人版高中一年級數(shù)學(xué)必修1《集合和函數(shù)概念》教學(xué)案

..第一章集合與函數(shù)概念[]集合的含義與表示〔1集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.〔2常用數(shù)集及其記法表示自然數(shù)集,或表示正整數(shù)集,表示整數(shù)集,表示有理數(shù)集,表示實數(shù)集.〔3集合與元素間的關(guān)系對象與集合的關(guān)系是,或者,兩者必居其一.〔4集合的表示法①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號內(nèi)表示集合.③描述法：{|具有的性質(zhì)},其中為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.〔5集合的分類①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集<>.[]集合間的基本關(guān)系〔6子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集<或A中的任一元素都屬于B<1>AA<2><3>若且,則<4>若且,則或真子集AB〔或BA,且B中至少有一元素不屬于A<1>〔A為非空子集<2>若且,則集合相等A中的任一元素都屬于B,B中的任一元素都屬于A<1>AB<2>BA〔7已知集合有個元素,則它有個子集,它有個真子集,它有個非空子集,它有非空真子集.[]集合的基本運算〔8交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集且<1><2><3>,并集或<1><2><3>,補集<1><2><3><4>[補充知識]含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法〔1含絕對值的不等式的解法不等式解集或把看成一個整體,化成,型不等式來求解〔2一元二次不等式的解法判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根〔其中無實根的解集或的解集〖1.2〗函數(shù)及其表示[知識回顧]1、一次函數(shù)=＋<≠0>：定義域,值域2、反比例函數(shù)=<≠0>：定義域{|≠0},值域{y|y≠0}3、二次函數(shù)=2＋＋<≠0>：定義域,值域：當(dāng)＞0時,｛|≥｝；當(dāng)＜0時,｛|≤｝.[]函數(shù)的概念〔1函數(shù)的概念①設(shè)、是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種對應(yīng)法則,對于集合中任何一個數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)〔包括集合,以及到的對應(yīng)法則叫做集合到的一個函數(shù),記作．②函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則．③只有定義域相同,且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．〔2區(qū)間的概念及表示法①設(shè)是兩個實數(shù),且,滿足的實數(shù)的集合叫做閉區(qū)間,記做；滿足的實數(shù)的集合叫做開區(qū)間,記做；滿足,或的實數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間,分別記做,；滿足的實數(shù)的集合分別記做．注意：對于集合與區(qū)間,前者可以大于或等于,而后者必須．〔3求函數(shù)的定義域時,一般遵循以下原則：①是整式時,定義域是全體實數(shù)．②是分式函數(shù)時,定義域是使分母不為零的一切實數(shù)．③是偶次根式時,定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合．④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時,底數(shù)須大于零且不等于1．⑤中,．⑥零〔負(fù)指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．⑦若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時,則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題,一般步驟是：若已知的定義域為,其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出．⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù),求其定義域,根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論．⑩由實際問題確定的函數(shù),其定義域除使函數(shù)有意義外,還要符合問題的實際意義．〔4求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最小〔大數(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最小〔大值．因此求函數(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的,只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：①觀察法：對于比較簡單的函數(shù),我們可以通過觀察直接得到值域或最值．②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和,然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．③判別式法：若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程,則在時,由于為實數(shù),故必須有,從而確定函數(shù)的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的,三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑧函數(shù)的單調(diào)性法．[]函數(shù)的表示法〔5函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法,常用的有解析法、列表法、圖象法三種．解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．〔6映射的概念①設(shè)、是兩個集合,如果按照某種對應(yīng)法則,對于集合中任何一個元素,在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)〔包括集合,以及到的對應(yīng)法則叫做集合到的映射,記作．②給定一個集合到集合的映射,且．如果元素和元素對應(yīng),那么我們把元素叫做元素的象,元素叫做元素的原象．注意：

<1>A中的每一個元素都有象,且唯一；

<2>B中的元素未必有原象,即使有,也未必唯一；

<3>a的象記為f<a>.

函數(shù)與映射的關(guān)系函數(shù)是特殊的映射,映射是函數(shù)的推廣。映射與函數(shù)概念間的關(guān)系可由下表給出：映射函數(shù)集合A,B可為任何集合,其元素可以是物,人,數(shù)等函數(shù)的定義域和值域均為非空的數(shù)集對于集合A中任一元素,在集合B中都有唯一確定的像對函數(shù)的定義域中每一個,值域中都有唯一確定的值與之對應(yīng)對集合B中任一元素,在集合A中不一定有原像對值域中每一個函數(shù)值,在定義域中都有確定的自變量的值與之對應(yīng)〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)[]單調(diào)性與最大〔小值〔1函數(shù)的單調(diào)性①定義及判定方法函數(shù)性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當(dāng)x1<x2時,都有f<x1><f<x2>,那么就說f<x>在這個區(qū)間上是增函數(shù)．〔1利用定義〔2利用已知函數(shù)的單調(diào)性〔3利用函數(shù)圖象〔在某個區(qū)間圖象上升為增,下降為減〔4利用復(fù)合函數(shù)如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當(dāng)x1<x2時,都有f<x1>>f<x2>,那么就說f<x>在這個區(qū)間上是減函數(shù)．②在公共定義域內(nèi),兩個增函數(shù)的和是增函數(shù),兩個減函數(shù)的和是減函數(shù),增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù),減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)．③對于復(fù)合函數(shù),令,若為增,為增,則為增；若為減,為減,則為增；若為增,為減,則為減；若為減,為增,則為減．〔2打"√"函數(shù)的圖象與性質(zhì)分別在、上為增函數(shù),分別在、上為減函數(shù)．〔3最大〔小值定義①一般地,設(shè)函數(shù)的定義域為,如果存在實數(shù)滿足：對于任意的,都有；存在,使得．那么,我們稱是函數(shù)的最大值,記作．②一般地,設(shè)函數(shù)的定義域為,如果存在實數(shù)滿足：對于任意的,都有；存在,使得．那么,我們稱是函數(shù)的最小值,記作．[]奇偶性〔4函數(shù)的奇偶性①定義及判定方法函數(shù)性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f<x>定義域內(nèi)任意一個x,都有f<－x>=－f<x>,那么函數(shù)f<x>叫做奇函數(shù)．〔1利用定義〔要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱〔2利用圖象〔圖象關(guān)于原點對稱如果對于函數(shù)f<x>定義域內(nèi)任意一個x,都有f<－x>=f<x>,那么函數(shù)f<x>叫做偶函數(shù)．〔1利用定義〔要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱〔2利用圖象〔圖象關(guān)于y軸對稱②若函數(shù)為奇函數(shù),且在處有定義,則．③奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同,偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．④在公共定義域內(nèi),兩個偶函數(shù)〔或奇函數(shù)的和〔或差仍是偶函數(shù)〔或奇函數(shù),兩個偶函數(shù)〔或奇函數(shù)的積〔或商是偶函數(shù),一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積〔或商是奇函數(shù)．〖補充知識〗函數(shù)的圖象〔1作圖利用描點法作圖：①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)〔奇偶性、單調(diào)性；④畫出函數(shù)的圖象．利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．①平移變換②伸縮變換③對稱變換〔2識圖對于給定函數(shù)的圖象,要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性,注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．〔3用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì),為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了"形"的直觀性,它是探求解題途徑,獲得問題結(jié)果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．★熱點考點題型探析考點一：集合的定義及其關(guān)系[例1]〔20XXXX理定義集合運算：．設(shè),則集合的所有元素之和為〔A．0；B．2；C．3；D．6[解題思路]根據(jù)的定義,讓在中逐一取值,讓在中逐一取值,在值就是的元素[解析]：正確解答本題,必需清楚集合中的元素,顯然,根據(jù)題中定義的集合運算知=,故應(yīng)選擇D[名師指引]這類將新定義的運算引入集合的問題因為背景公平,所以成為高考的一個熱點,這時要充分理解所定義的運算即可,但要特別注意集合元素的互異性。[例2]．?dāng)?shù)集與之間的關(guān)系是〔A．；B．；C．；D．[解題思路]可有兩種思路：一是將和的元素列舉出來,然后進(jìn)行判斷；也可依選擇支之間的關(guān)系進(jìn)行判斷。[解析]從題意看,數(shù)集與之間必然有關(guān)系,如果A成立,則D就成立,這不可能；同樣,B也不能成立；而如果D成立,則A、B中必有一個成立,這也不可能,所以只能是C[名師指引]新定義問題是高考的一個熱點,解決這類問題的辦法就是嚴(yán)格根據(jù)題中的定義,逐個進(jìn)行檢驗,不方便進(jìn)行檢驗的,就設(shè)法舉反例?？键c二：集合的基本運算[例3]設(shè)集合,〔1若,求實數(shù)的值；〔2若,求實數(shù)的取值范圍若,[解題思路]對于含參數(shù)的集合的運算,首先解出不含參數(shù)的集合,然后根據(jù)已知條件求參數(shù)。[解析]因為,〔1由知,,從而得,即,解得或當(dāng)時,,滿足條件；當(dāng)時,,滿足條件所以或〔2對于集合,由因為,所以①當(dāng),即時,,滿足條件；②當(dāng),即時,,滿足條件；③當(dāng),即時,才能滿足條件,由根與系數(shù)的關(guān)系得,矛盾故實數(shù)的取值范圍是[名師指引]對于比較抽象的集合,在探究它們的關(guān)系時,要先對它們進(jìn)行化簡。同時,要注意集合的子集要考慮空與不空,不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況.考點三：判斷兩函數(shù)是否為同一個函數(shù)[例4]試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)?〔1,；〔2,〔3,〔n∈N*；〔4,；〔5,[解題思路]要判斷兩個函數(shù)是否表示同一個函數(shù),就要考查函數(shù)的三要素。[解析]〔1由于,,故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同,所以它們不是同一函數(shù).〔2由于函數(shù)的定義域為,而的定義域為R,所以它們不是同一函數(shù).〔3由于當(dāng)n∈N*時,2n±1為奇數(shù),∴,,它們的定義域、值域及對應(yīng)法則都相同,所以它們是同一函數(shù).〔4由于函數(shù)的定義域為,而的定義域為,它們的定義域不同,所以它們不是同一函數(shù).〔5函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同,所以它們是同一函數(shù).[答案]〔1、〔2、〔4不是；〔3、〔5是同一函數(shù)[名師指引]構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系確定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個函數(shù)為同一函數(shù)。都可視為同一函數(shù).考點四：求函數(shù)的定義域、值域求值域的幾種常用方法配方法：對于〔可化為"二次函數(shù)型"的函數(shù)常用配方法,如求函數(shù),可變?yōu)榻鉀Q基本函數(shù)法：一些由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來求,如函數(shù)就是利用函數(shù)和的值域來求。判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數(shù)的值域,由得,若,則得,所以是函數(shù)值域中的一個值；若,則由得,故所求值域是分離常數(shù)法：常用來求"分式型"函數(shù)的值域。如求函數(shù)的值域,因為,而,所以,故利用基本不等式求值域：如求函數(shù)的值域當(dāng)時,；當(dāng)時,,若,則；若,則,從而得所求值域是利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù)的值域因,故函數(shù)在上遞減、在上遞增、在上遞減、在上遞增,從而可得所求值域為圖象法：如果函數(shù)的圖象比較容易作出,則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域〔求某些分段函數(shù)的值域常用此法。[例5]求下列函數(shù)的定義域：〔1〔2〔3g<x>=〔4〔5〔6〔7〔8t是時間,距離〔9；〔10[例6]求抽象函數(shù)的定義域1設(shè)的定義域是[3,],求函數(shù)的定義域。2>已知y=f<2x+1>的定義域為[-1,1],求f<x>的定義域；3>已知