2021年高考理科數(shù)學(xué)(全國(guó)I卷)試題及答案

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)A．，則B．C．D．B．2．已知集合A．，則C．D．3．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半4．記A．為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若C．D．，，則B．5．設(shè)函數(shù)為.若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程A．B．C．D．6．在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則A．C．B．D．7．某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為A．C．B．D．8．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則A．B．C．B．D．9．已知函數(shù)A．.若存在2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是C．D．10．下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為，，，則A．B．C．D．11．已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若為直角三角形，則A．B．C．D．12．已知正方體的棱長(zhǎng)為，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足約束條件14．記的前n項(xiàng)和.若則的最大值為.為數(shù)列，則.15．從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有種.（用數(shù)字填寫答案）16．已知函數(shù)，則的最小值是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）在平面四邊形中，；，，，.（1）求（2）若，求.18．（12分）如圖，四邊形為正方形，，分別為，的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.19．（12分）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：20．（12分）.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為立.，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點(diǎn).（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.（?。┤舨粚?duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；（ⅱ）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系，曲線中，曲線的方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極的極坐標(biāo)方程為.（1）求（2）若的直角坐標(biāo)方程；與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求的方程.23．[選修4－5：不等式選講]（10分）已知.（1）當(dāng)（2）若時(shí)，求不等式的解集；時(shí)不等式成立，求的取值范圍.2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題1．C7．B2．B8．D3．A9．C4．B5．D6．A12．A10．A11．B二、填空題13．14．15．16．三、解答題17．解：（1）在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，所以.由題設(shè)知，所以.（2）由題設(shè)及（1）知，.在中，由余弦定理得所以.18．解：（1）由已知可得，，，所以平面平面.又平面，所以平面.（2）作，垂足為.由（1）得，的方向?yàn)閥軸正方向，平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）可得，.又，，所以.又，，故.可得則，.，,，，為平面的法向量.設(shè)與平面與平面所成角為，則.所以所成角的正弦值為.19．解：（1）由已知得，的方程為.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.所以AM的方程為或.（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為.，，，則，，直線MA，MB的斜率之和為.由將，得.代入得.所以，則..從而綜上，，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ).所以..20．解：（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為.因此.令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，.所以的最大值點(diǎn)為.（2）由（1）知，.（?。┝頨表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，即.所以.（ⅱ）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).21．解：（1）的定義域?yàn)椋?（?。┤?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若當(dāng)，令得，或.時(shí)，；在當(dāng)時(shí)，.所以，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).由于的兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，所以，不妨設(shè)，則.由于，所以等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，.所以，即.22．解：（1）由，得的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（1）知是圓心為/r