二次函數(shù)幾種解析式求法

二次函數(shù)幾種剖析式求法二次函數(shù)幾種剖析式求法二次函數(shù)幾種剖析式求法二次函數(shù)的剖析式求法求二次函數(shù)的剖析式這類題涉及面廣，靈便性大，技巧性強(qiáng)，筆者結(jié)合近幾年來的中考試題，總結(jié)出幾種剖析式的求法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參照。一、三點(diǎn)型例已知一個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過（-1，10）、（2，7）和（1，4）三點(diǎn)，那么這個(gè)函1數(shù)的剖析式是_______。2剖析

已知二次函數(shù)圖象上的三個(gè)點(diǎn)，可設(shè)其剖析式為

y=ax+bx+c,

將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，易得a=2,b=-3,c=5。故所求函數(shù)剖析式為y=2x2-3x+5.這類方法是將坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c后，把問題概括為解一個(gè)三元一次方程組，求出待定系數(shù)a,b,c,進(jìn)而獲得剖析式y(tǒng)=ax2+bx+c.二、交點(diǎn)型2

2且與

例2x軸交于

已知拋物線y=-2xB（0，0）、C（

+8x-9的極點(diǎn)為A，若二次函數(shù)y=ax3，0）兩點(diǎn)，試求這個(gè)二次函數(shù)的剖析式。

+bx+c

的圖像經(jīng)過

A點(diǎn)，2剖析

要求的二次函數(shù)的圖象與

x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)

y=ax(x-3),

再求也

y=-2x

+8x-9

的1極點(diǎn)A（2，-1）。將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax(x-3),獲得a=211x23x∴y=2x(x-3),即y=22.三、極點(diǎn)型2例3已知拋物線y=ax+bx+c的極點(diǎn)是A(-1,4)且經(jīng)過點(diǎn)(1,2)求其剖析式。剖析此類題型可設(shè)極點(diǎn)坐標(biāo)為(m,k)，故剖析式為y=a(x-m)2+k.在本題中可設(shè)y=a(x+1)2+4.1再將點(diǎn)(1,2)代入求得a=-21y=-2

(x1)24,1x2x7即y=-22.由于題中只有一個(gè)待定的系數(shù)a，將已知點(diǎn)代入即可求出，進(jìn)而獲得要求的剖析式。四、平移型2例4二次函數(shù)y=x+bx+c的圖象向左平移兩個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得二次函yx22x1,數(shù)則b與c分別等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.剖析逆用平移分式，將函數(shù)y=x2-2x+1的極點(diǎn)（1，0）先向下平移3個(gè)單位，再向右平移兩個(gè)單位得原函數(shù)的圖象的極點(diǎn)為（3，-3）。2bxc(x3)23y=x=x26x6.b=-6,c=6.因此選（B）五、弦比型2例5已知二次函y=ax+bx+c為x=2時(shí)有最大值2，其圖象在X軸上截得的線段長(zhǎng)為2，求這個(gè)二次函數(shù)的剖析式。剖析弦長(zhǎng)型的問題有兩種思路，一是利用對(duì)稱性求出交點(diǎn)坐標(biāo)，二是用弦比公式d=a就本題而言，可由對(duì)稱性求得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），B（3，0）。再應(yīng)用交點(diǎn)式或極點(diǎn)式求得剖析式為y=-2x2+8x-6.六、識(shí)圖型1x2(b2)xc1x2(b2)xd例6如圖1，拋物線y=2與y=2其中一條的極點(diǎn)為P，另一條與X軸交于M、N兩點(diǎn)。（1）試判斷哪條拋物線與X軸交于M、N點(diǎn)？（2）求兩條拋物線的剖析式。1(b2)xcx2解（1）拋物線y=2與x軸交于M，N兩點(diǎn)（過程從略）；1x2(b2)xd（2）因y=2的極點(diǎn)坐標(biāo)為（，），01∴b-2=0,d=1,∴b=2.x21∴Y=2.1x將點(diǎn)N的坐標(biāo)與b=2分別代入y=2

2+(b+2)x+c得c=6.x2∴y=2+4x+6七、面積型例7已知拋物線y=x2bxc的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，且拋物線與y軸交于Q（0，-3），與x軸的交點(diǎn)為A、B，極點(diǎn)為P，PAB的面積為8。求其剖析式。解將（0，-3）代入y=x2bxc得c=-3.由弦長(zhǎng)公式，得ABb21212b2點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4由面積公式，得1b21212b28.24解得b2.因?qū)ΨQ軸在y軸的右側(cè),∴b=-2.因此剖析式為y=x22x3八、幾何型例8已知二次函數(shù)y=x2-mx+2m-4若是拋物線與x軸訂交的兩個(gè)交點(diǎn)以及拋物線的極點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，求其剖析式。解由弦比公式，得AB=m24(2m4)m4(m4)2極點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-4∵ΔABC為等邊三角形(m4)213m4∴423,解得m=42故所求剖析式為y=x2(423)x443,或y=x2(423)x443九、三角型12例9已知拋物線

y=x

2

bxc的圖象經(jīng)過三點(diǎn)（

0，

25

）、（sinA

，

0）、（

sinB，

0）且A、B為直角三角形的兩個(gè)銳角，求其剖析式。解∵A+B=900，∴sinB=cosA.則由根與系數(shù)的關(guān)系，可得sinAcosAbsinAcosAc12將（0，25）代入剖析式，得1）2(2)2,得b2241,b725∴570,∵-b∴b=-5x27x因此剖析式為y=5十、綜合型

12.c=251225例10如圖2，已知拋物線x2pxq與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn)，y=-若∠ACB=900，且tg∠CAO-tg∠CBO=2，求其剖析式．解設(shè)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,x)xOAOB.x12,則q=(-x12AOC～COB，可得OC2=OA·OB，q2=q解得q1=1,q2=0（舍去），OCOC2又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得OAOB112XX即12x1+x2=-2x1x2即p=2p=2因此剖析式為y=-x2+2x+1函數(shù)及其圖象次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用用二次函數(shù)性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)二次函數(shù)剖析式二次函數(shù)剖析式測(cè)試與答案------------------------------------------------------------------------知拋物線y=ax2+bx+c如下圖，對(duì)稱軸是直線x=-1a.b.c.b2-4ac的符號(hào)，a-b+c＜o(jì);取何值時(shí)，y隨x值的增大而減小。由拋物線張口向上，得出a＞0，由拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(O，C)，而此點(diǎn)在x軸下方，得出c＜0，又=-1，在y軸左邊，得出b與a同號(hào)∴b＞0。x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即ax2+bc+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，∴b2-4ac＞0-1時(shí)，y=a-b+c＜0＜-1時(shí)，y隨x值的增大而減小。知y是x的二次函數(shù)，且其圖象在x軸上截得的線段AB長(zhǎng)4個(gè)單位，當(dāng)x=3時(shí)，y獲得最小值-2。(1)求(2)若此函數(shù)圖象上有一點(diǎn)P，使PAB的面積等于12個(gè)平方單位，求P點(diǎn)坐標(biāo)。已知可得拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3，依據(jù)拋物線的對(duì)稱性，又由拋物線在x軸上截得線段AB的長(zhǎng)是4(1，0)，(5,0)∵當(dāng)x=3時(shí)y獲得最小值-2.即拋物線極點(diǎn)為(3，-2).∴設(shè)二次函數(shù)分析式為2-2在x軸上截得線段AB的長(zhǎng)是4，∴圖象與x軸交于(1，0)和(5，0)兩點(diǎn)2-2=0∴a=次函數(shù)分析式為y=x2-3x+AB的面積為12個(gè)平方單位，｜AB｜=44×｜Py｜=12∴｜Py｜=6∴Pg=±6張口向上，函數(shù)值最小為-2，∴Py=-6應(yīng)舍去，∴Pg=6又點(diǎn)P在拋物線上，x2-3x+=7坐標(biāo)為(-1，6)或(7，6)題假如設(shè)圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1，x2，運(yùn)用公式｜x1-x2｜=，會(huì)拋物線的對(duì)稱性將線段長(zhǎng)的條件轉(zhuǎn)變成點(diǎn)的坐標(biāo)，比較簡(jiǎn)單。圖，矩形EFGH內(nèi)接于ABC。E、F在AC邊上H、G面積y(cm2)與矩形EFGH的寬x(cm)間的函數(shù)

分別在AB、BC邊上，AC=8cm,關(guān)系式，并回答當(dāng)矩形的寬

BD=6cm,設(shè)矩形的寬HEEFGH的多長(zhǎng)時(shí)，它的面積最邊形EFGH是矩形ACABC∽HBGHG于M與BM分別是ABC和HBG的高?！蜛C,HE=x,BM=6-x,矩形EFGH=HE*HG*得y=-x2+8x6變量x的取值范圍是0＜x＜6的系數(shù)為-＜0，有最大值-=3時(shí)，==12值求函數(shù)的分析式為y=-

x

2

+8x(0

＜x＜

6)

，當(dāng)它的寬為

3cm

時(shí)，矩形

EF為

12cm

2。2

2二次函數(shù)

的圖象的對(duì)稱軸為直

線

，圖象與

y軸訂交

于點(diǎn)

B，設(shè)

x1,x2

是方程

ax+bx-5=0

的二次函數(shù)的剖析式原點(diǎn)O到直線

AB的距離)如圖=3∴-=6+x2=-=6知，有x12+x22=26，+x2)2-2x1x2=26)2+=26,a=-1析式為y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4OB=5,OC=4,AC=3=3==5OB為等腰三角形，作OD⊥AB于D，=,O到直線AB的距離為同步測(cè)試：P(3m-p,1-m)是第三象限的整數(shù)點(diǎn)，那么P點(diǎn)坐標(biāo)是( )，-1)(B)(-3，-1)(C)(-3，-2)(D)(-4，-2)(a,b)在第二、四象限兩軸夾角均分線上，則

a與

b的關(guān)系是

( )B)a=-b(C)a=｜b｜(D)｜a｜=b,y)在第二象限，且｜x｜=2，｜y｜=3,則點(diǎn)P對(duì)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為( )3)(B)(2，-3)(C)(-2，-3)(D)(2，3)=中，自變量x的取值范圍是( )(B)x＜2(C)x≠2(D)x＞2=中，自變量x的取值范圍是( )x≠1(B)x≥-2且x≠1x≠±1(D)x≥-2或x≠±1數(shù)中，成正比率函數(shù)關(guān)系的是( )面積與它的周長(zhǎng)面積是定值，矩形的長(zhǎng)與寬形面積與它的邊長(zhǎng)邊一準(zhǔn)時(shí)，三角形面積與底邊上的高=k(x-1)與y=(k＜o(jì))在同一坐標(biāo)系下的圖象大概如圖( )線y=kx+b的圖象過二、三、四象限，那么( )b＞0(B)k＞0，b＜0，b＞0(D)k＜0，b＜0物線y=-+x-x2，以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是( )向上，極點(diǎn)坐標(biāo)是(，0)向下，極點(diǎn)坐標(biāo)是(，0)向下，極點(diǎn)坐標(biāo)是(-，)向上，極點(diǎn)坐標(biāo)是(-，-)＞0,b＜0則函數(shù)y=ax2+bx的圖象是下邊圖中的( )：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，則( )b＞0,c＞0,＜0b＞0,c＜0,＞0b＜0,c＜0,＞0b＜0,c＞0,＜0數(shù)y=2x2-4x-5的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位后，所獲得的函數(shù)圖象的分析式為( )+4x-8(B)y=2x2-8x+8+4x-2(D)y=2x2-8x-2，-5)到x軸的距離是____；到y(tǒng)軸的距離是____；到原點(diǎn)的距離是y=kx+b與直線y=-x平行，且經(jīng)過點(diǎn)(2，-3)，則k=__，在y軸上的函數(shù)的圖象經(jīng)過(1，-5)點(diǎn)且與y軸交于(0，-1)點(diǎn)，則一次函數(shù)的分析式為____.拋物線的極點(diǎn)為M(4，8)且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的剖析式為____.函y=x+分別與x軸，y軸交于點(diǎn)，若∠BAC為直角，求圖象過點(diǎn)C與點(diǎn)A的一次函數(shù)剖析式。如圖，在ABC中，AB=4，AC=6,D是AB邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，∠ADE=∠C,設(shè)DB=x,AE=y。y與x的函數(shù)關(guān)系式；這個(gè)函數(shù)圖象。角坐標(biāo)系xoy中，直線l過點(diǎn)(4，0)，且與x，y軸圍成的直角三角形面積為8，一個(gè)二次函