2022屆高中數(shù)學(xué)微專題86事件的關(guān)系與概率運(yùn)算練習(xí)含解析

PAGE8-微專題86事件的關(guān)系與概率運(yùn)算一、基礎(chǔ)知識1、事件的分類與概率：（1）必然事件：一定會發(fā)生的事件，用表示，必然事件發(fā)生的概率為（2）不可能事件：一定不會發(fā)生的事件，用表示，不可能事件發(fā)生的概率為（3）隨機(jī)事件：可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，用字母進(jìn)行表示，隨機(jī)事件的概率2、事件的交并運(yùn)算：（1）交事件：若事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件與事件同時發(fā)生，則稱事件為事件與事件的交事件，記為，簡記為多個事件的交事件：：事件同時發(fā)生（2）并事件：若事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件與事件中至少一個發(fā)生（即發(fā)生或發(fā)生），則稱事件為事件與事件的并事件，記為多個事件的并事件：：事件中至少一個發(fā)生3、互斥事件與概率的加法公式：（1）互斥事件：若事件與事件的交事件為不可能事件，則稱互斥，即事件與事件不可能同時發(fā)生。例如：投擲一枚均勻的骰子，設(shè)事件“出現(xiàn)1點(diǎn)”為事件，“出現(xiàn)3點(diǎn)”為事件，則兩者不可能同時發(fā)生，所以與互斥（2）若一項(xiàng)試驗(yàn)有個基本事件：，則每做一次實(shí)驗(yàn)只能產(chǎn)生其中一個基本事件，所以之間均不可能同時發(fā)生，從而兩兩互斥（3）概率的加法公式（用于計(jì)算并事件）：若互斥，則有例如在上面的例子中，事件為“出現(xiàn)1點(diǎn)或出現(xiàn)3點(diǎn)”由均勻的骰子可得，所以根據(jù)加法公式可得：（4）對立事件：若事件與事件的交事件為不可能事件，并事件為必然事件，則稱事件為事件的對立事件，記為，也是我們常說的事件的“對立面”，對立事件概率公式：，關(guān)于對立事件有幾點(diǎn)說明：①公式的證明：因?yàn)閷αⅲ?，即互斥，而，所以，因?yàn)?，從而②此公式也提供了求概率的一種思路：即如果直接求事件的概率所討論的情況較多時，可以考慮先求其對立事件的概率，再利用公式求解③對立事件的相互性：事件為事件的對立事件，同時事件也為事件的對立事件④對立與互斥的關(guān)系：對立關(guān)系要比互斥關(guān)系的“標(biāo)準(zhǔn)”更高一層。由對立事件的定義可知：對立，則一定互斥；反過來，如果互斥，則不一定對立（因?yàn)榭赡懿皇潜厝皇录?、獨(dú)立事件與概率的乘法公式：（1）獨(dú)立事件：如果事件（或）發(fā)生與否不影響事件（或）發(fā)生的概率，則稱事件與事件相互獨(dú)立。例如投擲兩枚骰子，設(shè)“第一個骰子的點(diǎn)數(shù)是1”為事件，“第二個骰子的點(diǎn)數(shù)是2”為事件，因?yàn)閮蓚€骰子的點(diǎn)數(shù)不會相互影響，所以獨(dú)立（2）若獨(dú)立，則與，與，與也相互獨(dú)立（3）概率的乘法公式：若事件獨(dú)立，則同時發(fā)生的概率，比如在上面那個例子中，，設(shè)“第一個骰子點(diǎn)數(shù)為1，且第二個骰子點(diǎn)數(shù)為2”為事件，則。（4）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：一項(xiàng)試驗(yàn)，只有兩個結(jié)果。設(shè)其中一個結(jié)果為事件（則另一個結(jié)果為），已知事件發(fā)生的概率為，將該試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行次（每次試驗(yàn)結(jié)果互不影響），則在次中事件恰好發(fā)生次的概率為①公式的說明：以“連續(xù)投擲次硬幣，每次正面向上的概率為”為例，設(shè)為“第次正面向上”，由均勻的硬幣可知，設(shè)為“恰好2次正面向上”，則有：而②的意義：是指在次試驗(yàn)中事件在哪次發(fā)生的情況總數(shù)，例如在上面的例子中“3次投擲硬幣，兩次正面向上”，其中代表了符合條件的不同情況總數(shù)共3種5、條件概率及其乘法公式：（1）條件概率：（2）乘法公式：設(shè)事件，則同時發(fā)生的概率（3）計(jì)算條件概率的兩種方法：（以計(jì)算為例）①計(jì)算出事件發(fā)生的概率和同時發(fā)生的概率，再利用即可計(jì)算②按照條件概率的意義：即在條件下的概率為事件發(fā)生后，事件發(fā)生的概率。所以以事件發(fā)生后的事實(shí)為基礎(chǔ)，直接計(jì)算事件發(fā)生的概率例：已知6張彩票中只有一張有獎，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中獎的情況下，乙中獎的概率。解：方法一：按照公式計(jì)算。設(shè)事件為“甲未中獎”，事件為“乙中獎”，所以可得：，事件為“甲未中獎且乙中獎”，則。所以方法二：按照條件概率實(shí)際意義：考慮甲在抽取彩票后沒有中獎，則留給乙的情況是剩下的五張彩票中有一張是有獎的，所以乙中獎的概率為6、兩種乘法公式的聯(lián)系：獨(dú)立事件的交事件概率：含條件概率的交事件概率：通過公式不難看出，交事件的概率計(jì)算與乘法相關(guān)，且事件通常存在順承的關(guān)系，即一個事件發(fā)生在另一事件之后。所以通過公式可得出這樣的結(jié)論：交事件概率可通過乘法進(jìn)行計(jì)算，如果兩個事件相互獨(dú)立，則直接作概率的乘法，如果兩個事件相互影響，則根據(jù)題意分出事件發(fā)生的先后，用先發(fā)生事件的概率乘以事件發(fā)生后第二個事件的概率（即條件概率）二、典型例題：例1：從這5個數(shù)中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)。上述事件中，是對立事件的是（）A.①B.②④C.③D.①③思路：任取兩數(shù)的所有可能為兩個奇數(shù)；一個奇數(shù)一個偶數(shù)；兩個偶數(shù)，若是對立事件，則首先應(yīng)該是互斥事件，分別判斷每種情況：①兩個事件不是互斥事件，②“至少有一個奇數(shù)”包含“兩個都是奇數(shù)”的情況，所以不互斥，③“至少一個奇數(shù)”包含“兩個奇數(shù)”和“一奇一偶”所以與“兩個偶數(shù)”恰好對立，④“至少有一個奇數(shù)”和“至少有一個偶數(shù)”均包含“一奇一偶”的情況，所以不互斥。綜上所述，只有③正確答案：C例2：5個射擊選手擊中目標(biāo)的概率都是，若這5個選手同時射同一個目標(biāo)，射擊三次則至少有一次五人全部集中目標(biāo)的概率是（）A.B.C.D.思路：所求中有“至少一次”，且若正面考慮問題所涉及的情況較多。所以考慮從問題的對立面入手，設(shè)所求事件為事件，則為“射擊三次沒有一次五人均命中目標(biāo)”，考慮射擊一次五人沒有全命中目標(biāo)的概率為，所以，從而可得答案：C例3：甲，乙，丙三人獨(dú)立的去譯一個密碼，分別譯出的概率為，則此密碼能譯出概率是（）A.B.C.D.思路：若要譯出密碼，則至少一個人譯出即可。設(shè)事件為“密碼譯出”，正面分析問題情況較多，所以考慮利用對立面，為“沒有人譯出密碼”，則，從而答案：C例4：某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪，假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率是_________思路：因?yàn)檫x手回答4個問題就晉級下一輪，所以說明后兩個回答結(jié)果正確，且第二次回答錯誤（否則第二次與第三次連續(xù)正確，就直接晉級了），第一次回答正確錯誤均可。所以答案：例5：擲3顆骰子，已知所得三個數(shù)都不一樣，求含有1點(diǎn)的概率思路：首先判斷出所求的為條件概率，即在3個數(shù)都不一樣的前提下，含有1點(diǎn)的概率，設(shè)事件表示“含有1點(diǎn)的概率”，事件為“擲出三個點(diǎn)數(shù)都不一樣”，事件為“三個點(diǎn)數(shù)都不一樣且有一個點(diǎn)數(shù)為1”，則有，，所以由條件概率公式可得：答案：例6：甲乙兩人進(jìn)行跳繩比賽，規(guī)定：若甲贏一局，比賽結(jié)束，甲勝出；若乙贏兩局，比賽結(jié)束，乙勝出。已知每一局甲，乙兩人獲勝的概率分別為，則甲勝出的概率為（）A.B.C.D.思路：考慮甲勝出的情況包含兩種情況，一種是甲第一局獲勝，一種是甲第一局輸了，第二局獲勝，設(shè)事件為“甲在第局獲勝”，事件為“甲勝出”，則，依題意可得：，兩場比賽相互獨(dú)立，所以從而答案：A例7：如圖，元件通過電流的概率均為，且各元件是否通過電流相互獨(dú)立，則電流能在之間通過的概率是（）A.B.C.D.思路：先分析各元件的作用，若要在之間通過電流，則必須通過，且這一組與兩條路至少通過一條。設(shè)為“通過”，則，設(shè)為“通過”，，那么“至少通過一條”的概率，從而之間通過電流的概率為答案：B例8：假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)的故障率為，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，已知4引擎飛機(jī)中至少有3個引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；2引擎飛機(jī)要2個引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)也可成功飛行；要使得4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更安全，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：所謂“更安全”是指成功飛行的概率更高，所以只需計(jì)算兩種引擎成功的概率即可，引擎正常運(yùn)行的概率為，設(shè)事件為“4引擎飛機(jī)成功飛行”，事件為“個引擎正常運(yùn)行”，可知引擎運(yùn)行符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，所以，所以。設(shè)事件為“2引擎飛機(jī)成功飛行”，則，依題意：，即，進(jìn)而解出答案：B例9：從中，甲，乙兩人各任取一數(shù)（不重復(fù)），已知甲取到的是5的倍數(shù)，則甲數(shù)大于乙數(shù)的概率是_______思路一:本題涉及條件概率的問題，設(shè)事件為“甲取到的數(shù)比乙大”，事件為“甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)”，則所求概率為。若用公式求解，則需求出，事件即為“甲取到了5的倍數(shù)且甲數(shù)大于乙數(shù)”，由古典概型可計(jì)算出概率。甲能夠取得數(shù)為，當(dāng)甲取5時，乙有種取法，當(dāng)甲取10時，乙有種取法，當(dāng)甲取15時，乙有種取法，所以，因?yàn)?，所以思路二：本題處理?xiàng)l件概率時也可從實(shí)際意義出發(fā)，甲取5,10,15對乙的影響不同，所以分情況討論。當(dāng)甲取的是5時，甲能從5的倍數(shù)中取出5的概率是，此時乙從剩下14個數(shù)中可取的只有1,2,3,4，所以甲取出5且大于乙數(shù)的概率，同理，甲取的是10時，乙可取的由9個數(shù)，所以甲取出10且大于乙數(shù)概率為，甲取的是15時，乙可取14個數(shù)，所以甲取出15且大于乙數(shù)的概率為，所以甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)后，甲數(shù)大于乙數(shù)的概率為答案：小煉有話說：本題兩種處理?xiàng)l件概率的思路均可解決問題，但第二種方法要注意，所發(fā)生過的只是甲取到5的倍數(shù)，但不知是哪個數(shù)，所以在分類討論時還要乘上某個5的倍數(shù)能抽中的概率。即所求問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙阎榈?的倍數(shù)后，抽到哪個5的倍數(shù)（具體分類討論）且甲數(shù)大于乙數(shù)的概率”。例10：甲袋中有5只白球，7只紅球；乙袋中由4只白球，2只紅球，從兩個袋