2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（原創(chuàng)）數(shù)學(xué)本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁，選擇題部分1至2頁；非選擇題部分3至4頁.滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.考生注意：1．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2．答題時(shí)，請按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.參考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互獨(dú)立，那么如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率臺體的體積公式其中分別表示臺體的上、下底面積，表示臺體的高柱體的體積公式其中表示柱體的底面積，表示柱體的高錐體的體積公式其中表示錐體的底面積，表示錐體的高球的表面積公式球的體積公式其中表示球的半徑選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合P=，，則PQ=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合交集定義求解.【詳解】故選：B【點(diǎn)睛】本題考查交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2.已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù)，則a=（）A.1 B.–1 C.2 D.–2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)列式求解即可.【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定目標(biāo)函數(shù)在何處能夠取得最大值和最小值從而確定目標(biāo)函數(shù)的取值范圍即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，z取得最小值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最小值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最小值為：且目標(biāo)函數(shù)沒有最大值.故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)b＜0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.4.函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[–π，π]的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先確定函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合函數(shù)在處的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，據(jù)此可知選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；且時(shí)，，據(jù)此可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)．5.某幾何體三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原原圖，然后根據(jù)柱體和錐體體積計(jì)算公式，計(jì)算出幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，且三棱錐的一個(gè)側(cè)面垂直于底面，且棱錐的高為1，棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2，所以幾何體的體積為：.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三視圖計(jì)算幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題.6.已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)結(jié)果判斷充分必要條件.【詳解】依題意是空間不過同一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)在同一平面時(shí)，可能，故不能得出兩兩相交.當(dāng)兩兩相交時(shí)，設(shè)，根據(jù)公理可知確定一個(gè)平面，而，根據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公理和公理的運(yùn)用，屬于中檔題.7.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6 C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)題意可得，，而，即可表示出題中，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷各等式是否成立．【詳解】對于A，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；對于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；對于C，，當(dāng)時(shí)，，C正確；對于D，，，．當(dāng)時(shí)，，∴即；當(dāng)時(shí)，，∴即，所以，D不正確．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.已知點(diǎn)O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上點(diǎn)，則|OP|=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，點(diǎn)既在雙曲線的一支上，又在函數(shù)的圖象上，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到的值．【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，，即雙曲線的右支方程為，而點(diǎn)還在函數(shù)的圖象上，所以，由，解得，即．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及二次曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9.已知a，bR且ab≠0，對于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則（）A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0【答案】C【解析】【分析】對分與兩種情況討論，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以且，設(shè)，則的零點(diǎn)為當(dāng)時(shí)，則，，要使，必有，且，即，且，所以；當(dāng)時(shí)，則，，要使，必有.綜上一定有.故選：C【點(diǎn)晴】本題主要考查三次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立問題，考查學(xué)生分類討論思想，是一道中檔題.10.設(shè)集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個(gè)元素，且S，T滿足：①對于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②對于任意x，yT，若x<y，則S；下列命題正確的是（）A.若S有4個(gè)元素，則S∪T有7個(gè)元素B.若S有4個(gè)元素，則S∪T有6個(gè)元素C.若S有3個(gè)元素，則S∪T有5個(gè)元素D.若S有3個(gè)元素，則S∪T有4個(gè)元素【答案】A【解析】【分析】分別給出具體的集合S和集合T，利用排除法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后證明剩余選項(xiàng)的正確性即可.【詳解】首先利用排除法：若取，則，此時(shí)，包含4個(gè)元素，排除選項(xiàng)C；若取，則，此時(shí)，包含5個(gè)元素，排除選項(xiàng)D；若取，則，此時(shí)，包含7個(gè)元素，排除選項(xiàng)B；下面來說明選項(xiàng)A的正確性：設(shè)集合，且，，則，且，則，同理，，，，，若，則，則，故即，又，故，所以，故，此時(shí)，故，矛盾，舍.若，則，故即，又，故，所以，故，此時(shí).若，則，故，故，即，故，此時(shí)即中有7個(gè)元素.故A正確.故選：A.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，共36分.多空題每小題6分，單空題每小題4分.11.我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前3項(xiàng)和是________．【答案】【解析】分析】根據(jù)通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的前三項(xiàng)，即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以．即．故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列中的項(xiàng)并求和，屬于容易題．12.設(shè)，則________；________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】的通項(xiàng)為，令，則，故；.故答案為：；.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.13.已知，則________；______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根據(jù)兩角差正切公式得【詳解】，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14.已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為2π，且它的側(cè)面積展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：）是_______．【答案】【解析】【分析】利用題目所給圓錐側(cè)面展開圖的條件列方程組，由此求得底面半徑.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開圖有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)直線與圓和圓均相切，則_______；b=______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由直線與兩圓相切建立關(guān)于k，b的方程組，解方程組即可.【詳解】設(shè)，，由題意，到直線的距離等于半徑，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案為：【點(diǎn)晴】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.16.盒子里有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則_______；______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】先確定對應(yīng)事件，再求對應(yīng)概率得結(jié)果；第二空，先確定隨機(jī)變量，再求對應(yīng)概率，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以，隨機(jī)變量，，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、數(shù)學(xué)期望，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.17.設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的平方等于復(fù)數(shù)的平方化簡條件得，再根據(jù)向量夾角公式求函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.【詳解】，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大??；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（I）首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定∠B的大??；（II）結(jié)合(1)的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡為只含有∠A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定∠A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】（I）由結(jié)合正弦定理可得：△ABC為銳角三角形，故.（II）結(jié)合(1)的結(jié)論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求最值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.19.如圖，三棱臺ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）證明：EF⊥DB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．【答案】（I）證明見解析；（II）【解析】【分析】（I）作交于，連接，由題意可知平面，即有，根據(jù)勾股定理可證得，又，可得，，即得平面，即證得；（II）由，所以與平面所成角即為與平面所成角，作于，連接，即可知即為所求角，再解三角形即可求出與平面所成角的正弦值．【詳解】（Ⅰ）作交于，連接．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，而平面，即有．∵，∴．在中，，即有，∴．由棱臺的定義可知，，所以，，而，∴平面，而平面，∴．（Ⅱ）因?yàn)?，所以與平面所成角即為與平面所成角．作于，連接，由（1）可知，平面，因?yàn)樗云矫嫫矫?，而平面平面，平面，∴平面．即在平面?nèi)的射影為，即為所求角．在中，設(shè)，則，，∴．故與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成的角的求法，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20.已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．【答案】（I）；（II）證明見解析.【解析】【分析】（I）根據(jù)，求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（II）利用累乘法求得數(shù)列的表達(dá)式，結(jié)合裂項(xiàng)求和法證得不等式成立.【詳解】（I）依題意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.所以（）.所以，又，符合，故.（II）依題意設(shè)，由于，所以，故.又，而，故所以.由于，所以，所以.即，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法、累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題.21.如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分