計算理論與算法分析設計：06-branch-bound

分支限界法

6.1分支限界方法概述在解空間樹中，以廣度優(yōu)先或以最小耗費（最大效益）優(yōu)先的方式搜索利用部分解的最優(yōu)信息,裁剪那些不能得到最優(yōu)解的子樹以提高搜索效率搜索策略是：在擴展結(jié)點處，先生成其所有的兒子結(jié)點（分支）舍棄導致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點，其余兒子結(jié)點被加入活結(jié)點表中從當前的活結(jié)點表中選擇下一個擴展結(jié)點持續(xù)此過程直到找到所需的解或活結(jié)點表為空2方法概述:基本思想為了有效地選擇下一擴展結(jié)點，以加速搜索的進程，在每一活結(jié)點處，計算一個函數(shù)值（限界），并根據(jù)這些已計算出的函數(shù)值，從當前活結(jié)點表中選擇一個最有利的結(jié)點作為擴展結(jié)點，使搜索朝著解空間樹上有最優(yōu)解的分支推進，以便盡快地找出一個最優(yōu)解。3分支限界法與回溯法的區(qū)別求解目標不同：一般而言，回溯法的求解目標是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標則是找出滿足約束條件的一個解；搜索方法不同：回溯算法使用深度優(yōu)先方法搜索，而分枝限界一般用寬度優(yōu)先或最小耗費方法來搜索；

4分支限界法與回溯法的區(qū)別對擴展結(jié)點的擴展方式不同：分支限界法中，每一個活結(jié)點只有一次機會成為擴展結(jié)點?；罱Y(jié)點一旦成為擴展結(jié)點，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點；存儲空間的要求不同：相對而言，分枝限界法的存儲空間比回溯法大得多，因此當內(nèi)存容量有限時，回溯法成功的可能性更大

5方法概述:求解步驟①定義解空間(對解編碼);②確定解空間的樹結(jié)構(gòu);③按BFS等方式搜索:

a.每個活結(jié)點僅有一次機會變成擴展結(jié)點；

b.由擴展結(jié)點生成一步可達的新結(jié)點；

c.在新結(jié)點中,刪除不可能導出最優(yōu)解的結(jié)點；//剪枝策略

d.將余下的新結(jié)點加入活動表(隊列)中；

e.從活動表中選擇結(jié)點再擴展；//選擇策略

f.直至活動表為空；6方法概述:

兩種常見的活結(jié)點擴展方式先進先出隊列（FIFO）:即從活結(jié)點表中取出結(jié)點的順序與加入結(jié)點的順序相同；優(yōu)先隊列:每個結(jié)點都有一個對應的耗費或收益。如果查找一個具有最小耗費的解，下一個擴展結(jié)點就是具有最小耗費的活結(jié)點；如果希望搜索一個具有最大收益的解，下一個擴展結(jié)點是具有最大收益的活結(jié)點。7方法概述:示例1示例1（FIFO隊列分枝限界法）問題：0-1背包問題:物品數(shù)n=3,重量w=(20,15,15),價值v=(40,25,25),背包容量c=30,試裝入最大價值之和的物品?求解：①解空間:{(0,0,0),(0,0,1),…,(1,1,1)}②解空間樹:DBHAIEJKFCLMGNO111111100000008方法概述:示例1③BFS搜索（FIFO隊列）擴展結(jié)點活結(jié)點隊列(可行結(jié)點)可行解(葉結(jié)點)解值

AB,CBCBD,E(D死結(jié)點)CECF,GEFGEJ,K(J死結(jié)點)FGK40FL,MGL,M50,25GN,OφN,O25,0

∴最優(yōu)解為L,即(0,1,1);解值為50DBHAIEJKFCLMGNO11111110000000w=(20,15,15),v=(40,25,25),c=309方法概述:示例2示例2（優(yōu)先隊列分枝限界法）問題：0-1背包問題:物品數(shù)n=3,重量w=(20,15,15),價值v=(40,25,25),背包容量c=30,試裝入最大價值之和的物品?求解：①解空間:{(0,0,0),(0,0,1),…,(1,1,1)}②解空間樹:DBHAIEJKFCLMGNO1111111000000010方法概述:示例2BFS搜索（優(yōu)先隊列：按價值率優(yōu)先）擴展結(jié)點活結(jié)點堆(可行結(jié)點)可行解(葉結(jié)點)解值

AB,CBD,E(D死結(jié)點)EJ,K(J死結(jié)點)K40CF,G

FL,ML

50(最優(yōu))GN,OφBCECFGCGDBHAIEJKFCLMGNO11111110000000w=(20,15,15),v=(40,25,25),c=3011Branch&Bound例：用分支限界法求解分配問題分配問題：設有n個人，每個人都可以完成n種不同的任務，但所需時間不同。要求每人完成一項工作，則應如何分配n個人并使完成所有n項工作的總時間為最小。12可行解：滿足以下約束條件：分配一人且僅一人去做每項工作的解稱為分配問題的可行解考慮n=4的情況。 A,B,C,D四個人分別完成1、2、3、4。這時問題有4！=24個可行解13人工作1234A21097B154148C13141611D415139

14人1234

A21097

B154148

C13141611

D41513922A做1B做1C做1D做1274133243624342831A做2B做2C做2A做3C做3283739B做2C做2D做2A→3,B→2,C→4,D→1,總時間為28例1：用分支限界法求解分配問題15相關知識回顧：堆（Heap)堆給定一個序列A[]={A[1],A[2],…,A[n]},可以按如下的方式構(gòu)造一棵二叉樹：A[1]為根對任何一個A[i],它的左兒子是A[2i],右兒子是A[2i+1]如果2i或2i+1超過n，則A[i]沒有相對應的那個兒子16A[1]A[2]A[3]A[4]A[5]A[6]A[7]A[8]A[9]堆堆所構(gòu)造的樹有如下性質(zhì)所有葉子在樹的最底層或倒數(shù)第二層如果最底層的節(jié)點不能完全填滿，則總是在最左邊這樣的樹叫左-完全二叉樹17堆堆如果一個左-完全二叉樹有下列性質(zhì)：任何一個非葉節(jié)點的值都大于等于（或小于等于）它的兒子的值則這個樹稱為大（?。╉敹岩粋€堆對應的序列顯然有如下性質(zhì)：大頂堆小頂堆18堆堆96，83，27，38，11，99683273811912，36，24，85，47，30，53，91123624854730539119堆堆—堆調(diào)整取出極值元素，仍保持堆性質(zhì)假設已經(jīng)有一個現(xiàn)成的（大頂）堆將堆頂（根）的最大元素和序列的最后一個元素交換對除了尾元素之外的元素繼續(xù)建成堆20堆50243020211831256堆—堆調(diào)整

假設已經(jīng)有一個堆，把堆頂元素和最后一個元素交換624302021183125500)剩下的序列中，堆的性質(zhì)被破壞，調(diào)整堆就是把剩余的序列重新建成堆21堆堆—堆調(diào)整1)新的堆頂元素小于它的兒子，所以不能構(gòu)成堆，調(diào)整它的位置把它和較大的兒子交換62430202118312550302462021183125502)調(diào)整后，右子樹的根仍小于它的兒子，所以把它和它的大兒子交換22堆堆—堆調(diào)整3)新堆構(gòu)成3024182021631255023堆堆—堆建立堆建立是把一個無序的序列建成一個堆的過程它是思想是從最底層的子樹進行堆調(diào)整，先將子樹建成堆，然后繼續(xù)調(diào)整，直到整個樹構(gòu)成堆202135618301250242021352418301250624堆堆—堆建立堆建立是把一個無序的序列建成一個堆的過程它是思想是從最底層的子樹進行堆調(diào)整，先將子樹建成堆，然后繼續(xù)調(diào)整，直到整個樹構(gòu)成堆202135024183012562021305024183125625堆堆—堆建立堆建立是把一個無序的序列建成一個堆的過程它是思想是從最底層的子樹進行堆調(diào)整，先將子樹建成堆，然后繼續(xù)調(diào)整，直到整個樹構(gòu)成堆2050302124183125650243021201831256266.2 單源最短路徑問題1.問題描述單源最短路徑問題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個非負邊權。要求圖G的從源頂點s到目標頂點t之間的最短路徑。

276.2 單源最短路徑問題

下圖是用優(yōu)先隊列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個結(jié)點旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點所對應的當前路長。286.2 單源最短路徑問題：基本思想優(yōu)先隊列式分支限界法：用極小堆存儲活結(jié)點表；其優(yōu)先級是結(jié)點所對應的當前路長。從圖G的源頂點s和空優(yōu)先隊列開始結(jié)點s被擴展后，它的兒子結(jié)點被依次插入堆中。從堆中取出具有最小當前路長的結(jié)點作為當前擴展結(jié)點，并依次檢查與當前擴展結(jié)點相鄰的所有頂點如果從當前擴展結(jié)點i到頂點j有邊可達，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點i再到頂點j的所相應的路徑的長度小于當前最優(yōu)路徑長度，則將該頂點作為活結(jié)點插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中（剪枝）結(jié)點的擴展過程一直繼續(xù)到活結(jié)點優(yōu)先隊列為空時為止。296.2 單源最短路徑問題剪枝策略在算法擴展結(jié)點的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個結(jié)點的下界不小于當前找到的最短路長，則剪去以該結(jié)點為根的子樹利用結(jié)點間的控制關系進行剪枝。從源頂點s出發(fā)，2條不同路徑到達圖G的同一頂點。由于兩條路徑的路長不同，因此可以將路長大的路徑所對應的樹中結(jié)點為根的子樹剪去30路徑(a,e,q)與(c,h)到達同一節(jié)點分別對應的費用為5和6。稱搜索樹中節(jié)點A控制了B。因此可將B節(jié)點的子樹剪去AB

while(true){//搜索問題的解空間

for(intj=1;j<=n;j++)//頂點i到頂點j可達，且滿足控制約束

if(a[enode.i][j]<Float.MAX_VALUE&&enode.length+a[enode.i][j]<dist[j]){

dist[j]=enode.length+a[enode.i][j];p[j]=enode.i;HeapNodenode=newHeapNode(j,dist[j]);heap.put(node);//加入活結(jié)點優(yōu)先隊列

}

if(heap.isEmpty())break;elseenode=(HeapNode)heap.removeMin();}頂點I和j間有邊，且此路徑長小于原先從原點到j的路徑長31enode:當前擴展節(jié)點a:鄰接矩陣6.3裝載問題1.問題描述有一批共n個集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問題要求確定是否有一個合理的裝載方案可將這個集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。容易證明：如果一個給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。326.3裝載問題：隊列式分支限界法節(jié)點擴展檢測當前擴展結(jié)點的左兒子結(jié)點是否為可行結(jié)點。如果是則將其加入到活結(jié)點隊列中。將其右兒子結(jié)點加入到活結(jié)點隊列中(右兒子結(jié)點一定是可行結(jié)點)。2個兒子結(jié)點都產(chǎn)生后，當前擴展結(jié)點被舍棄。獲得下一節(jié)點活結(jié)點隊列中，隊首元素被取出作為當前擴展結(jié)點。隊列中每一層結(jié)點之后，都有一個尾部標記-1。在取隊首元素時，活結(jié)點隊列一定不空。當取出的元素是-1時，再判斷當前隊列是否為空。如果隊列非空，則將尾部標記-1加入活結(jié)點隊列，算法開始處理下一層的活結(jié)點336.3裝載問題：隊列式分支限界法while(true){if(ew+w[i]<=c)enQueue(ew+w[i],i);//檢查左兒子結(jié)點

enQueue(ew,i);//右兒子結(jié)點總是可行的

ew=queue.remove();//取下一擴展結(jié)點

if(ew==-1){if(queue.isEmpty())returnbestw;queue.put(-1);//同層結(jié)點尾部標志

ew=queue.remove();//取下一擴展結(jié)點

i++;//進入下一層

}}34節(jié)點的左子樹表示將此集裝箱裝船，右子樹表示不將此集裝箱裝船。設bestw是當前最優(yōu)解；ew是當前擴展結(jié)點所相應的重量；r是剩余集裝箱的重量。當ew+rbestw時，可將其右子樹剪去。此時若要船裝最多集裝箱，就應該把此箱裝上船。為確保右子樹成功剪枝，應該在算法每一次進入左子樹的時候更新bestw的值。算法MaxLoading初始時bestw=0，直到搜索到第一個葉結(jié)點才更新bestw。在搜索到第一個葉結(jié)點前，總有ew+r>bestw,此時右子樹測試不起作用。6.3裝載問題：隊列式分支限界法算法改進356.3裝載問題3.算法的改進//檢查左兒子結(jié)點

intwt=ew+w[i];if(wt<=c){//可行結(jié)點

if(wt>bestw)bestw=wt;

//加入活結(jié)點隊列

if(i<n)queue.put(wt);}提前更新bestw//檢查右兒子結(jié)點，可能含最優(yōu)解

if(ew+r>bestw&&i<n)queue.put(newInteger(ew));//取下一擴展結(jié)點

ew=queue.remove();右兒子剪枝36解裝載問題的優(yōu)先隊列式分支限界法用最大優(yōu)先隊列存儲活結(jié)點表?；罱Y(jié)點x在優(yōu)先隊列中的優(yōu)先級定義為從根結(jié)點到結(jié)點x的路徑所相應的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優(yōu)先隊列中優(yōu)先級最大的活結(jié)點成為下一個擴展結(jié)點。以結(jié)點x為根的子樹中，所有結(jié)點相應路徑的載重量不超過它的優(yōu)先級。子集樹中葉結(jié)點所相應的載重量與其優(yōu)先級相同。在優(yōu)先隊列式分支限界法中，一旦有一個葉結(jié)點成為當前擴展結(jié)點，則可以斷言該葉結(jié)點所相應的解即為最優(yōu)解。此時可終止算法。6.3裝載問題：優(yōu)先隊列式376.50-1背包問題算法思想:先對輸入數(shù)據(jù)進行預處理，將物品依其單位重量價值從大到小進行排列。在優(yōu)先隊列分支限界法中，結(jié)點優(yōu)先級由已裝袋的物品價值加上剩下的最大單位重量價值的物品裝滿剩余容量的價值。用一個最大堆來實現(xiàn)活結(jié)點優(yōu)先隊列3839算法首先檢查當前擴展結(jié)點的左兒子結(jié)點的可行性。如果左兒子結(jié)點是可行結(jié)點，則將它加入到子集樹和活結(jié)點優(yōu)先隊列中。當前擴展結(jié)點的右兒子結(jié)點一定是可行結(jié)點，僅當右兒子結(jié)點滿足上界約束時,才將它加入子集樹和活結(jié)點優(yōu)先隊列。當擴展到葉節(jié)點時為問題的最優(yōu)值。6.50-1背包問題上界函數(shù)while(i<=n&&w[i]<=cleft)//n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間

{cleft-=w[i];//w[i]表示i所占空間

b+=p[i];//p[i]表示i的價值

i++;}if(i<=n)b+=p[i]/w[i]*cleft;//裝填剩余容量裝滿背包returnb;//b為上界函數(shù)406.50-1背包問題while(i!=n+1){//非葉結(jié)點

doublewt=cw+w[i];if(wt<=c){//左兒子結(jié)點為可行結(jié)點

if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];addLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1);}up=bound(i+1);if(up>=bestp)//檢查右兒子節(jié)點，且右子樹可能含最優(yōu)解

addLiveNode(up,cp,cw,false,i+1);

//取下一個擴展節(jié)點（略）}416.6最大團問題最大團問題的解空間樹是一棵子集樹1.問題描述給定無向圖G=(V，E)。如果UV，且對任意u，vU有(u，v)E，則稱U是G的完全子圖。解最大團問題的優(yōu)先隊列式分支限界法,與解裝載問題的優(yōu)先隊列式分支限界法相似。G的完全子圖U是G的團當且僅當U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團是指G中所含頂點數(shù)最多的團。4243下圖G中，子集{1，2}是G的大小為2的完全子圖。這個完全子圖不是團，因為它被G的更大的完全子圖{1，2，5}包含。{1，2，5}是G的最大團。{1，4，5}和{2，3，5}也是G的最大團。2.上界函數(shù)活結(jié)點優(yōu)先隊列中元素類型為CliqueNodeun作為優(yōu)先隊列中元素的優(yōu)先級對每個活結(jié)點，用cn表示與該結(jié)點相應團的頂點數(shù)；level表示結(jié)點在子集空間樹中所處的層次；用cn+n-level+1作為頂點數(shù)上界un的值，其中un是該結(jié)點為根的子樹中最大頂點數(shù)的上界。算法總是從活結(jié)點優(yōu)先隊列中,抽取具有最大un值的元素作為下一個擴展結(jié)點。443.算法思想子集樹的根結(jié)點是初始擴展結(jié)點，對于這個特殊的擴展結(jié)點，其cn的值為0。cn表示當前團的頂點數(shù)。算法在擴展內(nèi)部結(jié)點時，首先考察其左兒子結(jié)點。在左兒子結(jié)點處，將頂點i加入到當前團中，并檢查該頂點與當前團中其它頂點之間是否有邊相連。當頂點i與當前團中所有頂點之間都有邊相連，則相應的左兒子結(jié)點是可行結(jié)點，將它加入到子集樹中并插入活結(jié)點優(yōu)先隊列，否則就不是可行結(jié)點。45while循環(huán)的終止條件是:遇到子集樹中的一個葉結(jié)點(即n+1層結(jié)點)成為當前擴展結(jié)點。繼續(xù)考察當前擴展結(jié)點的右兒子結(jié)點。對于子集樹中的葉結(jié)點，有un＝cn。此時活結(jié)點優(yōu)先隊列中，剩余結(jié)點的un值均不超過當前擴展結(jié)點的un值。進一步搜索不可能得到更大的團，此時算法已找到一個最優(yōu)解。

un是當前團最大頂點數(shù)的上界，cn表示當前團的頂點數(shù)。當un>bestn時，右子樹中可能含有最優(yōu)解，此時將右兒子結(jié)點加入到子集樹中,并插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。466.7旅行售貨員問題1.問題描述已知各城市之間的路程(或旅費)。選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費)最小。路線是一個帶權圖。圖中各邊的費用（權）為正數(shù)。圖的一條周游路線是包括V中的每個頂點在內(nèi)的一條回路。周游路線的費用是這條路線上所有邊的費用之和。旅行售貨員問題的解空間可以組織成一棵排列樹，從樹的根結(jié)點到任一葉結(jié)點的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問題要在圖G中找出費用最小的周游路線。48與子集樹的討論相似，實現(xiàn)對排列樹搜索的優(yōu)先隊列式分支限界法的實現(xiàn)方式：（1）用優(yōu)先隊列來存儲活結(jié)點。優(yōu)先隊列中每個活結(jié)點都存儲從根到該活結(jié)點的相應路徑。（2）用優(yōu)先隊列來存儲活結(jié)點，并同時存儲當前已構(gòu)造出的部分排列樹。優(yōu)先隊列中的活結(jié)點不必存儲從根到該活結(jié)點的相應路徑，該路徑必要時從存儲的部分排列樹中獲得。以第一種方式進行討論2.算法描述要找最小費用旅行售貨員回路，選用最小堆表示活結(jié)點優(yōu)先隊列。堆中每個結(jié)點的子樹費用的下界lcost值，是優(yōu)先隊列的優(yōu)先級。計算每個頂點的最小費用出邊并用minout記錄如果所給的有向圖中某個頂點沒有出邊，則該圖不可能有回路，算法結(jié)束。如果每個頂點都有出邊，則根據(jù)計算出的minout作算法初始化。49考慮排列樹層次s=n-2的情形，此時當前擴展結(jié)點是排列樹中某個葉結(jié)點的父結(jié)點。while循環(huán)完成對排列樹內(nèi)部結(jié)點的擴展。對于當前擴展結(jié)點，算法分兩種情況進行處理：如果該葉結(jié)點相應一條可行回路，且費用小于當前最小費用，則將該葉結(jié)點插入到優(yōu)先隊列中，否則舍去該葉結(jié)點。第一種情況：50

51當排列樹層次s<n-2時，依次產(chǎn)生當前擴展結(jié)點的所有兒子結(jié)點。第二種情況：當前擴展結(jié)點所相應的路徑是x[0:s]，其可行兒子結(jié)點是從剩余頂點x[s+1:n-1]中選取的頂點x[i]，且(x[s]，x[i])是所給有向圖G中的一條邊。對于當前擴展結(jié)點的每一個可行兒子結(jié)點，計算出其前綴(x[0:s]，x[i])的費用cc和相應的下界lcost。當lcost<bestc時，將這個可行兒子結(jié)點插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。while循環(huán)的終止條件：排列樹的一個葉結(jié)點成為當前擴展結(jié)點當s=n-1時，已找到的回路前綴是x[0:n-1]，它已包含圖G的所有n個頂點。因此，當s=n-1時，相應的擴展結(jié)點表示一個葉結(jié)點。該葉結(jié)點所相應的回路的費用等于當前費用cc和子樹費用下界lcost的值。算法描述52

53剩余活結(jié)點的lcost值，不小于已找到的回路的費用。它們都不可能導致費用更小的回路。已找到葉結(jié)點所相應的回路，是一個最小費用旅行售貨員回路，算法結(jié)束。算法結(jié)束時，返回找到的最小費用，相應的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。算法描述算法代碼見P214-216（第三版）

TSP問題示例minout=[4,5,5,4]5433343181922323184181354192254253N-1層：6.9批處理作業(yè)調(diào)度問題同順序任務加工問題：設有4項待加工的任務J1,J2,J3,J4,它們的工序相同：每個任務必須先在機器M1上加工，然后在機器M2上加工，最后在M3上加工。各加工時間已知。求一最佳加工順序使得盡早完工。55設tij為任務Ji在機器Mj上的加工時間，且加工時間矩陣T為：T=J1J2J3J457910529957810M1M2M3

=(tij)4*356如若加工順序是：

J2→J3→J1→J4則從開始到結(jié)束所需的時間可計算如下圖：57理想的加工安排是：M2無空閑，最后一個在M3上加工的任務時間最短。估計下界：比如從Ji開始的加工順序，估計加工所需的最短時間為：

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

58M1先加工J1

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

4

t11+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠1T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

=5+(7+5+9+8)+2=3659M1先加工J2

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

4

t21+Σtj2+min{tk3}