離散數(shù)學(xué)-第六章集合代數(shù)課后練習(xí)習(xí)題及答案

離散數(shù)學(xué)-第六章集合代數(shù)課后練習(xí)習(xí)題及答案第六章作業(yè)評(píng)分要求：573.1—有限集合計(jì)數(shù)問題20104421對(duì)60個(gè)人的調(diào)查表明,有25人閱讀《每周新聞》雜志,26人閱讀《時(shí)代》雜志,2691188(1)求3(2)分別求只閱讀《每周新聞》、《時(shí)代》和《財(cái)富》雜志的人數(shù).解定義集合:設(shè)E={x|xA={x|x閱讀《每周新聞》},B={x|x閱讀《時(shí)代》},C={x|x閱讀《財(cái)富》}由條件得|E|=60,|A|=25,|B|=26,|C|=26,|A∩C|=9,|A∩B|=11,|B∩C|=8,|E-A∪B∪C|=8(1)閱讀全部3種雜志的人數(shù)=|A∩B∩C|=|A∪B∪C|－(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)=(60-8)－(25+26+26)+(11+9+8)=3(2)只閱讀《每周新聞》的人數(shù)=|A－B∪C|=|A－A∩(B∪C)|=|A－(A∩B)∪(A∩C)|=|A|－(|A∩B|+|A∩C|－|A∩B∩C|)=25－(11+9-3)=8同理可得只閱讀《時(shí)代》的人數(shù)為10,只閱讀《財(cái)富》的人數(shù)為12.2使用容斥原理求不超過120的素?cái)?shù)個(gè)數(shù).11202,3,57(1201202,3,5742,3,57120解定義集合:設(shè)全集E={x|x∈Z∧1≤x∧x≤120}A={2k|k∈Z∧k≥1∧2k≤120},B={3k|k∈Z∧k≥1∧3k≤120},C={5k|k∈Z∧k≥1∧5k≤120},D={7k|k∈Z∧k≥1∧7k≤120}.則不超過120的合數(shù)的個(gè)數(shù)=|A∪B∪C∪D|－4 因?yàn)?,3,5,7不是合)=(|A|+|B|+|C|+|D|)－(|A∩B|+|A∩C|+|A∩D|+|B∩C|+|B∩D|+|C∩D|)+(|A∩B∩C|+|A∩B∩D|+|A∩C∩D|+|B∩C∩D|)－|A∩B∩C∩D|－4=(60+40+24+17)－(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)－0－4(理由見說明部分)=89因此不超過120的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)=120－1－89=30(因?yàn)?不是素?cái)?shù))說明:|A|=int(120/2);|A?B|=int(120/lcd(2,3));|A?B?C|=int(120/lcd(2,3,5));|A?B?C?D|=int(120/lcd(2,3,5,7)).二集合關(guān)系證明1設(shè)A,B,C是任意集合,證明(1)(A－B)－C=A－(B∪C)(2)A∩C?B∩C∧A－C?B－C?A?B(合計(jì)12分:每小題6分;格式3分,過程每錯(cuò)一步扣1分)證明邏輯演算法:?x,x∈(A－B)－C?x∈(A－B)∧?x∈C(－定義)?(x∈A∧?x∈B)∧?x∈C(－定義)?x∈A∧(?x∈B∧?x∈C)(∧的結(jié)合律)?x∈A∧?(x∈B∨x∈C)(德摩根律)?x∈A∧?x∈B∪C(∪定義)?x∈A－B∪C(－定義)所以(A－B)－C=A－(B∪C).集合演算法(A－B)－C=(A∩~B)∩~C(補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律)=A∩(~B∩~C)(∩的結(jié)合律)=A∩~(B∪C)(德摩根律)=A－(B∪C)(補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律)得證.邏輯演算法:?x,x∈A?x∈A∩(C∪~C)(排中律,同一律)?x∈(A∩C)∪(A∩~C)(∪對(duì)∩的分配率)?x∈A∩C∨x∈A－C(∪的定義,補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律)?x∈B∩C∨x∈B－C(已知條件A∩C?B∩C與A－C?B－C)?x∈(B∩C)∪(B－C)(∪的定義)?x∈(B∩C)∪(B∩~C)(補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律)?x∈B∩(C∪~C)(∩對(duì)∪的分配率)?x∈B(排中律,同一律)所以A?B.集合演算法A=A∩(C∪~C)(同一律,排中律)=(A∩C)∪(A∩~C)(∩對(duì)∪的分配率)=(A∩C)∪(A－C)(補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律)?(B∩C)∪(B－C)(已知條件A∩C?B∩C與A－C?B－C)=(B∩C)∪(B∩~C)(補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律)=B∩(C∪~C)(∩對(duì)∪的分配率)=B(排中律,同一律)得證.方法三因?yàn)锳∩C?B∩C,A－C?B－C,所以(A∩C)∪(A－C)?(B∩C)∪(B－C)|,整理即得A?B,得證.2求下列等式成立的充分必要條件(1)A－B=B－A(2)(A－B)∩(A－C)=?(合計(jì)10分:每小題5分;正確給出充分必要條件2分,理由3分)解A－B=B－A方法一兩邊同時(shí)∪A得:A=(B－A)∪A=B∪A?B?A;同理可得A?B,綜合可得A=B.另一方面,當(dāng)A=B時(shí)顯然有A－B=B－A.因此所求充要條件為A=B.方法二?x,x∈A－B∧x∈B－A?x∈(A－B)∩(B－A)?x∈?所以A－B=B－A?A－B=?∧B－A=??A?B∧B?A?A=B因此A=B即為所求.(2)(A－B)∩(A－C)=??(A∩~B)∩(A∩~C)=??A∩(~B∩~C)=??A∩~(B∪C)=??A－(B∪C)=??A?B∪C所以A?B∪C即為所求充要條件.說明:這類題型一般先求出必要條件,再驗(yàn)證其充分性.三設(shè)全集為nE={x1,x2,…,xn}.n0,1EmA={xi1,xi2,…,xim},A0,1k=i1,i2,…,imjk=1,其它情況下jk=0.例如,E={1,2,…,8},則A={1,2,5,6}和B={3,7}對(duì)應(yīng)的0,1串分別為11001100和00100010.(1)設(shè)A對(duì)應(yīng)的0,1串為10110010,則~A對(duì)應(yīng)的0,1串是什么?AB0,1i1i2…inj1j2…jn,且A∪B,A∩B,A B0,1a1a2…an,b1b2…bn,c1c2…cn,d1d2…dn,求k=1,2,…,n.15(1)3(2)1224下述運(yùn)算是二進(jìn)制數(shù)的位運(yùn)算(1)01001101(2)ak=ik∨jk,bk=ik∧jk,ck=ik∧?jk,dk=(ik∧?jk)∨(?ik∧