數(shù)學(xué)建模投資收益和風(fēng)險(xiǎn)的模型0001

投資收益和風(fēng)險(xiǎn)的模型摘要在現(xiàn)代商業(yè)、金融的投資中，任何理性的投資者總是希望收益能夠取得最大化，但是他也面臨著不確定性和不確定性所引致的風(fēng)險(xiǎn)。而且，大的收益總是伴隨著高的風(fēng)險(xiǎn)。在有很多種資產(chǎn)可供選擇，又有很多投資方案的情況下，投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)就越小。為了同時(shí)兼顧收益和風(fēng)險(xiǎn)，追求大的收益和小的風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)成一個(gè)兩目標(biāo)決策問題，依據(jù)決策者對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)的理解和偏好將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)最優(yōu)化問題求解。隨著投資者對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)的日益關(guān)注,如何選擇較好的投資組合方案是提高投資效益的根本保證。傳統(tǒng)的投資組合遵循“不要將所有的雞蛋放在一個(gè)藍(lán)子里”的原則，將投資分散化。一問題的提出某公司有數(shù)額為M（較大）的資金，可用作一個(gè)時(shí)期的投資，市場上現(xiàn)有5種資產(chǎn)（5）（如債券、股票等）可以作為被選的投資項(xiàng)目，投資者對(duì)這五種資產(chǎn)進(jìn)行評(píng)估，估算出在這一段時(shí)期內(nèi)購買S,的期望收益率（,）、交易費(fèi)率（匕）、風(fēng)險(xiǎn)損失率（％）以及同期銀行存款利率（=3%）在投資的這一時(shí)期內(nèi)為定值如表1，不受意外因素影響，而凈收益和總體風(fēng)險(xiǎn)只受r,,p,%影響，不受其他因素干擾?，F(xiàn)要設(shè)計(jì)出一種投資組合方案，使凈收益盡可能大，風(fēng)險(xiǎn)盡可能小.表1投資項(xiàng)目si期望收益率r（%）i風(fēng)險(xiǎn)損失率q（%）i交易費(fèi)率p（%）i存銀行s0300272.41221.62255.24.5232.26.5211.52其中,0,1,2,3,4,5.二問題假設(shè)及符號(hào)說明問題假設(shè)⑴總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資的這五種中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量；⑵在投資中，不考慮通貨膨脹因素，因此所給的s,的期望收益率r為實(shí)際的平均收益率;

⑶不考慮系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，即整個(gè)資本市場整體性風(fēng)險(xiǎn)，它依賴于整個(gè)經(jīng)濟(jì)的運(yùn)行情況，投資者無法分散這種風(fēng)險(xiǎn)，而只考慮非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，即投資者通過投資種類的選擇使風(fēng)險(xiǎn)有所分散；(4)不考慮投資者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的心理承受能力。符號(hào)說明X.：購買第f種資產(chǎn)的資金數(shù)額占資金總額的百分比；Mx:購買第i種資產(chǎn)的資金數(shù)額； Mx：存銀行的金額;R:凈收益;f(x):交易費(fèi)用;R:凈收益;。：總體風(fēng)險(xiǎn);。：總體風(fēng)險(xiǎn);P.:第i種投資的凈收益率。三模型的分析與建立令交易費(fèi)用則凈收益為總體風(fēng)險(xiǎn)為約束條件為可以簡化約束條件為同時(shí)將M=M￡(1+p)x代入，得i=0略去M,原問題化為雙目標(biāo)決策問題:(3.1)minQ=maxxq(3.1)04V51'以下設(shè)r-p>0，否則不對(duì)該資產(chǎn)投資。四模型的求解4.1固定R使Q最小的模型固定R使Q最小，將模型(3.1)化為minQ=maxqx0<i<5'1￡(r-p)x=R,(1)i=0

i=0￡(1+￡(1+p)x=1,⑵(4.1)iii=0,1,L,5此模型又可改寫為

令p,=（r-pi）/（1+p）,pi表示第i種投資的凈收益率，則pi必大于p0，否則，若匕<po,則不對(duì)Si投資，因?yàn)閷?duì)該項(xiàng)目投資純收益率不如存銀行，而風(fēng)險(xiǎn)損失率又大于存銀行。將pi從小到大排序，設(shè)pk最大，則易見對(duì)模型（4.1）的可行解必有0.03<R<pk.當(dāng)R=0.03時(shí)，所有資金都存銀行，Q=0;當(dāng)R=pk時(shí)，所有資金用于購買S,,Q=-q-；當(dāng)0.03<R<p時(shí)，有如下結(jié)論⑺。+p kk結(jié)論：若0.03<R<pk,（x0,XjL,x5）是模型（3.2.2）的最優(yōu)解，則苧1=L=x5q§⑺。而對(duì)于固定收益使風(fēng)險(xiǎn)最小的模型來說，這結(jié)論也可換句話說：在前5項(xiàng)投資總額一定的前提下，各項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)損失相等即\%=x2q2=L=x5q§時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)最?、獭ＷC：設(shè)y,y,L,y5是滿足xq-xq=L=x5q5的一組解，即yq=yq=L=yq=Q*。顯然此時(shí)Q*為總體風(fēng)險(xiǎn)。由于前5項(xiàng)投資總額M是一定的，只要改變其中一項(xiàng)的值，便會(huì)導(dǎo)致總體風(fēng)險(xiǎn)增加。（比如說將y1的值增加為y1*會(huì)使得y1*q1>Q*，總體風(fēng)險(xiǎn)顯然增加；反之，若減小八的值，必然會(huì)導(dǎo)致另外一項(xiàng)或幾項(xiàng)的值，總體風(fēng)險(xiǎn)自然增加。）因此，當(dāng)Rg（0.03,pk）時(shí)，可按以下步驟求出最優(yōu)解：1）將（1）式和（2）式消去x0；2）將xi=Qi代入解出Q；3）由x-Q，1<i<5，x-1—￡（1+p）x求出最優(yōu)解。iq 0 iii i-1所以，我們算得如下結(jié)果：R=0.03時(shí)，x=1,x-x-x-x-x=0,Q-0；（2）（3）R-0.26/1.01時(shí)，x（2）（3）R-0.26/1.01時(shí)，x0-x2-x3-x4-x5-0,x1-1/1.01,Q-0,024/1.01；Rg(0.03,0.26/1.01)時(shí)，Q-Rj*；,x1R—0.03 ，x0.9641 2R—0.030.6428R—0.03 ，2.0889R—0.03 ，0.8838x-R―0.03，x-1-1.01x-1.02x-1.045x-1.065x-R—0.03 ，0.88385 0.6026 0 1 2 3 4 5事實(shí)上應(yīng)用Lingo軟件可算得如下結(jié)果:表1最小風(fēng) 投資S的資金百分比x （i-0,1,2,3,4,5.）收益R險(xiǎn)廣Q i i

0.03000.00001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.04000.00020.93970.01040.01560.00480.01130.01660.05000.00050.87930.02070.03110.00960.02260.03320.06000.00070.81900.03110.04670.01440.03390.04980.07000.00100.75870.04150.06220.01910.04530.06640.08000.00120.69840.05190.07780.02390.05660.08300.09000.00150.63800.06220.09330.02870.06790.09960.10000.00170.57770.07260.10890.03350.07920.11620.11000.00200.51740.08300.12450.03830.09050.13280.12000.00220.45710.09330.14000.04310.10180.14940.13000.00250.39670.10370.15560.04790.11310.16600.14000.00270.33640.11410.17110.05270.12450.18250.15000.00300.27610.12450.18670.05740.13580.19910.16000.00320.21580.13480.20230.06220.14710.21570.17000.00350.15540.14520.21780.06700.15840.23230.18000.00370.09510.15560.23340.07180.16970.24890.19000.00400.03480.16600.24890.07660.18100.26550.20000.00460.00000.18970.28460.08760.10970.30360.21000.00620.00000.25890.38840.11950.00000.21320.22000.00930.00000.38580.41600.17810.00000.00000.23000.01310.00000.54710.18000.25250.00000.00000.24000.01700.00000.70840.00000.27220.00000.00000.25000.02090.00000.87010.00000.11600.00000.00000.26/1.010.02380.00000.99010.00000.00000.00000.00004.2固定Q使R最大的模型固定Q使R最大，將模型(3.2.1)化為maxR=25(r-p)x,i=0‘J",s.t.|2(1+p)x=1, (3.2.3)i=0^x>0,(i=0,1,L,5.)

對(duì)于每一個(gè)Q,用模型(3.2.3)都能求出R,由凈收益率pi=(r「pi)/(1+p),直觀上想到pi越大，、應(yīng)盡量大,這種想法是正確的,可將其寫為如下結(jié)論。結(jié)論［7］設(shè)(%,\,L,x5)是模型(3.2.3)的最優(yōu)解，若pi>pj,%」>0，則xi=Q/q,。證明：反證法。假設(shè)pi>p」,Xj>0，而x<Q/qi。選取充分小的正數(shù)￡，使得(Xi+e)q<Q，e(1+p)<x(1+p)。令x.*=x.+e，x.*=x-￡(1+p)/(1+p)，當(dāng)k中i,j時(shí)，令x*=x，則x*>0,且2x2x*(1+p)-k kk-o2x*(1+p)+(x+e)(1+p)+[xk ki ijk豐i1,j_￡(1+pi)/(1+p)](1+p)=12x*(r一p)=2x*(r一p)+(x+￡)(r-p)+[x-￡(1+p)/(1+p)](r一p)>2x(r一p)。則kkk kkki iij i jjj kkkk-0 k豐i,j k=0(x0*,x1*,L,x5*)才是最優(yōu)解，因此(x0,x『L,x5)不是模型(3.2.3)的最優(yōu)解。此處矛盾，則結(jié)論成立，證畢。由此結(jié)論，我們可將pi從大到小排序，使pi最大的k應(yīng)盡量滿足xkqk-Q,若還有多余資金,再投資p次大的，LL。對(duì)于不同的Q，會(huì)有不同的投資方案，我們可以算出Q的臨界值，從而確i定各項(xiàng)目的投資值。因此，設(shè)p1>p2>p3>p4>p5>p0,則可用下面的方法算出各臨界值Cjc/;，cc。只有一種投資時(shí),C](1+p1)=q1，C]=qj(1+p1)=0.023762。當(dāng)有兩種投資時(shí)，將\=cJq,x2-c2/q2，代入xJ1+pj+x2(1+p2)=1，得c2=qqJ[(1+p1)q2+(1+pJqJ=0.009449。同理可得：c=qqq/[(1+p)qq+(1+p)qq+(1+p)qq]=0.007941，于是得最優(yōu)解：當(dāng)Q=0.000000時(shí)，x=1,x=x=x=x=x=0。當(dāng)0<Q<0.004131時(shí)，x1=QZ，x2=Qq2，x3=Q/q3，x4=Qq4,x5=Qq5,"0=1二(1+P)%。i=1當(dāng)0.004131<Q<0.005736時(shí)，X1=X1=Q”,X2-Qq2,X3-Qq3,X4-QqX=[1-X(1+p)X],(1+p),X=0。4,5 iii—1當(dāng)0.005736<Q<0.007941時(shí)，X1X1=QqX2=Qq2,X3=Qq,X=[1-2(1+p)X]..'(1+p),X當(dāng)0.007941<Q<0.009449時(shí)，X]=Qjq、,x2=Qjq,X=[1-2(1+pX]=Qjq、,x2=Qjq當(dāng)0.009449<Q<0.023762時(shí)，x—Q/q,x—[1-(1+p)x]/(1+p),x—x—x—x—0。當(dāng)Q>0.023762時(shí)，X—1/（1+p）,X—X—X—X—X—0。當(dāng)然，我們也可以換個(gè)角度來考慮上面這個(gè)模型。為了能夠給不同風(fēng)險(xiǎn)承受能力的投資者提供某種風(fēng)險(xiǎn)水平下的最優(yōu)投資組合的決策方案，我們必須確定最優(yōu)收益值R和最小風(fēng)險(xiǎn)度Q的值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，我們將模型（3.2.3）改寫成如下形式:)x+L+G-pmaxR—(r-p)x+)x+L+G-p為此編寫MATLAB程序（見附錄），從風(fēng)險(xiǎn)度Q—0開始，以每次增加0.001的風(fēng)險(xiǎn)度進(jìn)行搜索⑸根據(jù)附錄中程序一，最優(yōu)收益值R和最小風(fēng)險(xiǎn)度Q以及投資額分配之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系計(jì)算結(jié)果列表如下:風(fēng)險(xiǎn)度Q最優(yōu)收益投資si的資金百分比x. ii―0,1,2,3,4,5.)R00.03001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00100.07020.75770.04170.06250.01920.04550.06670.00200.11030.51530.08330.12500.03850.09090.13330.00300.15050.27300.12500.18750.05770.13640.20000.00400.19070.03060.16670.25000.07690.18180.2667

0.00500.20440.00000.20830.31250.09620.02850.33330.00600.20920.00000.25000.37500.11540.00000.23960.00700.21300.00000.29170.43750.13460.00000.11620.00800.21670.00000.33330.49270.15380.00000.00000.00900.21930.00000.37500.43170.17310.00000.00000.01000.22190.00000.41670.37080.19230.00000.00000.01100.22450.00000.45830.52660.00000.00000.00000.01200.22710.00000.50000.24890.23080.00000.00000.01300.22970.00000.54170.18790.25000.00000.00000.01400.23220.00000.58330.12690.26920.00000.00000.01500.23480.00000.62500.06600.28850.00000.00000.01600.23740.00000.66670.00510.30770.00000.00000.01700.24000.00000.70830.00000.27230.00000.00000.01800.24260.00000.75000.00000.23210.00000.00000.01900.24510.00000.79170.00000.19180.00000.00000.02000.24770.00000.83330.00000.15150.00000.00000.02100.25030.00000.87500.00000.11120.00000.00000.02200.25290.00000.91670.00000.07100.00000.00000.02300.25550.00000.95830.00000.03070.00000.00000.02400.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.02500.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.09900.25740.00000.99010.00000.00000.00000.0000從上表可以看出，風(fēng)險(xiǎn)越大，收益也越大，冒險(xiǎn)的投資者可能會(huì)集中投資，而保守的投資著者則會(huì)盡量分散投資。但是，在風(fēng)險(xiǎn)度Q從0.0000增長到0.0080過程中，風(fēng)險(xiǎn)增加很少時(shí)，收益增加也很快，而風(fēng)險(xiǎn)度Q在0.0080之后，風(fēng)險(xiǎn)增加很大時(shí)而收益卻增加的很緩慢。由于在風(fēng)險(xiǎn)度Q從0.0240之后，最優(yōu)收益尺已經(jīng)達(dá)到最大，不再增加，所以對(duì)于一般投資者來說，選擇Q=0.0240,R=0.2574時(shí)的安排才為最優(yōu)投資組合方案。使R/Q最大或Q/R最小的模型按照收益一風(fēng)險(xiǎn)最大原則，可取模型maxR.Q，

由于q。=0，因而取同上，由于q°：0x=1,x=x=L=由于q。=0，因而取同上，由于q°：0minQ；R,因而取x0=1,\=x2=L=x5=0時(shí)，minQ/R=0,從而可知，全部錢存銀行是最優(yōu)解。對(duì)于此問題，其他投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)損失率都不影響該最優(yōu)解，故這種模型不夠好。偏好系數(shù)模型由偏好系數(shù)法，我們選取偏好系數(shù)M0<^<1）,建立模型max[（1-日）R一日y],具體數(shù)據(jù)可應(yīng)用參數(shù)規(guī)劃法進(jìn)行計(jì)算。權(quán)重r[0,0.7200]最小風(fēng)投資S.的資金百分比x^ (i=0,1,2,3,4,5)險(xiǎn)度Q0.02380.00000.99010.00000.00000.00000.0000[0.7210,0.7920]0.00790.00000.33090.49630.15270.00000.0000[0.7930,0.9070]0.00520.00000.21490.32230.09920.00000.3438[0.9090,0.9750]0.00410.00000.17190.25790.07940.18760.2751[0.9760,1]0.00001.00000.00000.00000.00000.00000.0000附錄一模型一Lingo語句min=y;0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5=0.03;x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4+1.02*x5=1;0.024*x1<=y;0.016*x2<=y;0.052*x3<=y;0.022*x4<=y;0.015*x5<=y;模型一Matlab程序>>R=0.03>>whileR<0.26/1.01;C=[0000001];A=[00.0240000-1;000.016000-1;0000.05200-1;00000.0220-1;000000.015-1];B=[0;0;0;0;0];Aeq=[0.030.260.20.2050.1650.190;11.011.021.0451.0651.020];Beq=[R;1];Vlb=[0;0;0;0;0;0;0];%orVlb=zeros(7,1);Vub=[];[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);RQ=fvalx=xplot(R,Q,'m.')axis([00.300.03])xlabel('收益R')ylabel(,最小風(fēng)險(xiǎn)度Q,)title('最小風(fēng)險(xiǎn)度Q隨收益R的變化趨勢(shì)圖,)holdonR=R+0.01;gridonendR=0.26/1.01;C=[0000001];A=[00.0240000-1;000.016000-1;0000.05200-1;00000.0220-1;000000.015-1];B=[0;0;0;0;0];Aeq=[0.030.260.20.2050.1650.190;11.011.021.0451.0651.020];Beq=[R;1];Vlb=[0;0;0;0;0;0;0];%orVlb=zeros(7,1);Vub=[];[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub)程序二模型二Matlab程序>>Q=0>>while(1.1-Q)>1%orQ<0.1;C=[-0.03-0.26-0.20-0.205-0.165-0.19];A=[00.0240000;000.016000;0000.05200;00000.0220;000000.015];B=[Q;Q;Q;Q;Q];Aeq=[11.011.021.0451.0651.02];Beq=[1];Vlb=[0;0;0;0;0;0];%orVlb=zeros(5,1);Vub=[];[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);QR=-fvalx=xplot(Q,R,'m.')axis([00.100.5])xlabel('風(fēng)險(xiǎn)度Q')ylabel('最優(yōu)收益R,)title('最優(yōu)收益R隨風(fēng)險(xiǎn)度Q的變化趨勢(shì)圖')holdonQ=Q+0.001;gridonenda=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub二口；[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')axis([00.100.5])holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')模型三Lingo語句max[(1-日)R一日y