微積分學(xué)課件：5-4定積分的應(yīng)用

第四節(jié)定積分的應(yīng)用第五章定積分及其應(yīng)用二．平面圖形的面積三．立體及旋轉(zhuǎn)體的體積一．定積分的微元法六．定積分在物理中的應(yīng)用五．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積四．平面曲線的弧長(zhǎng)回顧曲邊梯形求面積的問題一、定積分的微元法(元素法)abxyo面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值abxyo（4）求極限，得A的精確值提示面積元素元素法的一般步驟：這個(gè)方法通常叫做元素法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等．二、平面圖形的面積

直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積極坐標(biāo)系中平面圖形的面積oo直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積1、oo解兩曲線的交點(diǎn)面積元素選為積分變量解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量于是所求面積說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．問題：積分變量只能選嗎？解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積解橢圓的參數(shù)方程由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．面積元素曲邊扇形的面積2、極坐標(biāo)系情形解由對(duì)稱性知總面積=4倍第一象限部分面積解利用對(duì)稱性知例7求r=asin3所圍的面積。解這是三葉玫瑰線，由sin3≥0，有由對(duì)稱性三、體積

旋轉(zhuǎn)體的體積已知平行截面面積的立體體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)1、旋轉(zhuǎn)體的體積xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為解直線方程為解解結(jié)論：利用這個(gè)公式，可知上例中解體積元素為2、平行截面面積為已知的立體的體積

如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.立體體積解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積四、平面曲線的弧長(zhǎng)

平面曲線弧長(zhǎng)的概念與計(jì)算

直角坐標(biāo)情況

極坐標(biāo)情況1、平面曲線弧長(zhǎng)的概念弧長(zhǎng)元素曲線段的弧長(zhǎng)2、直角坐標(biāo)情形或：弧長(zhǎng)s用弧微分近似解所求弧長(zhǎng)為解曲線弧為弧長(zhǎng)3、參數(shù)方程情形解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對(duì)稱性第一象限部分的弧長(zhǎng)證根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知故原結(jié)論成立.曲線弧為弧長(zhǎng)4、極坐標(biāo)情形解解例7.求心臟線r=a(1+cos)

的全長(zhǎng)。解：心臟線全長(zhǎng)對(duì)應(yīng)于r=a(1+cos),

∈[0，2π]，五、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積例：解：例：解：六、定積分在物理中的應(yīng)用

變力沿直線所做的功水壓力引力1、變力沿直線所作的功問題：物體在變力F(x)的作用下，從x軸上a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，求變力所做的功。用積分元素法:1）在[a,b]上考慮小區(qū)間[x,x+x]，在此小區(qū)間上

wdw=F(x)dx

2）將dw從a到b求定積分，就得到所求的功解功元素所求功為如果要考慮將單位電荷移到無(wú)窮遠(yuǎn)處解建立坐標(biāo)系如圖用積分元素法這一薄層水的重力為功元素:(千焦)．解設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇榈谝淮五N擊時(shí)所作的功為例用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？設(shè)

次擊入的總深度為厘米次錘擊所作的總功為依題意知，每次錘擊所作的功相等．次擊入的總深度為第次擊入的深度為2、水壓力解在端面建立坐標(biāo)系如圖解

建立坐標(biāo)系如圖面積微元3