對數(shù)與對數(shù)運算教學(xué)設(shè)計

對數(shù)與對數(shù)運算教學(xué)設(shè)計本資料為 woRD文檔，請點擊下載地址下載全文下載地址教學(xué)設(shè)計 對數(shù)與對數(shù)運算第1課時作者：林寧寧，古田一中教師.本教學(xué)設(shè)計獲福建省教學(xué)設(shè)計大賽二等獎.整體設(shè)計教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是新課標高中數(shù)學(xué)A版必修1中第二章對數(shù)函數(shù)內(nèi)容的第1課時，也就是對數(shù)函數(shù)的入門．對數(shù)函數(shù)對于學(xué)生來說是一個全新的函數(shù)模型，學(xué)習(xí)起來比較困難．而對數(shù)函數(shù)又是本章的重要內(nèi)容，在高考中占有一定的分量，它是在指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，對函數(shù)類型的拓廣，同時在解決一些日常生活問題及科研中起著十分重要的作用．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生理解對數(shù)的概念，從而進一步深化對對數(shù)模型的認識與理解，為學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)做好準備．同時，通過對對數(shù)概念的學(xué)習(xí)，對培養(yǎng)學(xué)生對立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力都具有重要的意義．學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析現(xiàn)階段大部分學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性較差，主動性不夠，學(xué)習(xí)有依賴性，且學(xué)習(xí)的信心不足，對數(shù)學(xué)存在或多或少的恐懼感．通過對指數(shù)與指數(shù)冪的運算的學(xué)習(xí)，學(xué)生已多次體會了對立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的思想，并且探究能力、邏輯思維能力得到了一定的鍛煉．因此，學(xué)生已具備了探索、發(fā)現(xiàn)、研究對數(shù)定義的認識基礎(chǔ)，故應(yīng)通過指導(dǎo)，教會學(xué)生獨立思考、大膽探索和靈活運用類比、轉(zhuǎn)化、歸納等數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)方法．設(shè)計思想學(xué)生是教學(xué)的主體，本節(jié)課要給學(xué)生提供各種參與機會．為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生化被動為主動，本節(jié)課可利用多媒體輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從實例中認識對數(shù)模型，體會引入對數(shù)的必要性．在教學(xué)重難點上，步步設(shè)問、啟發(fā)學(xué)生的思維，通過課堂練習(xí)、探究活動、學(xué)生討論的方式來加深理解，更好地突破難點和提高教學(xué)效率．讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，充分地動手、動口、動腦，掌握學(xué)習(xí)的主動權(quán)．教學(xué)目標．理解對數(shù)的概念，了解對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；掌握對數(shù)式與指數(shù)式的互化；理解對數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識并形成技能．2．通過實例使學(xué)生認識對數(shù)模型，體會引入對數(shù)的必要性；通過師生觀察分析得出對數(shù)的概念及對數(shù)式與指數(shù)式的互化．3．通過學(xué)生分組進行探究活動，掌握對數(shù)的重要性質(zhì)．通過做練習(xí)，使學(xué)生感受到理論與實踐的統(tǒng)一．4．培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)以及在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生的探究意識．重點難點重點：對數(shù)的概念；對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化．難點：對數(shù)概念的理解；對數(shù)性質(zhì)的理解．教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)程序及設(shè)計設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情境，引入新課引例．一尺之錘，日取其半，萬世不竭．取5次，還有多長？取多少次，還有0.125尺？分析：為同學(xué)們熟悉的指數(shù)函數(shù)模型，易得125＝132，可設(shè)取x次，則有12x＝0.125，抽象出：12x＝0.125⇒x＝？2．XX年我國GDP為a億元，如果每年平均增長 8%，那么經(jīng)過多少年 GDP是XX年的2倍？分析：設(shè)經(jīng)過 x年，則有x＝2，抽象出：x＝2⇒x＝？讓學(xué)生根據(jù)題意，設(shè)未知數(shù)，列出方程．這兩個例子都出現(xiàn)指數(shù)是未知數(shù)x的情況，讓學(xué)生思考如何表示x，激發(fā)其對對數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識．生活及科研中還有很多這樣的例子，因此引入對數(shù)是必要的．講授新課一、對數(shù)的概念 [一般地，如果ax＝N，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．注意：底數(shù)的限制： a＞0且a≠1；對數(shù)的書寫格式正確理解對數(shù)定義中底數(shù)的限制，為以后對數(shù)函數(shù)定義域的確定做準備．同時注意對數(shù)的書寫格式，避免因書寫不規(guī)范而產(chǎn)生的錯誤．二、對數(shù)式與指數(shù)式的互化：冪底數(shù)←a→對數(shù)底數(shù)指數(shù)←b→對數(shù)冪←N→真數(shù)思考：為什么對數(shù)的定義中要求底數(shù) a＞0且a≠1?是否是所有的實數(shù)都有對數(shù)呢？負數(shù)和零沒有對數(shù)讓學(xué)生了解對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，明確對數(shù)式與指數(shù)式形式的區(qū)別，a，b和N位置的不同，及它們的含義．互化體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化這個重要的數(shù)學(xué)思想.三、兩個重要對數(shù)常用對數(shù)：以 10為底的對數(shù) log10N，簡記為 lgN；自然對數(shù)：以無理數(shù) e＝2.71828?為底的對數(shù) logeN，簡記為lnN.注意：兩個重要對數(shù)的書寫這兩個重要對數(shù)一定要掌握，為以后的解題以及換底公式作準備．課堂練習(xí)．將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：24＝16；3－3＝127；5a＝20；12b＝0.45.2．將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式：log5125＝3；＝－2；log10a＝－1.069.3．求下列各式的值：log264；log927.本練習(xí)讓學(xué)生獨立閱讀課本例 1和例2后思考完成，從而熟悉對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，加深對對數(shù)概念的理解．并要求學(xué)生指出對數(shù)式與指數(shù)式互化時應(yīng)注意哪些問題，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)．四、對數(shù)的性質(zhì)探究活動1求下列各式的值：log31＝0；lg1＝0；log0.51＝0；ln1＝0.思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？“1”的對數(shù)等于零，即loga1＝0，類比：a0＝1．探究活動由學(xué)生獨立完成后，通過思考，然后分小組進行討論，最后得出結(jié)論．通過練習(xí)與討論的方式，讓學(xué)生自己得出結(jié)論，從而能更好地理解和掌握對數(shù)的性質(zhì)．培養(yǎng)學(xué)生類比、分析、歸納的能力 .探究活動2求下列各式的值：log33＝1；lg10＝1； ＝1；lne＝1.思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？底數(shù)的對數(shù)等于“ 1”，即logaa＝1，類比：a1＝a．探究活動3求下列各式的值：3；＝0.6；＝89.思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？對數(shù)恒等式：＝ N．探究活動4求下列各式的值：log334＝4； ＝5；lne8＝8.思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？對數(shù)恒等式：logaan＝n.講授新課小結(jié)負數(shù)和零沒有對數(shù)；“1”的對數(shù)等于零，即loga1＝0；底數(shù)的對數(shù)等于“1”，即logaa＝1；對數(shù)恒等式：＝N；對數(shù)恒等式：logaan＝n.將學(xué)生歸納的結(jié)論進行小結(jié)，從而得到對數(shù)的基本性質(zhì)．歸納小結(jié)，強化思想．引入對數(shù)的必要性——對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN.2．指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系3．對數(shù)的基本性質(zhì)負數(shù)和零沒有對數(shù)； loga1＝0；logaa＝1；對數(shù)恒等式：＝ N；logaan＝n.總結(jié)是一堂課內(nèi)容的概括，有利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握所學(xué)內(nèi)容．同時，將本節(jié)內(nèi)容納入已有的知識體系中，發(fā)揮承上啟下的作用．為下一課時對數(shù)的運算打下扎實的基礎(chǔ)．作業(yè)布置一、課本習(xí)題 2.2A組第1,2題．二、已知loga2＝x，loga3＝y(tǒng)，求a3x＋2y的值．三、求下列各式的值：；；.作業(yè)是學(xué)生信息的反饋，教師可以在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題，彌補教學(xué)中的不足．板書設(shè)計 對數(shù)與對數(shù)運算第1課時引例1引例2一、對數(shù)的定義二、對數(shù)式與指數(shù)式的互化練習(xí)三、對數(shù)的基本性質(zhì)四、小結(jié)五、作業(yè)布置教學(xué)反思本教學(xué)設(shè)計先由引例出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生對對數(shù)的學(xué)習(xí)興趣；在講授新課部分，通過結(jié)合多媒體教學(xué)以及一系列的課堂探究活動，加深學(xué)生對對數(shù)的認識；最后通過課堂練習(xí)來鞏固學(xué)生對對數(shù)的掌握．第2課時作者：盧巖冰整體設(shè)計教學(xué)目標．知識與技能通過實例推導(dǎo)對數(shù)的運算性質(zhì)，準確地運用對數(shù)的運算性質(zhì)進行運算、求值、化簡，并掌握化簡求值的技能．運用對數(shù)的運算性質(zhì)解決有關(guān)問題．培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力．培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和科學(xué)分析問題的精神和態(tài)度．2．過程與方法讓學(xué)生經(jīng)歷并推導(dǎo)出對數(shù)的運算性質(zhì)．讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)的知識．3．情感態(tài)度與價值觀讓學(xué)生感覺對數(shù)運算性質(zhì)的重要性，增加學(xué)生的成功感，增強學(xué)習(xí)的積極性．重點難點重點：對數(shù)運算的性質(zhì)與對數(shù)知識的應(yīng)用．難點：正確使用對數(shù)的運算性質(zhì)．教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1．上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：．對數(shù)的定義．2．指數(shù)式與對數(shù)式的互化．a(chǎn)b＝N⇔logaN＝b.3．重要性質(zhì)：負數(shù)與零沒有對數(shù)； loga1＝0，logaa＝1；對數(shù)恒等式N.下面我們接著講對數(shù)的運算性質(zhì)〔教師板書課題：對數(shù)與對數(shù)運算〕．思路2.我們在學(xué)習(xí)指數(shù)的時候，知道指數(shù)有相應(yīng)的運算法則，即指數(shù)運算法則：am•an＝am＋n；am÷an＝am－n；n＝amn；man＝.從上節(jié)課我們還知道指數(shù)與對數(shù)都是一種運算，而且它們互為逆運算，對數(shù)是否也有和指數(shù)相類似的運算法則呢？答案是肯定的，這就是本堂課的主要內(nèi)容，點出課題：對數(shù)與對數(shù)運算．推進新課新知探究提出問題在上節(jié)課中，我們知道，對數(shù)運算可看作指數(shù)運算的逆運算，你能從指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)運算的性質(zhì)，得出相應(yīng)的對數(shù)運算的性質(zhì)嗎？如我們知道 am＝m，an＝N，am•an＝am＋n，那mn如何表示，能用對數(shù)式運算嗎？在上述的條件下，類比指數(shù)運算性質(zhì)能得出其他對數(shù)運算性質(zhì)嗎？你能否用最簡練的語言描述上述結(jié)論？如果能，請描述 .上述運算性質(zhì)中的字母的取值有什么限制嗎？上述結(jié)論能否推廣呢？學(xué)習(xí)這些性質(zhì)能對我們進行對數(shù)運算帶來哪些方便呢？討論結(jié)果：通過問題來說明．若am•an＝am＋n，m＝am，N＝an，于是mN＝amn，由對數(shù)的定義得到m＝am⇔m＝logam，N＝an⇔n＝logaN，mN＝am＋n⇔m＋n＝logamN，logamN＝logam＋logaN.因此m＋n可以用對數(shù)式表示．令m＝am，N＝an，則mN＝am÷an＝am－n，所以m－nlogamN.又由m＝am，N＝an，所以m＝logam，n＝logaN.所以logam－logaN＝m－n＝logamN，即logamN＝logamlogaN.設(shè)m＝am，則mn＝n＝amn.由對數(shù)的定義，所以logam＝m，logamn＝mn.所以logamn＝mn＝nlogam，即logamn＝nlogam.這樣我們得到對數(shù)的三個運算性質(zhì)：如果a＞0，a≠1，m＞0，N＞0，則有l(wèi)oga＝logam＋logaN；①logamN＝logam－logaN；②logamn＝nlogam．③以上三個性質(zhì)可以歸納為：性質(zhì)①：兩數(shù)積的對數(shù)，等于各數(shù)的對數(shù)的和；性質(zhì)②：兩數(shù)商的對數(shù)，等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；性質(zhì)③：冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對數(shù)．利用對數(shù)運算性質(zhì)進行運算，所以要求 a＞0，a≠1，m0，N＞0.性質(zhì)①可以推廣到 n個數(shù)的情形：即loga＝logam1＋logam2＋logam3＋?＋logamn．縱觀這三個性質(zhì)我們知道，性質(zhì)①的等號左端是乘積的對數(shù)，右端是對數(shù)的和，從左往右看是一個降級運算．性質(zhì)②的等號左端是商的對數(shù)，右端是對數(shù)的差，從左往右是一個降級運算，從右往左是一個升級運算．性質(zhì)③從左往右仍然是降級運算．利用對數(shù)的性質(zhì)①②可以使兩正數(shù)的積、商的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩正數(shù)的各自的對數(shù)的和、差運算，方便了對數(shù)式的化簡和求值．應(yīng)用示例例1用logax，logay，logaz表示下列各式：logaxyz；logax2y3z.活動：學(xué)生思考觀察，教師巡視，檢查學(xué)生解題情況，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正．利用對數(shù)的運算性質(zhì)，把整體分解成部分．對logaxyz，可先利用性質(zhì)②，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的差，再利用性質(zhì)①，把積的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的和．對logax2y3z，可先利用性質(zhì)②，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的差，再利用性質(zhì)①，把積的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的和，最后利用性質(zhì)③，轉(zhuǎn)化為冪指數(shù)與底數(shù)的對數(shù)的積．解：logaxyz＝loga－logaz＝logax＋logay－logaz；logax2y3z＝loga－loga3zlogax2＋logay－loga3z＝2logax＋12logay－13logaz.點評：對數(shù)的運算性質(zhì)實質(zhì)上是把積、商、冪的對數(shù)運算分別轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘的運算．變式訓(xùn)練．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正確的個數(shù)為logax•logay＝loga；②logax－logay＝loga；logaxy＝logax÷logay；④loga＝logax•logay.A．0B．1c．2D．3答案：A2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，下列式子正確的個數(shù)為n＝nlogax；②n＝logaxn；③logax＝－loga1x；logaxlogay＝logaxy；⑤nlogax＝1nlogax；⑥1nlogax＝loganx；⑦logaxn＝nlogax；⑧l(xiāng)ogax－yx＋y＝－logax＋yx－y.A．3B．4c．5D．6答案：B例2求值：；log3127.解：解法一：設(shè)，則 x＝33＝3，所以x＝3.解法二：.解法一：令 x＝log3127，則3x＝127，即3x＝3－3，所以x＝－3.解法二：log3127＝log33－3＝－3.例3計算：lg14－2lg73＋lg7－lg18；lg243lg9 ；lg27＋lg8－3lg10lg1.2.解：解法一：lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg－2＋lg7－lg＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二：lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg14－lg732＋lg7lg18＝lg14×7732×18＝lg1＝0.lg243lg9＝lg35lg32＝5lg32lg3＝52.lg27＋lg8－3lg10lg1.2 ＝＝32lg3＋2lg2－1＝32.點評：此例題體現(xiàn)對數(shù)運算性質(zhì)的綜合運用，應(yīng)注意掌握變形技巧，如題各部分變形要化到最簡形式，同時注意分子、分母的聯(lián)系；題要避免錯用對數(shù)的運算性質(zhì)．對數(shù)運算性質(zhì)的靈活運用、運算性質(zhì)的逆用常被學(xué)生所忽視．例4設(shè)x＝log23，求23x－2－3x2x－2－x的值．活動：學(xué)生思考觀察，教師引導(dǎo)，學(xué)生有困難及時提示并評價學(xué)生的思考過程．本題主要考查對數(shù)的定義及其運算性質(zhì)．先利用對數(shù)的定義求 2x，再求23x，從而可求，或先化簡再代入求值．解法一：由 x＝log23，得 2x＝3,2－x＝13，所以 23x2－3x2x－2－x＝33－1333－13＝32＋3×13＋132＝919.解法二：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x2－3x2x－2－x＝2x－2－x＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋132＝919.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)第 1,2,3 題．【補充練習(xí)】．用logax，logay，logaz，loga，loga表示下列各式：loga3xy2z；logax•4z3y2；；logaxyx2－y2；logax＋yx－y•y；logayx3.解：loga3xy2z＝loga3x－logay2z＝13logax－＝13logax－2logay－logaz；logax•4z3y2＝logax＋loga4z3y2＝logax＋14＝logax－24logay＋34logaz＝logax－12logay＋34logaz；logax＋＋logax＋12logay－23logaz；logaxyx2－y2＝logaxy－loga＝logax＋logay－logalogax＋logay－loga－loga；logax＋yx－y•y＝logax＋yx－y＋logay＝logaloga＋logay；logayx3＝3[logay －logax－loga]＝3logay－3logax3loga．2．已知f＝log2x，則f等于A．43B．8c．18D．12解析：因為 f＝log2x，x＞0，令x6＝8，得，所以 f＝12.另解：因為 f＝log2x＝16log2x6，所以f＝16log2x.所以f＝16log28＝16log223＝12.答案：D拓展提升已知x，y，z＞0，且lgx＋lgy＋lgz＝0，求的值．活動：學(xué)生討論、交流、思考，教師可以引導(dǎo)．大膽設(shè)想，運用對數(shù)的運算性質(zhì)． 由于所求的式子是三項積的形式，每一項都有指數(shù)，指數(shù)中又有對數(shù)，因此想到用對數(shù)的運算性質(zhì)，如果能對所求式子取對數(shù)，那可能會好解決些，故想到用參數(shù)法，設(shè)所求式子的值為 t.解：令，則

lgt

＝1lgy

＋1lgzlgx

＋1lgz

＋1lgxlgy

＋1lgx＋1lgylgz

＝lgxlgy

＋lgxlgz

＋lgylgz

＋lgylgx

＋lgzlgx

＋lgzlgy

＝

lgx

＋

lgzlgy

＋

lgx

＋lgylgz

＋

lgy

＋

lgzlgx

＝－lgylgy

＋－lgzlgz

＋－

lgxlgx

＝－

3，所以

t＝10－3＝11000即為所求．課堂小結(jié)．對數(shù)的運算性質(zhì)．2．對數(shù)的運算性質(zhì)的綜合應(yīng)用，特別是性質(zhì)的逆向使用．3．對數(shù)與指數(shù)形式比較：式子ab＝NlogaN＝b名稱a——冪的底數(shù)b——冪的指數(shù)N——冪值a——對數(shù)的底數(shù)b——以a為底的N的對數(shù)N——真數(shù)運算性質(zhì)am•an＝am＋n；am÷an＝am－n；n＝amn；loga＝logam＋logaN；logamN＝logam－logaN；logamn＝nlogam；作業(yè)課本習(xí)題2.2A組 3,4,5.設(shè)計感想在前面研究了對數(shù)概念的基礎(chǔ)上，為了運算的方便，本節(jié)課我們借助指數(shù)的運算性質(zhì)，推出了對數(shù)的運算性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生自己完成推導(dǎo)過程，加深對公式的理解和記憶，對運算性質(zhì)的認識類比指數(shù)的運算性質(zhì)來理解記憶，強化性質(zhì)的使用條件，注意對數(shù)式中每一個字母的取值范圍，由于它是以后學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，所以安排教學(xué)時，要反復(fù)練習(xí)，加大練習(xí)的量，多結(jié)合信息化的教學(xué)手段，順利完成本堂課的任務(wù)．第3課時作者：劉菲整體設(shè)計教學(xué)目標．知識與技能推導(dǎo)對數(shù)的換底公式， 培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和科學(xué)分析問題的精神和態(tài)度．2．過程與方法讓學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)對數(shù)的換底公式的過程，歸納整理本節(jié)所學(xué)知識．3．情感態(tài)度與價值觀通過對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)換底公式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識，培養(yǎng)學(xué)生的嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)；感受對數(shù)的廣泛應(yīng)用．重點難點重點：對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式及其應(yīng)用．難點：正確使用對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式．教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1．問題：你能根據(jù)對數(shù)的定義推導(dǎo)出下面的換底公式嗎？a＞0，且 a≠1，c＞0，且 c≠1，b＞0，logab＝logcblogca. 教師直接點出課題：對數(shù)與對數(shù)運算——對數(shù)的換底公式及其應(yīng)用．思路2．前兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1．對數(shù)的定義及性質(zhì)；2．對數(shù)恒等式；3．對數(shù)的運算性質(zhì)，用對數(shù)的運算性質(zhì)我們能就同底數(shù)的對數(shù)進行運算，那么不同底數(shù)的對數(shù)集中在一起，如何解決呢？這就是本堂課的主要內(nèi)容．教師板書課題：對數(shù)與對數(shù)運算——對數(shù)的換底公式及其應(yīng)用．思路3．從對數(shù)的定義可以知道，任意不等于1的正數(shù)都可作為對數(shù)的底，數(shù)學(xué)史上，人們經(jīng)過大量的努力，制作了常用對數(shù)表和自然對數(shù)表，只要通過查表就能求出任意正數(shù)的常用對數(shù)或自然對數(shù)，這樣，如果能將其他底的對數(shù)轉(zhuǎn)換為以10為底或以e為底的對數(shù)就能方便地求出任意不等于1的正數(shù)為底的對數(shù)，那么，怎么轉(zhuǎn)化呢？這就需要一個公式，即對數(shù)的換底公式，從而引出課題：對數(shù)與對數(shù)運算——對數(shù)的換底公式及其應(yīng)用．推進新課新知探究提出問題已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求log23的值；根據(jù)，如a＞0，a≠1，你能用含a的對數(shù)式來表示 log23嗎？更一般地，我們有 logab＝logcblogca ，如何證明？證明logab＝logcblogca 的依據(jù)是什么？你能用自己的話概括出換底公式嗎？換底公式的意義是什么？有什么作用？活動：學(xué)生針對提出的問題，交流討論，回顧所學(xué)，力求轉(zhuǎn)化，教師適時指導(dǎo)，必要時提示學(xué)生解題的思路，給學(xué)生創(chuàng)造一個互動的學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力．對目前還沒有學(xué)習(xí)對數(shù)的換底公式，它們又不是同底，因此可考慮對數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成方程來解；對參考的思路和結(jié)果的形式，借助對數(shù)的定義可以表示；對借助的思路，利用對數(shù)的定義來證明；對根據(jù)證明的過程來說明；對抓住問題的實質(zhì)，用準確的語言描述出來，一般是按照從左到右的形式；對換底公式的意義就在于對數(shù)的底數(shù)變了，與我們的要求接近了．討論結(jié)果：因為lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，根據(jù)對數(shù)的定義，所以100.3010＝2,100.4771＝3.不妨設(shè)log23＝x，則2x＝3，所以x＝100.4771,100.3010x＝100.4771，即0.3010x＝0.4771，x＝＝lg3lg2.因此log23＝lg3lg2＝≈1.5850.根據(jù)我們看到，最后的結(jié)果是 log23用lg2與lg3表示，是通過對數(shù)的定義轉(zhuǎn)化的，這就給我們以啟發(fā)，本來是以 2為底的對數(shù)轉(zhuǎn)換成了以 10為底的對數(shù)，不妨設(shè)log23＝x，由對數(shù)定義知道， 2x＝3，兩邊都取以 a為底的對數(shù)，得 loga2x＝loga3，xloga2loga3，x＝loga3loga2，也就是log23＝loga3loga2.這樣log23就表示成了以 a為底的3的對數(shù)與以 a為底的2的對數(shù)的商．證明logab＝logcblogca.證明：設(shè)logab＝x，由對數(shù)定義知道， ax＝b；兩邊取以 c 為底的對數(shù)，得 logcax ＝logcb⇒xlogca ＝logcb；所以x＝logcblogca ，即logab＝logcblogca.一般地，logab＝logcblogca稱為對數(shù)的換底公式．由的證明過程來看，換底公式的證明要緊扣對數(shù)的定義，證明的依據(jù)是：若 m＞0，N＞0，m＝N，則logam＝logaN.一個數(shù)的對數(shù)，等于同一底數(shù)的真數(shù)的對數(shù)與底數(shù)的對數(shù)的商，這樣就把一個對數(shù)變成了與原來對數(shù)的底數(shù)不同的兩個對數(shù)的商．換底公式的意義就在于把對數(shù)式的底數(shù)改變，把不同底問題轉(zhuǎn)化為同底問題，為使用運算性質(zhì)創(chuàng)造條件，更方便化簡求值．說明：我們使用的計算器中，“l(fā)og”通常是常用對數(shù)，因此要使用計算器計算對數(shù)，一定要先用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)．如log23＝lg3lg2，即計算log23的值的按鍵順序為：“l(fā)og”→“3”→“÷”→“l(fā)og”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我國人口達到 18億的年份，就是要計算x＝log1.011813，所以

x＝

log1.011813

＝

lg1813lg1.01

＝

lg18

－lg13lg1.01

≈1.2553

－

＝32.8837

≈33．可以看到運用對數(shù)換底公式，有時要方便得多．應(yīng)用示例例1求log89•log2732 的值．活動：學(xué)生觀察題目，思考討論，互相交流，教師適時提示，學(xué)生板演，利用換底公式統(tǒng)一底數(shù)； 根據(jù)題目的特點，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，可以化成常用對數(shù)或以2為底的對數(shù)，以 3為底的對數(shù)也可．解 法 一 ：

log89•log2732

＝lg9lg8•lg32lg27

＝

2lg33lg2•5lg23lg3

＝

109.解 法 二 ：log29log28•log232log227

log89•log2732

＝＝2log233•53log23 ＝109.解 法 三 ：log39log38•log332log327

log89•log2732

＝＝23log32•5log323 ＝109.點評：靈活運用對數(shù)的換底公式是解決問題的關(guān)鍵．例2計算：log52•log4981log2513•log734 ；log43•log92 －.活動：學(xué)生積極交流，教師引導(dǎo)，學(xué)生展示自己的思維過程，教師對學(xué)生的表現(xiàn)及時評價．先利用對數(shù)運算性質(zhì)和換底公式進行化簡，然后再求值；對根據(jù)題目的特點，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡．對利用換底公式把底數(shù)統(tǒng)一起來，再化簡求值．解：原式＝lg2lg5•lg34lg72lg3－1lg52•lg22lg73＝12•lg2lg5•4lg32lg7－lg32lg5•2lg23lg7＝－3.log43•log92－＝log23log24•log22log29－＝12log23•12log32＋54log2214＋54＝32.點評：在利用對數(shù)的換底公式進行化簡求值時，一般情況是根據(jù)題中所給的對數(shù)式的具體特點選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)進行換底，如果題目中所給的真數(shù)和底數(shù)互不相同，我們常選擇以10為底的對數(shù)進行換底．例3證明logaxlogabx＝1＋logab；已知＝＝?＝＝λ，求證：.活動：學(xué)生思考、討論，教師適當(dāng)提示：運用對數(shù)換底公式，統(tǒng)一成以 a為底的對數(shù)可直接得解，或利用對數(shù)的定義，分別把三個式子設(shè)出，再由定義轉(zhuǎn)化成指數(shù)形式，利用指數(shù)冪的性質(zhì)得解；這是條件證明問題，應(yīng)在現(xiàn)有條件下利用換底公式，轉(zhuǎn)化成積的形式，從題目的結(jié)論來看，真數(shù)是積的形式，因此要創(chuàng)造對數(shù)的和的形式，這就想到先換底，再利用等比性質(zhì)來解．證法一：設(shè) logax＝p，logabx＝q，logab＝r，則x＝ap，x＝q＝aqbq，b＝ar.所以ap＝q＝aq，從而p＝q．因為q≠0，所以pq＝1＋r，即logaxlogabx ＝1＋logab.證法二：顯然 x＞0且x≠1，x可作為底數(shù)，左邊＝logaxlogabx ＝logxablogxa ＝logaab＝1＋logab＝右邊．證明：因為loga1b1＝loga2b2＝?＝loganbn＝λ，所以由換底公式得lgb1lga1＝lgb2lga2＝?＝lgbnlgan＝λ.由等比定理，所以lgb1＋lgb2＋?＋lgbnlga1＋lga2＋?＋lgan＝λ.所以lglg＝λ.所以＝lglg＝λ.點評：在解題過程中，根據(jù)題目的需要，把底數(shù)轉(zhuǎn)化，換底公式可完成不同底數(shù)的對數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化，該公式既可正用，又可逆用，使用時的關(guān)鍵是選擇底數(shù)，換底的目的是實現(xiàn)對數(shù)式的化簡．例420世紀30年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大．這就是我們常說的里氏震級 m，其計算公式為 m＝lgA－lgA0，其中，A是被測地震的最大振幅， A0是“標準地震”的振幅．假設(shè)在一次地震中，一個距離震中

100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是

20，此時標準地震的振幅是

0.001

，計算這次地震的震級；5級地震給人的震感已比較明顯，計算

7.6級地震的最大振幅是

5級地震的最大振幅的多少倍

?活動：學(xué)生審題，教師引導(dǎo)，學(xué)生交流，展示自己的思維過程，教師強調(diào)實際問題的注意事項．根據(jù)題目給出的數(shù)學(xué)模型及其含義來解決．這是實際問題，但題目給出了數(shù)學(xué)模型即關(guān)系式，關(guān)系式是以常用對數(shù)的形式給出，因此要利用對數(shù)的定義和運算性質(zhì)，同時注意要使實際問題有意義．解：m＝lg20－lg0.001 ＝lg200.001＝lgXX0＝lg2＋lg104≈4.3.因此，這是一次約為里氏 4.3級的地震．由m＝lgA－lgA0可得m＝lgAA0，即AA0＝10m，所以AA0•10m.當(dāng)m＝7.6時，地震的最大振幅為A1＝A0•107.6；當(dāng)m＝5時，地震的最大振幅為 A2＝A0•105.所以，兩次地震的最大振幅之比是 A1A2＝A0×107.6A0105＝107.6－5＝102.6≈398.答：7.6級地震的最大振幅大約是 5級地震的最大振幅的398倍．點評：利用所學(xué)知識解決實際問題， 是教學(xué)的一個難點．知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí) 4.【補充練習(xí)】已知lg2＝a，lg3＝b，則lg12lg15 等于A．2a＋b1＋a＋bB．a(chǎn)＋2b1＋a＋bc．2a＋b1－a＋bD．a(chǎn)＋2b1－a＋b已知2lg＝lgx＋lgy，則xy的值為A．1B．4c．1或4D．4或－1若3a＝2，則log38－2log36＝__________.lg12.5－lg58＋lg0.5＝__________.答案：c B a－2 1拓展提升探究換底公式的其他證明方法：活動：學(xué)生討論、交流、思考，教師可以引導(dǎo)，大膽設(shè)想，運用對數(shù)的定義及運算性質(zhì)和指數(shù)冪的運算性質(zhì)．證法一：設(shè)logaN＝x，則ax＝N，兩邊取以c為底的對數(shù)，得logcax＝logcN，所以xlogca＝logcN，即x＝logcNlogca.故logaN＝logcNlogca.證法二：由對數(shù)恒等式，得，兩邊取以 c為底的對數(shù)，得logcN＝logaN•logca，所以logaN＝logcNlogca.證法三：令 logca＝m，logaN＝n，則a＝cm，N＝an，所以N＝n＝cmn.兩邊取以c為底的對數(shù)，得mn＝logcN，所以n＝logcNm，即logaN＝logcNlogca.對數(shù)換底公式的應(yīng)用：換底公式 logaN＝logcNlogca 的應(yīng)用包括兩個方面，即由左端到右端的應(yīng)用和由右端到左端的應(yīng)用，前者較為容易，而后者則易被學(xué)生忽視，因此，教學(xué)時應(yīng)重視后者的用法，下面僅就后者舉例說明：例：化簡： logamlogaN＋logbmlogbN＋logcmlogcN＋logdmlogdN.解：原式＝logNm＋logNm＋logNm＋logNm＝4logNm.課堂小結(jié)．對數(shù)換底公式；2．換底公式可用于對數(shù)式的化簡、求值或證明．若對數(shù)式的底數(shù)和真數(shù)可轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的冪的形式，則該冪底數(shù)可被選作換底公式的底數(shù)，也可把對數(shù)式轉(zhuǎn)化成以10為底的常用對數(shù)或以任意數(shù) a為底的對數(shù)式的形式．作業(yè)課本習(xí)題2.2A組 6,11,12.【補充作業(yè)】．已知，，求log81175的值．解：因為＝log277＝13log37＝a，所以log37＝3a.又因為＝log35＝b，所以log81175＝14log3＝14＝14＝3a＋2b4.2．求證：log9n32＝52.證明：左邊＝log9n32•1nlog932nlog23•1nlog332＝log23R