.321，由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬(wàn)元，年飲食支出平均增加________萬(wàn)元．解析：x變?yōu)閤＋1，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1萬(wàn)元，年飲食支出平均增加0.245萬(wàn)元．答案：0.2454．某高校“統(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生的情況，具體情況如下表：專業(yè)性別非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男1310女720為了檢驗(yàn)主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得到K2＝________(精確到0.001)．若斷定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，這種判斷出錯(cuò)的可能性為_(kāi)_______．eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(由臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈))0.025，eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(其中K2＝\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))))，eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝a＋b＋c＋d))解析：由題意，根據(jù)公式可得K2＝eq\f(50×(13×20－10×7)2,23×27×20×30)≈4.844.因?yàn)?.024＞4.844＞3.841，所以斷定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，這種判斷出錯(cuò)的可能性為0.05.答案：4.8440.055．某品牌手機(jī)廠商推出新款的旗艦機(jī)型，并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機(jī)上市時(shí)間(x個(gè)月)和市場(chǎng)占有率(y%)的幾組相關(guān)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x12345y0.020.050.10.150.18(1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)根據(jù)上述回歸方程，分析該款旗艦機(jī)型市場(chǎng)占有率的變化趨勢(shì)，并預(yù)測(cè)自上市起經(jīng)過(guò)多少個(gè)月，該款旗艦機(jī)型市場(chǎng)占有率能超過(guò)0.5%(精準(zhǔn)到月)．解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(0.02＋0.05＋0.1＋0.15＋0.18)＝0.1，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(1×0.02＋2×0.05＋3×0.1＋4×0.15＋5×0.18－5×3×0.1,12＋22＋32＋42＋52－5×32)＝0.042，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝0.1－0.042×3＝－0.026，所以線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.042x－0.026.(2)由上面的回歸方程可知，上市時(shí)間與市場(chǎng)占有率正相關(guān)，即上市時(shí)間每增加1個(gè)月，市場(chǎng)占有率都增加0.042個(gè)百分點(diǎn)；由eq\o(y,\s\up6(^))＝0.042x－0.026＞0.5，解得x≥13；預(yù)計(jì)上市13個(gè)月時(shí)，該款旗艦機(jī)型市場(chǎng)占有率能超過(guò)0.5%.6．(2020·遼寧五校模擬)進(jìn)入二十一世紀(jì)以來(lái)，科技發(fā)展日新月異，工業(yè)生產(chǎn)更加依賴科技的發(fā)展，沈陽(yáng)某企業(yè)積極進(jìn)行升級(jí)，對(duì)現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[20，40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品，圖1是設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖，表1是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表：圖1：設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖表1：設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45]頻數(shù)4369628324(1)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)．設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)合格品不合格品合計(jì)(2)根據(jù)圖1和表1提供的數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對(duì)改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較．附P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)根據(jù)題意填寫(xiě)2×2列聯(lián)表設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)合格品172192364不合格品28836合計(jì)200200400K2＝eq\f(400×(172×8－192×28)2,364×36×200×200)≈12.210＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)．(2)根據(jù)頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表知，設(shè)備改造前產(chǎn)品為合格品的概率為eq\f(172,200)＝eq\f(43,50)，設(shè)備改造后產(chǎn)品為合格品的概率為eq\f(192,200)＝eq\f(24,25)＞eq\f(43,50)，顯然設(shè)備改造后產(chǎn)品合格率更高，因此設(shè)備改造后性能更優(yōu)．[綜合題組練]1．(2020·蘭州市診斷考試)“一本書(shū)，一碗面，一條河，一座橋”曾是蘭州的城市名片，而現(xiàn)在“蘭州馬拉松”又成為了蘭州的另一張名片，隨著全民運(yùn)動(dòng)健康意識(shí)的提高，馬拉松運(yùn)動(dòng)不僅在蘭州，而且在全國(guó)各大城市逐漸興起，參與馬拉松訓(xùn)練與比賽的人數(shù)逐年增加．為此，某市對(duì)人們參加馬拉松運(yùn)動(dòng)的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查．其中一項(xiàng)調(diào)查是調(diào)查人員從參與馬拉松運(yùn)動(dòng)的人中隨機(jī)抽取200人，對(duì)其每周參與馬拉松長(zhǎng)跑訓(xùn)練的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下統(tǒng)計(jì)表：平均每周進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練天數(shù)不大于23或4不少于5人數(shù)3013040若某人平均每周進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練天數(shù)不少于5，則稱其為“熱烈參與者”，否則稱為“非熱烈參與者”．(1)經(jīng)調(diào)查，該市約有2萬(wàn)人參與馬拉松運(yùn)動(dòng)，試估計(jì)其中“熱烈參與者”的人數(shù)；(2)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，填寫(xiě)下列2×2列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān)？熱烈參與者非熱烈參與者總計(jì)男140女55總計(jì)附：K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))(n為樣本容量)P(K2≥k0)0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)以200人中“熱烈參與者”的頻率作為概率，則該市“熱烈參與者”的人數(shù)約為20000×eq\f(40,200)＝4000.(2)2×2列聯(lián)表為熱烈參與者非熱烈參與者總計(jì)男35105140女55560總計(jì)40160200K2＝eq\f(200×(35×55－105×5)2,40×160×140×60)≈7.292＞6.635.故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān)．2．(2020·長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計(jì)劃，收集了近6個(gè)月廣告投入量x(單位：萬(wàn)元)和收益y(單位：萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下表：月份123456廣告投入量/萬(wàn)元24681012收益/萬(wàn)元14.2120.3131.831.1837.8344.67他們用兩種模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值：eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－