空間幾何體的表面積和體積課件

2022/10/30§空間幾何體的表面積和體積2022/10/22§空間幾何體的表面積和體積1考點(diǎn)一空間幾何體的表面積1.(2011北京,5,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的表面積是

()

A.32

B.16+16

C.48

D.16+32

A組

自主命題·北京卷題組五年高考答案

B由三視圖知,四棱錐是底面邊長(zhǎng)為4,高為2的正四棱錐,∴四棱錐的表面積是16+4×

×4×2

=16+16

,故選B.考點(diǎn)一空間幾何體的表面積A組

自主命題·北京卷題組五年高22.(2012北京,7,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是

()

A.28+6

B.30+6

C.56+12

D.60+12

2.(2012北京,7,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,該三3答案

B如圖所示,將三棱錐置于長(zhǎng)方體中.

此長(zhǎng)方體長(zhǎng)為5、寬為4、高為4,三棱錐為P-ABC,P在底面內(nèi)的射影為P',SP-ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC+S△ABC=

×2

×6+

×4×5+

×5×4+

×5×4=6

+10+10+10=30+6

.故選B.評(píng)析

把三視圖正確地轉(zhuǎn)化為直觀圖是解決問題的關(guān)鍵.答案

B如圖所示,將三棱錐置于長(zhǎng)方體中.評(píng)析

4考點(diǎn)二空間幾何體的體積(2013北京,10,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的體積為

.

答案3解析由三視圖可知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形,高為1.故體積V=

Sh=

×3×3×1=3.考點(diǎn)二空間幾何體的體積解析由三視圖可知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)5考點(diǎn)一空間幾何體的表面積1.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,5,5分)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該

圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為

()A.12

πB.12πC.8

πD.10πB組

統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組答案

B本題主要考查圓柱的表面積及圓柱的軸截面.設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,由題意可知2r=h=2

,∴圓柱的表面積S=2πr2+2πr·h=4π+8π=12π.故選B.解題關(guān)鍵正確理解圓柱的軸截面及熟記圓柱的表面積公式是解決本題的關(guān)鍵.考點(diǎn)一空間幾何體的表面積B組

統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題62.(2016課標(biāo)Ⅱ,4,5分)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為

()A.12πB.

πC.8πD.4π答案

A設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則a3=8,解得a=2.設(shè)球的半徑為R,則2R=

a,即R=

,所以球的表面積S=4πR2=12π.故選A.評(píng)析本題考查了正方體和球的切接問題.正方體的體對(duì)角線即為其外接球的直徑.2.(2016課標(biāo)Ⅱ,4,5分)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同73.(2016課標(biāo)Ⅰ,7,5分)如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直

的半徑.若該幾何體的體積是

,則它的表面積是

()

A.17πB.18πC.20πD.28π3.(2016課標(biāo)Ⅰ,7,5分)如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)8答案

A由三視圖知該幾何體為球去掉了

所剩的幾何體(如圖),設(shè)球的半徑為R,則

×

πR3=

,故R=2,從而它的表面積S=

×4πR2+

×πR2=17π.故選A.

解后反思球的表面積公式和體積公式要記準(zhǔn)、記牢;在計(jì)算表面積時(shí)“不重不漏”是關(guān)鍵

所在.評(píng)析本題考查了球的表面積和體積,考查了三視圖和直觀圖.答案

A由三視圖知該幾何體為球去掉了?所剩的幾何體(94.(2015課標(biāo)Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱

錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為

()A.36πB.64πC.144πD.256π答案

C△AOB的面積為定值,當(dāng)OC垂直于平面AOB時(shí),三棱錐O-ABC的體積取得最大值.由

R3=36得R=6.從而球O的表面積S=4πR2=144π.故選C.

5.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,16,5分)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑.

若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為

.答案36π4.(2015課標(biāo)Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上兩10解析解法一:由題意作出圖形,如圖.

設(shè)球O的半徑為R,由題意知SB⊥BC,SA⊥AC,又SB=BC,SA=AC,則SB=BC=SA=AC=

R.連接OA,OB,則OA⊥SC,OB⊥SC,因?yàn)槠矫鍿CA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,所以O(shè)A⊥平面SCB,所

以O(shè)A⊥OB,則AB=

R,所以△ABC是邊長(zhǎng)為

R的等邊三角形,設(shè)△ABC的中心為O1,連接OO1,CO1.則OO1⊥平面ABC,CO1=

×

×

R=

R,則OO1=

=

R,則VS-ABC=2VO-ABC=2×

×

(

R)2×

R=

R3=9,解析解法一:由題意作出圖形,如圖.11所以R=3.所以球O的表面積S=4πR2=36π.解法二:由題意得AO⊥SC,BO⊥SC,所以∠AOB是平面SCA與平面SCB所成二面角的平面角,又

因?yàn)锳O∩BO=O,所以SC⊥平面ABO.因?yàn)槠矫鍿CA⊥平面SCB,所以∠AOB=90°,所以VS-ABC=VS-ABO+VC-ABO=

·

·SC=9.由于OA=OB=

SC,從而球O的半徑R=OA=OB=3,故球O的表面積S=4πR2=36π.所以R=3.126.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,15,5分)長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬,高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的

表面積為

.答案14π解析本題考查長(zhǎng)方體和球的性質(zhì),考查了球的表面積公式.由題意知長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球O的直徑,設(shè)球O的半徑為R,則(2R)2=32+22+12=14,得R2=

,所以球O的表面積為4πR2=14π.疑難突破長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球的直徑是求解的關(guān)鍵.易錯(cuò)警示易因用錯(cuò)球的表面積公式而致錯(cuò).6.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,15,5分)長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬,高分別137.(2014山東,13,5分)一個(gè)六棱錐的體積為2

,其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形,側(cè)棱長(zhǎng)都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為

.答案12解析設(shè)六棱錐的高為h,斜高為h0.因?yàn)樵摿忮F的底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形,所以底面面積

為

×2×2×sin60°×6=6

,則

×6

h=2

,得h=1,所以h0=

=2,所以該六棱錐的側(cè)面積為

×2×2×6=12.7.(2014山東,13,5分)一個(gè)六棱錐的體積為2?,其底148.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,18,12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱錐P-ABCD的體積為

,求該四棱錐的側(cè)面積.

8.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,18,12分)如圖,在四棱錐P-A15解析(1)證明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,從而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解法一:在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD,垂足為E.

由(1)知,AB⊥平面PAD,解析(1)證明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,16故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.設(shè)AB=x,則由已知可得AD=

x,PE=

x.故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=

AB·AD·PE=

x3.由題設(shè)得

x3=

,故x=2.從而PA=PD=2,AD=BC=2

,PB=PC=2

.可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為

PA·PD+

PA·AB+

PD·DC+

BC2sin60°=6+2

.解法二:由題設(shè)條件和(1)可知四棱錐P-ABCD是一個(gè)正方體的一部分,底面ABCD是正方體的

一個(gè)對(duì)角面,P是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)(如圖),

故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.17設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則VP-ABCD=

·

a·a·

a=

a3,由題設(shè)得

a3=

,解得a=2,從而PA=PD=2,AD=BC=2

,PB=PC=2

,故四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為

PA·PD+

PA·AB+

PD·DC+

BC2sin60°=6+2

.9.(2015課標(biāo)Ⅰ,18,12分)如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE⊥平面ABCD.(1)證明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱錐E-ACD的體積為

,求該三棱錐的側(cè)面積.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則VP-ABCD=?·?a·a·?a=?18解析(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AC⊥BD.因?yàn)锽E⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.

(5分)(2)設(shè)AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=

x,GB=GD=

.因?yàn)锳E⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=

x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG為直角三角形,可得BE=

x.由已知得,三棱錐E-ACD的體積VE-ACD=

×

AC·GD·BE=

x3=

.故x=2.

(9分)從而可得AE=EC=ED=

.所以△EAC的面積為3,△EAD的面積與△ECD的面積均為

.故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2

.

(12分)解析(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AC⊥BD.19考點(diǎn)二空間幾何體的體積1.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,10,5分)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角

為30°,則該長(zhǎng)方體的體積為

()A.8

B.6

C.8

D.8

答案

C本題主要考查長(zhǎng)方體的體積及直線與平面所成的角.如圖,由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得AB⊥平面BCC1B1,∴BC1為直線AC1在平面BCC1B1內(nèi)的射影,∴∠AC1B為直線AC1與平面BCC1B1所成的角,即∠AC1B=30°,在Rt△ABC1中,AB=2,∠AC1B=30°,∴BC1=2

,在Rt△BCC1中,CC1=

=

=2

,∴該長(zhǎng)方體的體積V=2×2×2

=8

,故選C.易錯(cuò)警示不能準(zhǔn)確理解線面角的定義,無法找出直線與平面所成的角,從而導(dǎo)致失分.考點(diǎn)二空間幾何體的體積答案

C本題主要考查長(zhǎng)方體的20方法總結(jié)用定義法求線面角的步驟:(1)找出斜線上的某一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影;(2)連接該射影與直線和平面的交點(diǎn)即可得出線面角;(3)構(gòu)建直角三角形,求解得出結(jié)論.2.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,12,5分)設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),△ABC為等邊三角

形且其面積為9

,則三棱錐D-ABC體積的最大值為

()A.12

B.18

C.24

D.54

答案

B本題考查空間幾何體的體積及與球有關(guān)的切接問題.設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a,則有S△ABC=

a·a·sin60°=9

,解得a=6.設(shè)△ABC外接圓的半徑為r,則2r=

,解得r=2

,則球心到平面ABC的距離為

=2,所以點(diǎn)D到平面ABC的最大距離為2+4=6,所以三棱錐D-ABC體積的最大值為

×9

×6=18

,故選B.方法總結(jié)用定義法求線面角的步驟:2.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,21方法總結(jié)解決與球有關(guān)的切、接問題的策略:(1)“接”的處理:①構(gòu)造正(長(zhǎng))方體,轉(zhuǎn)化為正(長(zhǎng))方體的外接球問題.②空間問題平面化,把平面問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中,作出適當(dāng)截面(過球心,接點(diǎn)等).③利用球心與截面圓心的連線垂直于截面定球心所在直線.(2)“切”的處理:①體積分割法求內(nèi)切球半徑.②作出合適的截面(過球心,切點(diǎn)等),在平面上求解.③多球相切問題,連接各球球心,轉(zhuǎn)化為處理多面體問題.方法總結(jié)解決與球有關(guān)的切、接問題的策略:223.(2018浙江,3,4分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是

()

A.2

B.4

C.6

D.8答案

C本題考查空間幾何體的三視圖和直觀圖以及幾何體的體積公式.由三視圖可知該幾何體是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底邊的長(zhǎng)分別為1

cm,2cm,高為2cm,直四棱柱的高為2cm.故直四棱柱的體積V=

×2×2=6cm3.思路分析(1)利用三視圖可判斷幾何體是直四棱柱;(2)利用“長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等”的原則,可得直四棱柱的各條棱長(zhǎng).3.(2018浙江,3,4分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位234.(2016課標(biāo)Ⅲ,11,5分)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,

BC=8,AA1=3,則V的最大值是

()A.4πB.

C.6πD.

答案

B易得AC=10.設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則

×6×8=

×(6+8+10)·r,所以r=2,因?yàn)?r=4>3,所以最大球的直徑2R=3,即R=

.此時(shí)球的體積V=

πR3=

π.故選B.評(píng)析本題考查了球的體積公式和空間想象能力.4.(2016課標(biāo)Ⅲ,11,5分)在封閉的直三棱柱ABC-A245.(2016山東,5,5分)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積

為

()A.

+

πB.

+

πC.

+

πD.1+

π5.(2016山東,5,5分)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體25答案

C由三視圖可知四棱錐為正四棱錐,底面正方形的邊長(zhǎng)為1,四棱錐的高為1,球的直徑

為正四棱錐底面正方形的對(duì)角線,所以球的直徑2R=

,即R=

,所以半球的體積為

πR3=

π,又正四棱錐的體積為

×12×1=

,所以該幾何體的體積為

+

π.故選C.易錯(cuò)警示不能從俯視圖中正確地得到球的半徑,而錯(cuò)誤地從正視圖中得到球的半徑R=

.評(píng)析本題考查了空間幾何體的三視圖和體積公式.正確得到幾何體的直觀圖并準(zhǔn)確地計(jì)算

是解題關(guān)鍵.答案

C由三視圖可知四棱錐為正四棱錐,底面正方形的邊266.(2014四川,4,5分)某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是

()

錐體體積公式:V=

Sh,其中S為底面面積,h為高

A.3

B.2

C.

D.1答案

D由俯視圖可知,三棱錐底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.由側(cè)視圖可知,三棱錐的高為

.故該三棱錐的體積V=

×

×2×

×

=1.6.(2014四川,4,5分)某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所277.(2014重慶,7,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為

()

A.12

B.18

C.24

D.307.(2014重慶,7,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該28答案

C由三視圖可知該幾何體是由如圖所示的直三棱柱ABC-A1B1C1截掉一個(gè)三棱錐D-A1

B1C1得到的,其中AC=4,BC=3,AA1=5,AD=2,BC⊥AC,所以該幾何體的體積V=

·AC·BC·AA1-

×

·A1C1·B1C1·A1D=

×4×3×5-

×

×4×3×3=30-6=24.

答案

C由三視圖可知該幾何體是由如圖所示的直三棱柱A298.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,16,5分)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB互相垂直,SA與圓錐底面所成角為3

0°.若△SAB的面積為8,則該圓錐的體積為

.答案8π解析本題主要考查圓錐的性質(zhì)和體積,直線與平面所成的角.設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,高為h,因?yàn)槟妇€SA與底面所成的角為30°,所以l=

r.由△SAB的面積為8得

l2=8,即

×

r2=8,所以r2=12,h=

r=2.所以圓錐的體積為

πr2h=

π×12×2=8π.疑難突破由母線與底面所成的角找到圓錐的底面半徑r與母線長(zhǎng)l、高h(yuǎn)的等量關(guān)系是解決

本題的突破口.8.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,16,5分)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母309.(2018江蘇,10,5分)如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為

.

答案

解析本題考查組合體體積的計(jì)算.多面體由兩個(gè)完全相同的正四棱錐組合而成,其中正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為

,高為1,∴其體積為

×(

)2×1=

,∴多面體的體積為

.9.(2018江蘇,10,5分)如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為2,3110.(2018天津,11,5分)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則四棱錐A1-BB1D1D的體積

為

.

答案

解析本題主要考查正方體的性質(zhì)和四棱錐的體積.四棱錐的底面BB1D1D為矩形,其面積為1×

=

,又點(diǎn)A1到底面BB1D1D的距離,即四棱錐A1-BB1D1D的高為

A1C1=

,所以四棱錐A1-BB1D1D的體積為

×

×

=

.10.(2018天津,11,5分)如圖,已知正方體ABCD-3211.(2017江蘇,6,5分)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.

記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則

的值是

.

答案

解析本題考查空間幾何體的體積.設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R,則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R,高為2R,∴

=

=

.11.(2017江蘇,6,5分)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)3312.(2017天津,11,5分)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若這個(gè)正方體的表面積為18,

則這個(gè)球的體積為

.答案

π解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為R,由題意可知6a2=18,所以a=

,由題意知R=

a=

,因此這個(gè)球的體積V=

πR3=

π×

=

π.13.(2015四川,14,5分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正

方形,俯視圖是直角邊的長(zhǎng)為1的等腰直角三角形.設(shè)點(diǎn)M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),則三

棱錐P-A1MN的體積是

.答案

12.(2017天津,11,5分)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在34解析三棱柱ABC-A1B1C1的直觀圖如圖,由題意知CC1=AB=AC=1,AB⊥AC.

∵N,P分別為BC,B1C1的中點(diǎn),∴NP∥CC1,∵CC1∥AA1,∴NP∥AA1,又AA1?平面MNP,NP?平面MNP,∴AA1∥平面MNP.∴A1到平面MNP的距離等于A到平面MNP的距離,由題意知,三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AM,∴AM⊥NP.∵M(jìn),N分別為AB,BC的中點(diǎn),∴MN∥AC.∵AC⊥AB,∴AM⊥MN.∵M(jìn)N∩NP=N,∴AM⊥平面MNP,∴A1到平面MNP的距離即為線段AM的長(zhǎng).∴

=

=

AM·S△MNP=

×

×

×

×1=

.解析三棱柱ABC-A1B1C1的直觀圖如圖,由題意知CC13514.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,18,12分)如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC為折痕

將△ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且AB⊥DA.(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ=

DA,求三棱錐Q-ABP的體積.

14.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,18,12分)如圖,在平行四邊形36解析(1)證明:由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3

.又BP=DQ=

DA,所以BP=2

.作QE⊥AC,垂足為E,則QE

DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱錐Q-ABP的體積為VQ-ABP=

·QE·S△ABP=

×1×

×3×2

sin45°=1.解析(1)證明:由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.37規(guī)律總結(jié)證明空間線面位置關(guān)系的一般步驟:(1)審清題意:分析條件,挖掘題目中平行與垂直的關(guān)系;(2)明確方向:確定問題的方向,選擇證明平行或垂直的方法,必要時(shí)添加輔助線;(3)給出證明:利用平行、垂直關(guān)系的判定或性質(zhì)給出問題的證明;(4)反思回顧:查看關(guān)鍵點(diǎn)、易漏點(diǎn),檢查使用定理時(shí)定理成立的條件是否遺漏,符號(hào)表達(dá)是否

準(zhǔn)確.解題關(guān)鍵(1)利用平行關(guān)系將∠ACM=90°轉(zhuǎn)化為∠BAC=90°是求證第(1)問的關(guān)鍵;(2)利用翻折的性質(zhì)將∠ACM=90°轉(zhuǎn)化為∠ACD=90°,進(jìn)而利用面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂

直的性質(zhì)定理得出三棱錐Q-ABP的高是求解第(2)問的關(guān)鍵.規(guī)律總結(jié)證明空間線面位置關(guān)系的一般步驟:解題關(guān)鍵(1)利3815.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=

AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)證明:直線BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面積為2

,求四棱錐P-ABCD的體積.

15.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,18,12分)如圖,四棱錐P-A39解析本題考查線面平行的判定和體積的計(jì)算.(1)證明:在平面ABCD內(nèi),因?yàn)椤螧AD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC?平面PAD,AD?平面

PAD,故BC∥平面PAD.(2)取AD的中點(diǎn)M,連接PM,CM.由AB=BC=

AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四邊形ABCM為正方形,則CM⊥AD.

因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,

PM⊥底面ABCD.因?yàn)镃M?底面ABCD,所以PM⊥CM.設(shè)BC=x,則CM=x,CD=

x,PM=

x,PC=PD=2x.解析本題考查線面平行的判定和體積的計(jì)算.40取CD的中點(diǎn)N,連接PN,則PN⊥CD,所以PN=

x.因?yàn)椤鱌CD的面積為2

,所以

×

x×

x=2

,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2

.所以四棱錐P-ABCD的體積V=

×

×2

=4

.取CD的中點(diǎn)N,連接PN,4116.(2016課標(biāo)Ⅱ,19,12分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,

AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)證明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=

,OD'=2

,求五棱錐D'-ABCFE的體積.

16.(2016課標(biāo)Ⅱ,19,12分)如圖,菱形ABCD的對(duì)42解析(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得

=

,故AC∥EF.

(2分)由此得EF⊥HD,EF⊥HD‘,所以AC⊥HD'.

(4分)(2)由EF∥AC得

=

=

.

(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=

=4.所以O(shè)H=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2

)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.又由OD‘⊥OH,AC∩OH=O,所以O(shè)D'⊥平面ABC.

(8分)又由

=

得EF=

.五邊形ABCFE的面積S=

×6×8-

×

×3=

.

(10分)所以五棱錐D'-ABCFE的體積V=

×

×2

=

.

(12分)評(píng)析本題考查了線線垂直的判定、線面垂直的判定和性質(zhì),考查了錐體的體積的計(jì)算,考查

了空間想象能力和邏輯推理能力.屬中檔題.解析(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.五邊形AB4317.(2015課標(biāo)Ⅱ,19,12分)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B

1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點(diǎn)E,F的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.

(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.17.(2015課標(biāo)Ⅱ,19,12分)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-44解析(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:

(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=

=6,AH=10,HB=6.因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值為

.解析(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:4518.(2015陜西,18,12分)如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=

,AB=BC=

AD=a,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置,得到四棱錐A1-BCDE.

(1)證明:CD⊥平面A1OC;(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí),四棱錐A1-BCDE的體積為36

,求a的值.18.(2015陜西,18,12分)如圖1,在直角梯形ABC46解析(1)證明:在題圖1中,因?yàn)锳B=BC=

AD=a,E是AD的中點(diǎn),∠BAD=

,所以BE⊥AC.即在題圖2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,從而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知,A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.由題圖1知,A1O=

AB=

a,平行四邊形BCDE的面積S=BC·AB=a2.從而四棱錐A1-BCDE的體積為V=

×S×A1O=

×a2×

a=

a3,由

a3=36

,得a=6.評(píng)析本題首先借“折疊”問題考查空間想象能力,同時(shí)考查線面垂直的判定及面面垂直性

質(zhì)的應(yīng)用.解析(1)證明:在題圖1中,因?yàn)锳B=BC=?AD=a,E4719.(2014福建,19,12分)如圖,三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求證:CD⊥平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M為AD中點(diǎn),求三棱錐A-MBC的體積.19.(2014福建,19,12分)如圖,三棱錐A-BCD中48解析(1)證明:∵AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,AB?平面ABD,BD?平面ABD,∴CD⊥平面ABD.(2)解法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.∵AB=BD=1,∴S△ABD=

.∵M(jìn)是AD的中點(diǎn),∴S△ABM=

S△ABD=

.由(1)知,CD⊥平面ABD,∴三棱錐C-ABM的高h(yuǎn)=CD=1,因此VA-MBC=VC-ABM=

S△ABM·h=

.解法二:由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,如圖,過點(diǎn)M作MN⊥BD交BD于點(diǎn)N,解析(1)證明:∵AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,49則MN⊥平面BCD,且MN=

AB=

,又CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD=

.∴三棱錐A-MBC的體積VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=

AB·S△BCD-

MN·S△BCD=

.空間幾何體的表面積和體積課件50考點(diǎn)一空間幾何體的表面積1.(2016課標(biāo)Ⅱ,7,5分)下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積

為

()A.20πB.24πC.28πD.32πC組

教師專用題組答案

C由三視圖知圓錐的高為2

,底面半徑為2,則圓錐的母線長(zhǎng)為4,所以圓錐的側(cè)面積為

×4π×4=8π.圓柱的底面積為4π,圓柱的側(cè)面積為4×4π=16π,從而該幾何體的表面積為8π+16π+4π=28π,故選C.考點(diǎn)一空間幾何體的表面積C組

教師專用題組答案

C512.(2014福建,3,5分)以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓

柱的側(cè)面積等于

()A.2πB.πC.2

D.1答案

A由題意得圓柱的底面半徑r=1,母線l=1.∴圓柱的側(cè)面積S=2πrl=2π.故選A.考點(diǎn)二空間幾何體的體積1.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,9,5分)已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球

面上,則該圓柱的體積為

()A.πB.

C.

D.

答案

B設(shè)圓柱的底面圓半徑為r,由題意可得12+(2r)2=22,解得r=

.∴圓柱的體積V=πr2×1=

,故選B.2.(2014福建,3,5分)以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直522.(2015山東,9,5分)已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋

轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為

()A.

B.

C.2

πD.4

π答案

B

依題意知,該幾何體是以

為底面半徑,

為高的兩個(gè)同底圓錐組成的組合體,則其體積為

π(

)2×

×2=

π,故選B.2.(2015山東,9,5分)已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)533.(2015湖南,10,5分)某工件的三視圖如圖所示.現(xiàn)將該工件通過切削,加工成一個(gè)體積盡可能

大的正方體新工件,并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi),則原工件材料的利用率為

材料利用率=

()

A.

B.

C.

D.

3.(2015湖南,10,5分)某工件的三視圖如圖所示.現(xiàn)將54答案

A由三視圖可知,原工件是一個(gè)底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3的圓錐,則圓錐的高為2

,新工件是該圓錐的內(nèi)接正方體,如圖,此截面中的矩形為正方體的對(duì)角面,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x,則

=

,解得x=

.所以正方體的體積V1=

=

,又圓錐的體積V2=

π×12×2

=

π,所以原工件材料的利用率為

=

,故選A.答案

A由三視圖可知,原工件是一個(gè)底面半徑為1,母線554.(2014湖北,10,5分)《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國(guó)

現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):置如其周,令相乘也.又以高乘之,

三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn),計(jì)算其體積V的近似公式V≈

L2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式V≈

L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為

()A.

B.

C.

D.

答案

B設(shè)圓錐底面半徑為r,則2πr=L,r=

.圓錐的體積V=

πr2h=

h=

,∴12π≈

,∴π≈

=

,故選B.4.(2014湖北,10,5分)《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年565.(2015浙江,2,5分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是

()A.8cm3

B.12cm3

C.

cm3

D.

cm3

答案

C由三視圖知,該幾何體是由棱長(zhǎng)為2cm的正方體和底面邊長(zhǎng)為2cm,高為2cm的正

四棱錐組合而成的幾何體.所以該幾何體的體積V=23+

×22×2=

cm3,故選C.5.(2015浙江,2,5分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位576.(2015課標(biāo)Ⅰ,6,5分,0.451)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問

題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆

放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積

和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有

()

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛答案

B設(shè)圓錐底面的半徑為R尺,由

×2πR=8得R=

,從而米堆的體積V=

×

πR2×5=

(立方尺),因此堆放的米約有

≈22(斛).故選B.6.(2015課標(biāo)Ⅰ,6,5分,0.451)《九章算術(shù)》是我587.(2015天津,10,5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為

m3.

答案

π解析由三視圖知該幾何體由兩個(gè)相同的圓錐和一個(gè)圓柱組成.其中,圓錐的底面半徑和圓柱

的底面半徑均為1m,兩個(gè)圓錐的高均為1m,圓柱的高為2m.因此該幾何體的體積為V=2×

π×12×1+π×12×2=

π(m3).7.(2015天津,10,5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(598.(2017山東,13,5分)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)

圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如下圖,則該幾何體的體積為

.

8.(2017山東,13,5分)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)?圓柱體構(gòu)60答案2+

解析本題考查空間幾何體的三視圖及空間幾何體的體積.由幾何體的三視圖可畫出該幾何體的直觀圖如下:

∴該幾何體的體積V=2×1×1+

×π×1=2+

.答案2+?解析本題考查空間幾何體的三視圖及空間幾何體的619.(2014天津,10,5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為

m3.

答案

解析由三視圖知該幾何體是由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體,其體積為

π×22×2+π×12×4=

m3.9.(2014天津,10,5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(6210.(2015安徽,19,13分)如圖,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱錐P-ABC的體積;(2)證明:在線段PC上存在點(diǎn)M,使得AC⊥BM,并求

的值.

10.(2015安徽,19,13分)如圖,三棱錐P-ABC中63解析(1)由題設(shè)AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S△ABC=

·AB·AC·sin60°=

.由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱錐P-ABC的高,又PA=1,所以三棱錐P-ABC的體積V=

·S△ABC·PA=

.(2)在平面ABC內(nèi),過點(diǎn)B作BN⊥AC,垂足為N.在平面PAC內(nèi),過點(diǎn)N作MN∥PA交PC于點(diǎn)M,連接

BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM?平面MBN,所以AC⊥BM.在直角△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=

,從而NC=AC-AN=

.由MN∥PA,得

=

=

.評(píng)析本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)及三棱錐的體積計(jì)算.解析(1)由題設(shè)AB=1,AC=2,∠BAC=60°,評(píng)析6411.(2014廣東,18,13分)如圖1,四邊形ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如圖2折

疊:折痕EF∥DC,其中點(diǎn)E,F分別在線段PD,PC上,沿EF折疊后點(diǎn)P在線段AD上的點(diǎn)記為M,并

且MF⊥CF.(1)證明:CF⊥平面MDF;(2)求三棱錐M-CDE的體積.

11.(2014廣東,18,13分)如圖1,四邊形ABCD為65解析(1)證明:∵PD⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,∴PD⊥AD.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.又∵PD∩DC=D,∴AD⊥平面PCD.∵CF?平

面PCD,∴AD⊥CF.又∵M(jìn)F⊥CF,MF∩AD=M,∴CF⊥平面MDF.(2)由(1)知CF⊥DF,PD⊥DC,在△PCD中,DC2=CF·PC.∴CF=

=

.又∵EF∥DC,∴

=

?ED=

=

=

.∴PE=ME=

-

=

,∴S△CDE=

DC·ED=

×1×

=

.在Rt△MDE中,MD=

=

,∴VM-CDE=

S△CDE·MD=

×

×

=

.解析(1)證明:∵PD⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,6612.(2016江蘇,17,14分)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1

B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱

錐的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少?(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m,則當(dāng)PO1為多少時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大?

12.(2016江蘇,17,14分)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由67解析(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.因?yàn)锳1B1=AB=6,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=

·A1

·PO1=

×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3).(2)設(shè)A1B1=a(m),PO1=h(m),則0<h<6,O1O=4h.連接O1B1.

因?yàn)樵赗t△PO1B1中,O1

+P

=P

,所以

+h2=36,即a2=2(36-h2).于是倉(cāng)庫(kù)的容積V=V柱+V錐=a2·4h+

a2·h=

a2h=

(36h-h3),0<h<6,解析(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.68從而V'=

(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=2

或h=-2

(舍).當(dāng)0<h<2

時(shí),V'>0,V是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)2

<h<6時(shí),V'<0,V是單調(diào)減函數(shù).故h=2

時(shí),V取得極大值,也是最大值.因此,當(dāng)PO1=2

m時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大.方法小結(jié)(1)注意正四棱錐與正四棱柱底面相同,高的倍數(shù)關(guān)系.(2)選擇中間關(guān)聯(lián)變量PO1為主變量把相關(guān)邊長(zhǎng)與高用主變量表示出來.再把容積表示成主變

量的函數(shù).轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值的問題.再考慮用導(dǎo)數(shù)求解.評(píng)析本題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想

象能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.從而V'=?(36-3h2)=26(12-h2).方法小結(jié)69考點(diǎn)一空間幾何體的表面積1.(2017北京朝陽一模,7)某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的底面的面積是

()

A.

B.

C.

D.

三年模擬A組2016—2018年高考模擬·基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一空間幾何體的表面積三年模擬A組2016—201870答案

D根據(jù)三視圖將四棱錐還原到正方體中,如圖中四棱錐P-ABCD,底面面積為

=

.故選D.

答案

D根據(jù)三視圖將四棱錐還原到正方體中,如圖中四棱712.(2016北京朝陽一模,6)已知某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的側(cè)面積是

()

A.3+

B.3+

C.1+2

D.1+2

2.(2016北京朝陽一模,6)已知某四棱錐的三視圖如圖所示72答案

B將三視圖還原成立體圖形并嵌在長(zhǎng)方體中,如圖中四棱錐P-ABCD.

由三視圖得AB=2,P為A1B1的中點(diǎn),BB1=1,BC=

,∴PB=PA=

.∴PD=PC=

.易知△PCD中DC邊上的高=

=2.S側(cè)=S△PAB+S△PBC+S△PAD+S△PCD=

×2×1+

×

×

+

×

×

+

×2×2=3+

.答案

B將三視圖還原成立體圖形并嵌在長(zhǎng)方體中,如圖中733.(2018北京海淀期末,12)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的四個(gè)面的面積中最大的

值是

.

3.(2018北京海淀期末,12)某三棱錐的三視圖如圖所示,74答案

解析根據(jù)三視圖得三棱錐的直觀圖,如圖,且PA垂直于底面.根據(jù)各個(gè)側(cè)面的圖形特點(diǎn),知△PBC的面積最大,△PBC的面積S=

×

×

=

.答案

?解析根據(jù)三視圖得三棱錐的直觀圖,如圖,75考點(diǎn)二空間幾何體的體積1.(2018北京東城期末,7)某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的體積為

()

A.

B.

C.

D.

考點(diǎn)二空間幾何體的體積76答案

B由三視圖可知,該三棱錐的直觀圖是D1-ABB1(圖中正方體的棱長(zhǎng)為2),三棱錐D1-

ABB1的體積為

×

×2×2×2=

,故選B.

點(diǎn)睛方法本題考查空間幾何體的三視圖以及學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力,屬于難

題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見的題型,也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻

譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵.要注意三視圖中“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”,還要特別注意實(shí)

線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響,對(duì)于簡(jiǎn)單組合體的三視圖問題,先

看俯視圖確定底面形狀,然后根據(jù)正視圖和側(cè)視圖,確定幾何體的形狀.答案

B由三視圖可知,該三棱錐的直觀圖是D1-ABB772.(2018北京朝陽一模,6)某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的體積等于

()

A.

B.

C.

D.

2.(2018北京朝陽一模,6)某四棱錐的三視圖如圖所示,則78答案

A摳點(diǎn)法.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中摳點(diǎn),(1)由正視圖可知:C1D1上沒有點(diǎn);(2)由側(cè)視圖可知:B1C1上沒有點(diǎn);(3)由俯視圖可知:CC1上沒有點(diǎn);(4)由正(俯)視圖可知:D,E處有點(diǎn),由俯視圖中虛線可知B,F處有點(diǎn),A點(diǎn)排除.由上述可還原出四棱錐為A1-BEDF,如圖所示,S四邊形BEDF=1×1=1,

=

×1×1=

,故選A.

答案

A摳點(diǎn)法.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中793.(2018北京順義二模,4)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是

()

A.

B.

C.8

D.163.(2018北京順義二模,4)某三棱錐的三視圖如圖所示,則80答案

B根據(jù)三視圖,在長(zhǎng)方體中作出三棱錐的直觀圖,如圖中三棱錐A-BCD.

則該三棱錐的體積V=

×

×4×4×2=

,故選B.答案

B根據(jù)三視圖,在長(zhǎng)方體中作出三棱錐的直觀圖,814.(2016北京海淀一模,5)某三棱錐的三視圖如圖所示,則其體積為

()

A.

B.

C.

D.

4.(2016北京海淀一模,5)某三棱錐的三視圖如圖所示,則82答案

A根據(jù)三視圖將幾何體還原并嵌到長(zhǎng)方體中,如圖中三棱錐P-AEC.

由三視圖得EC=2,CC1=1,BC=

,所以體積V=

·S△AEC·1=

×

×1=

.答案

A根據(jù)三視圖將幾何體還原并嵌到長(zhǎng)方體中,如圖中835.(2018北京朝陽二模,12)已知某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是

.

答案

解析由三視圖,在正方體中作出三棱錐的直觀圖,如圖中三棱錐A-BCD.所以V=

×

×1×1×1=

.5.(2018北京朝陽二模,12)已知某三棱錐的三視圖如圖所84考點(diǎn)空間幾何體的體積1.(2018北京豐臺(tái)一模,7)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為

()

A.

B.4

C.

D.

B組2016—2018年高考模擬·綜合題組考點(diǎn)空間幾何體的體積B組2016—2018年高考模擬·85答案

A根據(jù)三視圖將幾何體還原到正方體中,如圖中三棱錐P-ABC.則體積為

×

×2×2×2=

.故選A.點(diǎn)睛方法利用三視圖還原空間幾何體,首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系,遵循“長(zhǎng)對(duì)正、

高平齊、寬相等”的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng);俯視圖的

長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng),寬是幾何體的寬,側(cè)視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬.答案

A根據(jù)三視圖將幾何體還原到正方體中,如圖中三棱862.(2018北京石景山一模,7)若某多面體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此多面體的體積是

()

A.

cm3

B.

cm3

C.

cm3

D.

cm3

2.(2018北京石景山一模,7)若某多面體的三視圖(單位:87答案

A由三視圖可知該幾何體為一個(gè)正方體截去一個(gè)三棱柱,該三棱柱的高為1,底面是腰

長(zhǎng)為

的等腰直角三角形.所以該幾何體的體積V=1×1×1-

×

×

×1=

,故選A.點(diǎn)睛方法在由三視圖還原為空間幾何體時(shí),要根據(jù)三個(gè)視圖綜合考慮,根據(jù)作三視圖的規(guī)則,

空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線,不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾

何體時(shí),一般是以正視圖和俯視圖為主,結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.求解以三視圖為載體的空間

幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)

系,利用相應(yīng)的體積公式求解.答案

A由三視圖可知該幾何體為一個(gè)正方體截去一個(gè)三棱883.(2018北京順義二模,18)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為1,AB=AC=1,BC=

,D是BC的中點(diǎn).(1)求證:AD⊥平面B1BCC1;(2)求證:A1B∥平面ADC1;(3)求三棱錐B1-ADC1的體積.

3.(2018北京順義二模,18)如圖,直三棱柱ABC-A189解析(1)證明:在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC,又∵幾何體ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴BB1⊥平面ABC,∴AD⊥BB1,∵BC∩BB1=B,∴AD⊥平面B1BCC1.(2)證明:連接A1C交AC1于點(diǎn)O,則O是A1C的中點(diǎn),連接OD,∵在△A1BC中,O是A1C的中點(diǎn),D是BC的中點(diǎn),∴A1B∥OD,又A1B?平面ADC1,OD?平面ADC1,∴A1B∥平面ADC1.(3)由(1)可知,AD⊥平面B1BCC1,解析(1)證明:在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),90∵AB=AC=1,BC=

,∴△ABC是直角三角形,∵D是BC的中點(diǎn),∴AD=

BC=

,∴

=

×1×

=

,∴

=

=

·AD=

×

×

=

.∵AB=AC=1,BC=?,∴△ABC是直角三角形,914.(2018北京昌平二模,18)如圖,四邊形ABCD是正方形,平面ABCD⊥平面ABEF,AF∥BE,AB⊥

BE,AB=BE=2,AF=1.(1)求證:AC⊥平面BDE;(2)求證:AC∥平面DEF;(3)求三棱錐D-BEF的體積.

4.(2018北京昌平二模,18)如圖,四邊形ABCD是正方92解析(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以AC⊥BD.因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,AB⊥BE,BE?平面ABEF,所以BE⊥平面ABCD.又因?yàn)锳C?平面ABCD,所以BE⊥AC.又因?yàn)锽E∩BD=B,所以AC⊥平面BDE.

(5分)(2)證明:取DE的中點(diǎn)G,連接OG,FG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,解析(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以AC⊥BD93所以O(shè)為BD的中點(diǎn).所以O(shè)G∥BE,且OG=

BE.已知AF∥BE,且AF=

BE,則AF∥OG且AF=OG,所以四邊形AOGF為平行四邊形,所以AO∥FG,即AC∥FG.因?yàn)锳C?平面DEF,FG?平面DEF,所以AC∥平面DEF.

(10分)(3)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AD∥BC,AD⊥AB.由(1)知,BE⊥平面ABCD,又AD?平面ABCD,所以BE⊥AD,因?yàn)锳B∩BE=B,所以AD⊥平面BEF.所以VD-BEF=

S△BEF·AD=

×

BE·AB·AD=

.

(14分)所以O(shè)為BD的中點(diǎn).945.(2017北京海淀二模,18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PC⊥平面ABCD,點(diǎn)E在

棱PA上.(1)求證:直線BD⊥平面PAC;(2)若PC∥平面BDE,求證:AE=EP;(3)是否存在點(diǎn)E,使得四面體A-BDE的體積等于四面體P-BDC的體積的

?若存在,求出

的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

5.(2017北京海淀二模,18)如圖,在四棱錐P-ABCD95解析(1)證明:因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥BD,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以BD⊥AC,因?yàn)镻C∩AC=C,PC、AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.(2)證明:設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,連接OE.

因?yàn)槠矫鍼AC∩平面BDE=OE,PC∥平面BDE,所以PC∥OE,由四邊形ABCD是菱形可知O為AC的中點(diǎn),所以,在△PAC中,

=

=1,解析(1)證明:因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥BD,96所以AE=EP.(3)存在.在△PAC中,過點(diǎn)E作EF∥PC,交AC于點(diǎn)F,

因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD,由四邊形ABCD是菱形可知S△ABD=S△BDC,因?yàn)閂A-BDE=

VP-BDC,即VE-BDA=

VP-BDC,所以EF=

PC,所以在△PAC中,

=

=

,所以

=

.所以AE=EP.976.(2016北京東城二模,17)在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°.平面ACEF⊥平

面ABCD,四邊形ACEF是矩形,AF=a,點(diǎn)M在線段EF上.

(1)求證:BC⊥AM;(2)試問當(dāng)AM為何值時(shí),AM∥平面BDE?證明你的結(jié)論;(3)求三棱錐A-BFD的體積.6.(2016北京東城二模,17)在梯形ABCD中,AB∥C98解析(1)證明:因?yàn)锳D=BC,所以梯形ABCD為等腰梯形,易知AB=2a,AC=

a,由AB2=BC2+AC2,可知AC⊥BC,又因?yàn)槠矫鍭CEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面ACEF.又AM?平面ACEF,所以BC⊥AM.(2)當(dāng)AM=

a時(shí),AM∥平面BDE.證明如下:因?yàn)樗倪呅蜛CEF是矩形,所以AC=EF=

a,又AM=

a,所以FM=

a,故EM=

a.在梯形ABCD中,設(shè)AC∩BD=N,連接EN,因?yàn)锳B∥CD,所以△CND∽△ANB,所以CN∶NA=CD∶AB=1∶2,所以AN=

a,所以EM=AN.解析(1)證明:因?yàn)锳D=BC,所以梯形ABCD為等腰梯形99又EM∥AN,所以四邊形A