均值方差偏好下的投資組合選擇市公開課一等獎省賽課獲獎?wù)n件

CH12均值-方差偏好下投資組合選擇10/10/1均值方差偏好下的投資組合選擇第1頁本章教學(xué)目和要求1.了解和掌握投資組合理論中均值—方差分析假設(shè)條件及其與期望效用理論兼容性；2.掌握投資組合收益與風(fēng)險度量基本方法及其計算；3.掌握均值－方差模型描述構(gòu)建最優(yōu)投資組合技術(shù)路徑規(guī)范數(shù)理模型；4.掌握兩基金分離定理內(nèi)容及其經(jīng)濟學(xué)含義。10/10/2均值方差偏好下的投資組合選擇第2頁教學(xué)重點1.均值—方差分析方法合理性及其含義；2.選擇最優(yōu)投資組合數(shù)理方法及其中蘊涵多元化投資、風(fēng)險、收益間關(guān)系；3.掌握兩基金分離定理內(nèi)容及其經(jīng)濟學(xué)含義。10/10/3均值方差偏好下的投資組合選擇第3頁一、均值—方差分析假設(shè)條件（一）問題提出

1.前章對最優(yōu)投資組合分析是建立在普通期望效用理論基礎(chǔ)之上。在這種分析中，我們對經(jīng)濟主體效用函數(shù)和資產(chǎn)收益分布只做了普通性要求。其結(jié)論應(yīng)用范圍難以確定，也限制了期望效用理論在資產(chǎn)定價中應(yīng)用。2.Markowitz(1952)發(fā)展了一個在不確定條件下嚴(yán)格陳說可操作資產(chǎn)組合選擇理論：均值-方差方法Mean-Variancemethodology.10/10/4均值方差偏好下的投資組合選擇第4頁這一理論問世，使金融學(xué)開始擺脫了純粹描述性研究和單憑經(jīng)驗操作狀態(tài)，標(biāo)志著數(shù)量化方法進入金融領(lǐng)域。

馬科維茨工作所開始數(shù)量化分析和MM理論中無套利均衡思想相結(jié)合，醞釀了一系列金融學(xué)理論重大突破。正因為如此，馬科維茨取得了1990年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。

10/10/5均值方差偏好下的投資組合選擇第5頁

馬科維茨投資組合選擇理論基本思想為：投資組合是一個風(fēng)險與收益trade-off問題，另外投資組合經(jīng)過分散化投資來對沖掉一部分風(fēng)險?！皀othingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofrisktomaximizethereturn”——“Don’tputalleggsintoonebasket”10/10/6均值方差偏好下的投資組合選擇第6頁3.馬科維茨均值-方差組合理論基本內(nèi)容：在禁止融券和沒有沒有風(fēng)險借貸假設(shè)下，以資產(chǎn)組合中個別資產(chǎn)收益率均值和方差找出投資組合有效前沿(EfficientFrontier)，即一定收益率水平下方差最小投資組合，并導(dǎo)出投資者只在有效組合前沿上選擇投資組合。欲使投資組合風(fēng)險最小，除了多樣化投資于不一樣資產(chǎn)之外，還應(yīng)挑選相關(guān)系數(shù)較低資產(chǎn)。10/10/7均值方差偏好下的投資組合選擇第7頁4.均值-方差組合選擇實現(xiàn)方法：

（1）收益——證券組合期望酬勞（2）風(fēng)險——證券組合方差（3）風(fēng)險和收益權(quán)衡——求解二次規(guī)劃首先，投資組合兩個相關(guān)特征是：（1）它期望回報率（均值）（2）可能回報率圍繞其期望偏離程度某種度量，其中方差作為一個度量在分析上是最易于處理。10/10/8均值方差偏好下的投資組合選擇第8頁其次，理性投資者將選擇并持有有效率投資組合，即那些在給定風(fēng)險水平下期望回報最大化投資組合，或者那些在給定時望回報率水平上使風(fēng)險最小化投資組合。再次，經(jīng)過對某種資產(chǎn)期望回報率、回報率方差和某一資產(chǎn)與其它資產(chǎn)之間回報率相互關(guān)系（用協(xié)方差度量）這三類信息適當(dāng)分析，辨識出有效投資組合在理論上是可行。10/10/9均值方差偏好下的投資組合選擇第9頁

最終，經(jīng)過求解二次規(guī)劃，能夠算出有效投資組合集合，計算結(jié)果指明各種資產(chǎn)在投資者投資中所占份額，方便實現(xiàn)投資組合有效性——即對給定風(fēng)險使期望回報率最大化，或?qū)τ诮o定期望回報使風(fēng)險最小化。10/10/10均值方差偏好下的投資組合選擇第10頁5.馬科維茨均值-方差組合理論假設(shè)條件：（1）單期投資單期投資是指投資者在期初投資，在期末取得回報。單期模型是對現(xiàn)實一個近似描述，如對零息債券、歐式期權(quán)等投資。即使許多問題不是單期模型，但作為一個簡化，對單期模型分析成為我們對多期模型分析基礎(chǔ)。（2）投資者事先知道資產(chǎn)收益率概率分布，而且收益率滿足正態(tài)分布條件。

10/10/11均值方差偏好下的投資組合選擇第11頁（3）經(jīng)濟主體效用函數(shù)是二次，即。（4）經(jīng)濟主體以期望收益率（亦稱收益率均值）來衡量未來實際收益率總體水平，以收益率方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來衡量收益率不確定性（風(fēng)險），因而經(jīng)濟主體在決議中只關(guān)心資產(chǎn)期望收益率和方差。（5）經(jīng)濟主體都是非飽和和厭惡風(fēng)險，遵照占優(yōu)原則，即：在同一風(fēng)險水平下，選擇收益率較高證券；在同一收益率水平下，選擇風(fēng)險較低證券。

10/10/12均值方差偏好下的投資組合選擇第12頁

6.問題：為何在馬科維茨均值-方差分析中需要對效用函數(shù)和資產(chǎn)收益率分布作出限制？10/10/13均值方差偏好下的投資組合選擇第13頁（二）均值-方差分析不足

M-V模型以資產(chǎn)回報均值和方差作為選擇對象，但是普通而言，資產(chǎn)回報均值和方差不能完全包含個體資產(chǎn)選擇時全部個人期望效用函數(shù)信息。對于任意效用函數(shù)和資產(chǎn)收益分布，期望效用并不能僅僅用預(yù)期收益和方差這兩個元素來描述。10/10/14均值方差偏好下的投資組合選擇第14頁

例1:假設(shè)有兩個博彩L1和L2，其中：L1=[0.75；10，100]，L2=[0.99；22.727，1000]E（R1）=32.5E（R2）=32.5Var（R1）=1518.75Var（R2）=9455.11顯然，L2風(fēng)險比L1大。10/10/15均值方差偏好下的投資組合選擇第15頁

考慮一個效用函數(shù)為，顯然，該個體為風(fēng)險厭惡者，其在兩個博彩中期望效用分別為：Eu(R1)=4.872Eu(R2)=5.036即該風(fēng)險厭惡者在預(yù)期收益相等兩個博彩中，方差較大博彩取得期望效用較高。10/10/16均值方差偏好下的投資組合選擇第16頁

普通地，假設(shè)經(jīng)濟主體在未來全部收益或財富是一個隨機變量，關(guān)于這個未來財富變量效用函數(shù)能夠通過泰勒展開式在經(jīng)濟行為主體對于這個隨機變量預(yù)期值周圍展開。即

10/10/17均值方差偏好下的投資組合選擇第17頁兩邊取期望值后得到：

顯然，對于含有嚴(yán)格凹遞增效用函數(shù)經(jīng)濟主體而言，其評價風(fēng)險資產(chǎn)效用不能僅僅只考慮其期望收益率和方差，因為三階以上中心矩E（R3）也影響其期望收益。10/10/18均值方差偏好下的投資組合選擇第18頁不過，假如財富高階矩為0或者財富高階矩可用財富期望和方差來表示，則期望效用函數(shù)就僅僅是財富期望和方差函數(shù)。10/10/19均值方差偏好下的投資組合選擇第19頁（三）均值—方差分析基本假設(shè)

定理一：在經(jīng)濟主體未來收益或財富為任意分布情況下，假如經(jīng)濟主體效用函數(shù)為二次效用函數(shù)那么，期望效用僅僅是財富期望和方差函數(shù)。證實：P18010/10/20均值方差偏好下的投資組合選擇第20頁

定理二：在經(jīng)濟主體偏好為任意偏好情況下，假如資產(chǎn)收益分布服從正態(tài)分布，則期望效用函數(shù)僅僅是財富期望和方差函數(shù)。在收益分布為正態(tài)分布情況下，上述展開式中，三階以上中心矩中，奇數(shù)項為零，偶數(shù)階中心矩可寫成均值和方差函數(shù)。10/10/21均值方差偏好下的投資組合選擇第21頁（三）二次效用函數(shù)與收益正態(tài)分布假設(shè)不足1.二次效用函數(shù)不足二次效用函數(shù)含有遞增絕對風(fēng)險厭惡和滿足性兩個性質(zhì)。滿足性意味著在滿足點以上，財富增加使效用減少，遞增絕對風(fēng)險厭惡意味著風(fēng)險資產(chǎn)是劣質(zhì)品。這與那些偏好更多財富和將風(fēng)險視為正常商品投資者不符。所以在二次效用函數(shù)中，我們需要對參數(shù)b取值范圍加以限制。10/10/22均值方差偏好下的投資組合選擇第22頁

2.收益正態(tài)分布不足（1）資產(chǎn)收益正態(tài)分布假設(shè)與現(xiàn)實中資產(chǎn)收益往往偏向正值相矛盾。收益正態(tài)分布意味著資產(chǎn)收益率可取負(fù)值，但這與有限責(zé)任經(jīng)濟標(biāo)準(zhǔn)相悖（如股票價格不能為負(fù)）。（2）對于密度函數(shù)分布而言，均值-方差分析沒有考慮其偏斜度。概率論中用三階矩表示偏斜度，它描述分布對稱性和相對于均值而言隨機變量落在其左或其右大致趨勢。顯然，正態(tài)分布下均值-方差分析不能做到這一點。10/10/23均值方差偏好下的投資組合選擇第23頁（3）用均值-方差無法刻畫函數(shù)分布中峭度。概率論中用四階矩表示峭度。但這一點在正態(tài)分布中不能表示。實際經(jīng)驗統(tǒng)計表明，資產(chǎn)回報往往含有“尖峰”“胖尾”特征。這顯然不符合正態(tài)分布。10/10/24均值方差偏好下的投資組合選擇第24頁

盡管均值-方差分析存在缺點，且只有在嚴(yán)格假設(shè)條件下才能夠與期望效用函數(shù)分析兼容，但因為其分析上靈活性，相對便利實證檢驗以及簡練預(yù)測功效，使其成為廣泛利用金融和財務(wù)分析伎倆。10/10/25均值方差偏好下的投資組合選擇第25頁二、資產(chǎn)組合收益與風(fēng)險度量及分散化效應(yīng)（一）先行案例

A企業(yè)股票價值對糖價格很敏感。多年以來，當(dāng)當(dāng)?shù)靥钱a(chǎn)量下降時，糖價格便猛漲，而A企業(yè)便會遭受巨大損失。該企業(yè)股票收益率在不一樣情況下情況如下：A企業(yè)股票收益10.5%，標(biāo)準(zhǔn)差為18.9%。糖生產(chǎn)正常年份異常年份股市牛市股市熊市糖生產(chǎn)危機概率0.50.30.2收益率%2510-2510/10/26均值方差偏好下的投資組合選擇第26頁

假定某投資者考慮以下幾個可供選擇資產(chǎn)，一個是持有A企業(yè)股票，一個是購置無風(fēng)險資產(chǎn)，還有一個是持有糖業(yè)企業(yè)B股票?，F(xiàn)已知投資者持有50%A企業(yè)股票，另外50%在無風(fēng)險資產(chǎn)和持有糖業(yè)企業(yè)股票之間進行選擇。無風(fēng)險資產(chǎn)收益率為5%。糖業(yè)企業(yè)B股票收益率改變以下：10/10/27均值方差偏好下的投資組合選擇第27頁B企業(yè)股票收益為6%，標(biāo)準(zhǔn)差為14.43%糖生產(chǎn)正常年份異常年份股市牛市股市熊市糖生產(chǎn)危機概率0.50.30.2收益率%1-53510/10/28均值方差偏好下的投資組合選擇第28頁E(rArB)25%×1%10%×（－5%）35%×（－25%）0.50.30.210/10/29均值方差偏好下的投資組合選擇第29頁投資者不一樣投資策略下期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差：

資產(chǎn)組合預(yù)期收益率%標(biāo)準(zhǔn)差(%)全部投資在于A企業(yè)股票10.518.90組合一：A企業(yè)股票和無風(fēng)險資產(chǎn)各投資50%7.759.45組合二：A企業(yè)和B企業(yè)股票各投資50%8.254.5910/10/30均值方差偏好下的投資組合選擇第30頁（二）資產(chǎn)期望收益（均值）（1）單一資產(chǎn)期望收益在任何情況下，資產(chǎn)均值或期望收益是其收益概率加權(quán)平均值。Pr(s)表示s狀態(tài)下概率，r(s)為該狀態(tài)下收益率，則期望收益E(r)為

在上例中，我們能夠算出投資于A企業(yè)股票期望收益率為10.5%。10/10/31均值方差偏好下的投資組合選擇第31頁2.資產(chǎn)組合期望收益（均值）

資產(chǎn)組合期望收益是組成組合每一資產(chǎn)收益率加權(quán)平均，以組成百分比為權(quán)重.每一資產(chǎn)對組合預(yù)期收益率貢獻依賴于它預(yù)期收益率，以及它在組合初始價值中所占份額，而與其它一切無關(guān)。上例中第一個投資組合收益率為7.75%，第二種投資組合收益率為8.25%.10/10/32均值方差偏好下的投資組合選擇第32頁

假定市場上有資產(chǎn)1，2，，N。資產(chǎn)i期望收益率為，方差為i，資產(chǎn)i與資產(chǎn)j協(xié)方差為ij（或相關(guān)系數(shù)為ij）（i=1，2，，n，j=1，2，，m）投資者投資組合為：投資于資產(chǎn)i百分比為，i=1，2，，N，則資產(chǎn)組合期望收益為10/10/33均值方差偏好下的投資組合選擇第33頁

（三）資產(chǎn)方差1.單一資產(chǎn)方差

資產(chǎn)收益方差是期望收益偏差平方期望值：在上例中，A企業(yè)股票收益方差為357.25/W，標(biāo)準(zhǔn)差為18.9%。B企業(yè)股票收益率標(biāo)準(zhǔn)差為14.73%.10/10/34均值方差偏好下的投資組合選擇第34頁2.資產(chǎn)組合方差（1）兩資產(chǎn)組合收益率方差方差分別為與兩個資產(chǎn)以W1與W2權(quán)重組成一個資產(chǎn)組合方差為，假如一個無風(fēng)險資產(chǎn)與一個風(fēng)險資產(chǎn)組成組合，則該組合標(biāo)準(zhǔn)差等于風(fēng)險資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差乘以該組合投資于這部分風(fēng)險資產(chǎn)百分比。

10/10/35均值方差偏好下的投資組合選擇第35頁

在上例中投資組合1標(biāo)準(zhǔn)差為9.45%，投資組合2方差為21.1/W，標(biāo)準(zhǔn)差為4.59%。10/10/36均值方差偏好下的投資組合選擇第36頁（2）多資產(chǎn)組合方差

10/10/37均值方差偏好下的投資組合選擇第37頁（四）資產(chǎn)協(xié)方差

協(xié)方差是兩個隨機變量相互關(guān)系一個統(tǒng)計測度，即它測度兩個隨機變量，如資產(chǎn)A和B收益率之間互動性。10/10/38均值方差偏好下的投資組合選擇第38頁（五）相關(guān)系數(shù)

與協(xié)方差親密相關(guān)另一個統(tǒng)計測量度是相關(guān)系數(shù)。實際上，兩個隨機變量間協(xié)方差等于這兩個隨機變量之間相關(guān)系數(shù)乘以它們各自標(biāo)準(zhǔn)差積。

資產(chǎn)A和資產(chǎn)B相關(guān)系數(shù)為10/10/39均值方差偏好下的投資組合選擇第39頁

測量兩種股票收益共同變動趨勢: -1.0+1.0完全正相關(guān):+1.0完全負(fù)相關(guān):-1.0在-1.0和+1.0之間相關(guān)性可降低風(fēng)險但不是全部10/10/40均值方差偏好下的投資組合選擇第40頁

在上例中，投資組合2中兩企業(yè)股票收益協(xié)方差為-240.5/w，其相關(guān)系數(shù)為-0.88。

10/10/41均值方差偏好下的投資組合選擇第41頁（六）多個資產(chǎn)方差-協(xié)方差矩陣10/10/42均值方差偏好下的投資組合選擇第42頁（七）資產(chǎn)組合風(fēng)險分散效應(yīng)資產(chǎn)組合方差不但取決于單個資產(chǎn)方差，而且還取決于各種資產(chǎn)間協(xié)方差。

伴隨組合中資產(chǎn)數(shù)目標(biāo)增加，在決定組合方差時，協(xié)方差作用越來越大，而方差作用越來越小。比如，在一個由30種證券組成組合中，有30個方差和870個協(xié)方差。若一個組合深入擴大到包含全部證券，則協(xié)方差幾乎就成了組合標(biāo)準(zhǔn)差決定性原因。10/10/43均值方差偏好下的投資組合選擇第43頁風(fēng)險分散化原理被認(rèn)為是當(dāng)代金融學(xué)中唯一“白吃午餐”。將多項有風(fēng)險資產(chǎn)組合到一起，能夠?qū)_掉部分風(fēng)險而不降低平均預(yù)期收益率。10/10/44均值方差偏好下的投資組合選擇第44頁

假定資產(chǎn)1在組合中比重是w，則資產(chǎn)2比重就是1-w。它們預(yù)期收益率和收益率方差分別記為E(r1)和E(r2)，21和22，組合預(yù)期收益率和收益率方差則記為E(r)和2。那么，10/10/45均值方差偏好下的投資組合選擇第45頁因為-1≤≤+1，所以有[w1-(1-w)2]2≤2≤[w1+(1-w)2]2

這表明，組合標(biāo)準(zhǔn)差不會大于標(biāo)準(zhǔn)差組合。事實上，只要<1，就有，∣∣<∣w1+(1-w)2∣,即資產(chǎn)組合標(biāo)準(zhǔn)差就會小于單個資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)平均數(shù)，這意味著只要資產(chǎn)變動不完全一致，單個有高風(fēng)險資產(chǎn)就能組成單個有中低風(fēng)險資產(chǎn)組合，這就是投資分散化原理。10/10/46均值方差偏好下的投資組合選擇第46頁結(jié)構(gòu)一個投資每種資產(chǎn)等權(quán)重組合來看分散化力量：其中，10/10/47均值方差偏好下的投資組合選擇第47頁伴隨組合中資產(chǎn)數(shù)目標(biāo)增加，組合收益方差將越來越依賴于協(xié)方差。若這個組合中全部資產(chǎn)不相關(guān)，即當(dāng)隨證券數(shù)目增加，這個組合方差將為零（保險標(biāo)準(zhǔn)）。10/10/48均值方差偏好下的投資組合選擇第48頁相關(guān)結(jié)論：1.資產(chǎn)組合方差是以協(xié)方差矩陣各元素與投資百分比為權(quán)重相乘加權(quán)平均總值。它除與各資產(chǎn)方差相關(guān)外，還與各資產(chǎn)間協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)。

10/10/49均值方差偏好下的投資組合選擇第49頁

2.資產(chǎn)組合預(yù)期收益能夠經(jīng)過對各種單項資產(chǎn)加權(quán)平均得到，但風(fēng)險卻不能經(jīng)過各項資產(chǎn)風(fēng)險標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)平均得到(這只是組合中成份資產(chǎn)間相關(guān)系數(shù)為一且成份資產(chǎn)方差相等，權(quán)重相等時特例情況)。10/10/50均值方差偏好下的投資組合選擇第50頁

3.在資產(chǎn)方差或標(biāo)準(zhǔn)差給定下，組合每對資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)越高，組合方差越高。只要每兩種資產(chǎn)收益間相關(guān)系數(shù)小于一，組合標(biāo)準(zhǔn)差一定小于組合中各種證券標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)平均數(shù)。假如每對資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)為完全負(fù)相關(guān)即為－1且成份證券方差和權(quán)重相等時，則可得到一個零方差投資組合。但因為系統(tǒng)性風(fēng)險不能消除，所以這種情況在實際中是不存在。

10/10/51均值方差偏好下的投資組合選擇第51頁三、兩資產(chǎn)模型下有效組合前沿（一）先行案例某投資者持有投資組合由兩個風(fēng)險資產(chǎn)組成，兩資產(chǎn)期望收益率和方差以下：

資產(chǎn)期望收（%）標(biāo)準(zhǔn)差（%）A812B132010/10/52均值方差偏好下的投資組合選擇第52頁

以下為構(gòu)想投資者在兩種資產(chǎn)中投資百分比及資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)不一樣時投資組合期望收益和方差：10/10/53均值方差偏好下的投資組合選擇第53頁α1-αE(r)σ(ρ=-1)σ(ρ=0)σ(ρ=0.3)σ(ρ=1)0.01.013.020.020.020.020.00.30.711.510.414.4615.4717.600.50.510.54.011.6613.1116.000.70.39.52.410.3211.7014.400.90.18.58.810.9811.5612.801.00.08.012.012.012.012.010/10/54均值方差偏好下的投資組合選擇第54頁標(biāo)準(zhǔn)差期望收益Ρ=1ρ=-110/10/55均值方差偏好下的投資組合選擇第55頁（二）相關(guān)概念1.投資者均值-方差無差異曲線對一個特定投資者而言，任意給定一個證券組合，依據(jù)他對期望收益率和風(fēng)險偏好態(tài)度，按照期望收益率對風(fēng)險賠償要求，能夠得到一系列滿意程度相同（無差異）證券組合。全部這些組合在均值方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）坐標(biāo)系中形成一條曲線，這條曲線就稱為該投資者均值-方差無差異曲線。

10/10/56均值方差偏好下的投資組合選擇第56頁風(fēng)險厭惡者均方無差異曲線方差期望收益10/10/57均值方差偏好下的投資組合選擇第57頁

同一條無差異曲線上組合滿意程度相同；無差異曲線位置越高，該曲線上組合滿意程度越高。無差異曲線滿足以下特征：(1)無差異曲線向右上方傾斜。

(2)無差異曲線是下凸。

(3)同一投資者有沒有數(shù)條無差異曲線。

(4)同一投資者在同一時間、同一時點任何兩條無差異曲線都不相交。(5)無差異曲線向上彎曲程度大小反應(yīng)了投資者風(fēng)險偏好強弱。10/10/58均值方差偏好下的投資組合選擇第58頁2.可行集

可行集也稱資產(chǎn)組合機會集合。它表示在收益和風(fēng)險平面上，由各種資產(chǎn)所形成全部期望收益率和方差組合集合。

可行集包含了現(xiàn)實生活中全部可能組合，即全部可能證券投資組合將位于可行集內(nèi)部或邊界上。普通說來，N種資產(chǎn)可行集形狀像傘形：10/10/59均值方差偏好下的投資組合選擇第59頁標(biāo)準(zhǔn)差期望收益10/10/60均值方差偏好下的投資組合選擇第60頁3.有效集或有效前沿（邊界）均值－方差前沿（mean-variancefrontierMVF）

可行集中有沒有窮多個組合，對于非飽和且風(fēng)險厭惡理性投資者而言，他們都是厭惡風(fēng)險而偏好收益。對于一樣風(fēng)險水平，他們將會選擇能提供最大預(yù)期收益率組合；對于一樣預(yù)期收益率，他們將會選擇風(fēng)險最小組合。能同時滿足這兩個條件投資組合集合被稱為有效集（EfficientSet）或有效邊界（EfficientFrontier)。有效集描繪了投資組合風(fēng)險與收益最優(yōu)配置。10/10/61均值方差偏好下的投資組合選擇第61頁有效集導(dǎo)出：資產(chǎn)組合全部可能點組成了平面上可行區(qū)域，對于給定，使組合方差越小越好，即求解以下二次規(guī)劃：10/10/62均值方差偏好下的投資組合選擇第62頁10/10/63均值方差偏好下的投資組合選擇第63頁10/10/64均值方差偏好下的投資組合選擇第64頁因為投資者是非飽和且厭惡風(fēng)險，即風(fēng)險一定時追求收益最大，收益一定時追求風(fēng)險最小。所以，同時滿足在各種風(fēng)險水平下，提供最大預(yù)期收益和在各種預(yù)期收益下能提供最小風(fēng)險這兩個條件就稱為有效邊界。即雙曲線上半部。上面各點所代表投資組合一定是經(jīng)過充分分散化而消除了非系統(tǒng)性風(fēng)險組合。10/10/65均值方差偏好下的投資組合選擇第65頁有效集形狀：有效邊界全局最小方差資產(chǎn)組合最小方差邊界個人資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差期望收益MVP10/10/66均值方差偏好下的投資組合選擇第66頁有效集曲線形狀含有以下特點：（1）有效集是一條向右上方傾斜曲線，它反應(yīng)了“高收益、高風(fēng)險”標(biāo)準(zhǔn)；（2）有效集是一條向左凸曲線。有效集上任意兩點所代表兩個組合再組合起來得到新點（代表一個新組合）一定落在原來兩個點連線左側(cè)，這是因為新組合能深入起到分散風(fēng)險作用。（3）有效集曲線上不可能有凹陷地方MVF任意組合也是MVF組合。10/10/67均值方差偏好下的投資組合選擇第67頁四、N種資產(chǎn)普通模型（一）模型基本假定1.市場上存在n>2種風(fēng)險資產(chǎn)，w代表投資到n種資產(chǎn)上投資百分比，w為一個n維列向量。記為：

同時，允許w<0，即賣空不受限制。2.為i資產(chǎn)期望收益率，為風(fēng)險資產(chǎn)組合期望收益，同時，令全部n種資產(chǎn)期望收益率組成向量為10/10/68均值方差偏好下的投資組合選擇第68頁

3.假設(shè)n種資產(chǎn)收益率是非共線性，即其中任何一種風(fēng)險資產(chǎn)隨機收益都不能表示為其它資產(chǎn)隨即收益線性組合。則組合期望收益為：

4.組合方差、協(xié)方差矩陣為：10/10/69均值方差偏好下的投資組合選擇第69頁

因為我們假定組合中資產(chǎn)隨機收益是非共線性，所以，該矩陣是非奇異（nonsingular）。另外，因為組合方差是非負(fù)，所以，組合方差必須是一個正定矩陣，即對于任何非0向量，都有，所以，整個組合方差為10/10/70均值方差偏好下的投資組合選擇第70頁（二）N種風(fēng)險資產(chǎn)組合組合前沿1.定義給定收益率水平μ，假如一個資產(chǎn)組合收益率方差是全部期望收益率為μ組合中最小，則稱它為一個邊界組合（frontierportfolio），全部邊界組合組成集合為組合邊界。

用數(shù)學(xué)語言描述為：p是一個前沿資產(chǎn)組合當(dāng)且僅當(dāng)它資產(chǎn)組合權(quán)重是二次規(guī)劃問題P解。10/10/71均值方差偏好下的投資組合選擇第71頁10/10/72均值方差偏好下的投資組合選擇第72頁

經(jīng)過上述二次規(guī)劃問題求解，我們能夠得到組合邊界方程，它是均值-方差平面上一條拋物線，這條拋物線稱為最小方差曲線（minimumvariancecurve,MVC）拋物線頂點對應(yīng)于一個在全部組合中方差最小組合，稱為最小方差組合（minimumvarianceportfolio,MVP）。10/10/73均值方差偏好下的投資組合選擇第73頁組合邊界方差均值mvp10/10/74均值方差偏好下的投資組合選擇第74頁（三）有效組合前沿期望收益率嚴(yán)格高于最小方差組合期望收益率前沿邊界稱為有效組合前沿。位于資產(chǎn)組合前沿邊界，既不是有效資產(chǎn)組合，又不是最小方差資產(chǎn)組合前沿邊界合稱為非有效組合前沿。對于每一個屬于非有效組合前沿上資產(chǎn)組合，存在一個含有相同方差但更高期望收益率有效資產(chǎn)組合。10/10/75均值方差偏好下的投資組合選擇第75頁（四）組合前沿性質(zhì)

1.任何一個含有均值-方差偏好經(jīng)濟主體最優(yōu)組合是一個均值-方差前沿組合。2.任意前沿資產(chǎn)組合都能夠由期望收益為0和期望收益為1兩個前沿組合組合而成。3.任何前沿邊界組合線性組合仍在前沿邊界上。有效資產(chǎn)組合任何凸組合仍是有效組合，有效組合集合所以是一個凸集。

10/10/76均值方差偏好下的投資組合選擇第76頁4.任何含有均值-方差效率資產(chǎn)組合都是由任何兩個具有均值-方差效率組合組成；由兩個都有均值-方差效率資產(chǎn)組合線性組合組成資產(chǎn)組合也是含有均值-方差效率資產(chǎn)組合。5.最小方差組合mvp，與任何資產(chǎn)組合（不但僅是前沿邊界上）收益率協(xié)方差總是等于最小方差資產(chǎn)組合收益率方差。

10/10/77均值方差偏好下的投資組合選擇第77頁6.資產(chǎn)組合邊界一個主要性質(zhì)是，對于前沿邊界上任何資產(chǎn)p，除了最小方差資產(chǎn)組合，存在唯一前沿邊界資產(chǎn)組合，用zc(p)表示，與p協(xié)方差為0。7.不存在與最小方差資產(chǎn)組合含有0協(xié)方差前沿邊界資產(chǎn)組合。10/10/78均值方差偏好下的投資組合選擇第78頁（五）考慮無風(fēng)險資產(chǎn)情形考慮無風(fēng)險資產(chǎn)情況下投資者二次規(guī)劃問題為：

10/10/79均值方差偏好下的投資組合選擇第79頁

該二次規(guī)劃問題解表明，包含無風(fēng)險資產(chǎn)在內(nèi)資產(chǎn)組合均值-方差有效組合前沿為一條直線。MABC10/10/80均值方差偏好下的投資組合選擇第80頁圖中AM線為效率組合前沿，該直線方程可寫為：當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)組合M固定時，無風(fēng)險資產(chǎn)與風(fēng)險資產(chǎn)組合期望值收益和標(biāo)準(zhǔn)差呈線性關(guān)系。直線AM也稱為對應(yīng)于切點組合M轉(zhuǎn)換線（transformationline），它刻畫了投資者在特定風(fēng)險組合和無風(fēng)險收益率之間轉(zhuǎn)換。在轉(zhuǎn)換線上，點M對應(yīng)著投資者將全部財富投資于風(fēng)險資產(chǎn)組合。10/10/81均值方差偏好下的投資組合選擇第81頁

位于點M左側(cè)全部點對應(yīng)于投資者將其財富一部分投資于風(fēng)險資產(chǎn)，另一部分則用于貸出生息；位于點M右側(cè)全部點對應(yīng)于投資者在市場上賣空風(fēng)險資產(chǎn)。該轉(zhuǎn)換線也稱之為資本市場線（CapitalMarketLine，CML）。它表明所由含有均值-方差偏好經(jīng)濟主體都在資本市場線上選擇最優(yōu)資產(chǎn)組合。轉(zhuǎn)換線斜率為：10/10/82均值方差偏好下的投資組合選擇第82頁

其分子為組合M風(fēng)險溢價，該斜率刻畫了組合單位風(fēng)險所帶來風(fēng)險溢價，我們稱其為夏普比率（SharpRatio）。一樣地，我們可知，有沒有風(fēng)險資產(chǎn)和風(fēng)險資產(chǎn)組成組合夏普比率與風(fēng)險資產(chǎn)組合M夏普比率相等。在存在無風(fēng)險資產(chǎn)情況下，假如組合M是一個有效組合前沿上資產(chǎn)組合，那么，對于任意組合p，我們有10/10/83均值方差偏好下的投資組合選擇第83頁10/10/84均值方差偏好下的投資組合選擇第84頁分散化證券風(fēng)險由兩部分組成，一是市場（系統(tǒng)）風(fēng)險，二是個別（或非系統(tǒng)）風(fēng)險10/10/85均值方差偏好下的投資組合選擇第85頁組合總風(fēng)險10/10/86均值方差偏好下的投資組合選擇第86頁