數(shù)字電路邏輯代數(shù)精講公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎(jiǎng)?wù)n件

第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》教學(xué)課件邏輯代數(shù)中三種基本運(yùn)算2.2邏輯代數(shù)基本定理2.4邏輯代數(shù)基本公式和慣用公式32.3概述32.132.5邏輯函數(shù)及其表示方法目錄廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院含有沒(méi)有關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)2.7邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)32.6目錄廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.1概述廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院

邏輯代數(shù)是從哲學(xué)領(lǐng)域中邏輯學(xué)發(fā)展而來(lái)。

1847年,英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾(G.Boole)提出了用數(shù)學(xué)分析方法表示命題陳說(shuō)邏輯結(jié)構(gòu)，并成功地將形式邏輯歸結(jié)為一個(gè)代數(shù)演算，從而誕生了著名“布爾代數(shù)”。

1938年，克勞德·向農(nóng)(C.E.Shannon)將布爾代數(shù)應(yīng)用于電話繼電器開(kāi)關(guān)電路，提出了“開(kāi)關(guān)代數(shù)”。伴隨電子技術(shù)發(fā)展，集成電路邏輯門(mén)已經(jīng)取代了機(jī)械觸點(diǎn)開(kāi)關(guān)，故“開(kāi)關(guān)代數(shù)”這個(gè)術(shù)語(yǔ)已極少使用。為了與“數(shù)字系統(tǒng)邏輯設(shè)計(jì)”這一術(shù)語(yǔ)相適應(yīng)，人們更習(xí)慣于把開(kāi)關(guān)代數(shù)叫做邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)是數(shù)子系統(tǒng)邏輯設(shè)計(jì)理論基礎(chǔ)和主要數(shù)學(xué)工具！2.1概述廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院邏輯：

指事物因果關(guān)系邏輯運(yùn)算：邏輯變量與及常量之間邏輯推理運(yùn)算，不是數(shù)量之間運(yùn)算。

邏輯代數(shù)描述客觀事物間邏輯關(guān)系，對(duì)應(yīng)函數(shù)稱(chēng)邏輯函數(shù)，變量稱(chēng)邏輯變量。

邏輯變量和邏輯函數(shù)取值都只有兩個(gè)，通慣用"1"和"0"表示。

與普通代數(shù)比較用字母表示變量，用代數(shù)式描述客觀事物間關(guān)系。

相同處：

相異處：2.2邏輯代數(shù)中三種基本運(yùn)算廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院

邏輯代數(shù)是一個(gè)封閉代數(shù)系統(tǒng)，它由一個(gè)邏輯變量集，常量0和1以及“與”、“或”、“非”三種基本運(yùn)算所組成。下面用三個(gè)指示燈控制電路來(lái)分別說(shuō)明三種基本邏輯運(yùn)算物理意義。2.2邏輯代數(shù)中三種基本運(yùn)算廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院

與（AND）或（OR）非（NOT）設(shè)開(kāi)關(guān)A、B為邏輯變量，約定開(kāi)關(guān)閉合為邏輯1、開(kāi)關(guān)斷開(kāi)為邏輯0；設(shè)燈為邏輯函數(shù)Y，約定燈亮為邏輯1，燈滅為邏輯0。

廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院一、與運(yùn)算(邏輯乘)邏輯關(guān)系：只有決定某一事件發(fā)生多個(gè)條件同時(shí)具備時(shí)，事件才能發(fā)生，則這種因果關(guān)系稱(chēng)之為“與”邏輯。ABY000010100111真值表：“有0出0，全1為1”2.2邏輯代數(shù)中三種基本運(yùn)算------將邏輯變量全部可能取值組合與其一一對(duì)應(yīng)邏輯函數(shù)值之間關(guān)系以表格形式表示出來(lái)，叫做邏輯函數(shù)真值表。運(yùn)算規(guī)則：廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院一、與運(yùn)算(邏輯乘)邏輯表示式：邏輯符號(hào)：2.2邏輯代數(shù)中三種基本運(yùn)算Y=AAND

B=A&B=A∧B=A·B=AB廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院二、或運(yùn)算(邏輯加)邏輯關(guān)系：在決定某一事件發(fā)生多個(gè)條件中，只要有一個(gè)

或一個(gè)以上條件成立，事件便可發(fā)生，則這種因果關(guān)系稱(chēng)之為“或”邏輯。ABY000011101111真值表：“有1出1，全0為0”2.2邏輯代數(shù)中三種基本運(yùn)算運(yùn)算規(guī)則：廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院二、或運(yùn)算(邏輯加)邏輯表示式：邏輯符號(hào)：2.2邏輯代數(shù)中三種基本運(yùn)算Y=A

OR

B=A+B=A∨B廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院三、非運(yùn)算(邏輯求反)邏輯關(guān)系：假如某一事件發(fā)生取決于條件否定，即事件與事件發(fā)生條件之間組成矛盾，則這種因果關(guān)系稱(chēng)為“非”邏輯。AY0110真值表：“0非為1，1非為0”2.2邏輯代數(shù)中三種基本運(yùn)算運(yùn)算規(guī)則：廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院三、非運(yùn)算(邏輯求反)邏輯表示式：邏輯符號(hào)：2.2邏輯代數(shù)中三種基本運(yùn)算廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院四、幾個(gè)慣用復(fù)合邏輯運(yùn)算

與非(NAND)

2.2邏輯代數(shù)中三種基本運(yùn)算“有0出1，全1為0”“有1出0，全0為1”

或非(NOR)

與或非(AND-OR-INVERT)四、幾個(gè)慣用復(fù)合邏輯運(yùn)算異或(Exclusive-OR)---若兩個(gè)輸入變量值相異，輸出為1，不然為0。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院ABY000011101110

真值表：

邏輯表示式：

邏輯符號(hào)：2.2邏輯代數(shù)中三種基本運(yùn)算“不一樣為1，相同為0”廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院四、幾個(gè)慣用復(fù)合邏輯運(yùn)算同或(Exclusive-NOR，即異或非)---若兩個(gè)輸入變量值相同，輸出為1，不然為0。ABY001010100111

真值表：

邏輯表示式：

邏輯符號(hào)：Y=A⊙B2.2邏輯代數(shù)中三種基本運(yùn)算“相同為1，不一樣為0”注意：異或和同或互為反函數(shù)廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.2邏輯代數(shù)中三種基本運(yùn)算[例]試對(duì)應(yīng)輸入信號(hào)波形分別畫(huà)出下列圖各電路輸出波形。解：Y1有0出0全1出1

01100110

00110011Y2Y3相同出

0相異出

1廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.3邏輯代數(shù)基本公式和慣用公式一、基本公式依據(jù)與、或、非定義，得P24表2.3.1布爾恒等式序號(hào)公式序號(hào)公式101′

=0;0′=110

·A=0111+A=121

·A=A120+A=A3A·A=A13A+A=A4A·A′=014A+A′=15A·B=B·A15A+B=B+A6A·(B·C)=(A·B)·C16A+(B+C)=(A+B)+C7A·(B+C)=A·B+A·C17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A證實(shí)方法：推演真值表廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院二、若干慣用公式(P25)序號(hào)公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB+

A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′2.3邏輯代數(shù)基本公式和慣用公式廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院一、代入定理

------在任何一個(gè)包含A邏輯等式中，若用另一個(gè)邏輯式代入式中全部A位置，則等式依然成立。應(yīng)用舉例：

式（17）A+BC=(A+B)(A+C)2.4邏輯代數(shù)基本定理代入規(guī)則能夠擴(kuò)展全部基本公式或定律應(yīng)用范圍。A+B(CD)=(A+B)(A+C)(A+D)=(A+B)(A+CD) 廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院----對(duì)任一邏輯式Y(jié)，若將式中

變換次序先括號(hào)，然后乘，最終加

不屬于單個(gè)變量上反號(hào)保留不變二、反演定理2.4邏輯代數(shù)基本定理廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院應(yīng)用舉例：

例1：

若Y=A(B+C)+CD

，求

例2：若Y=（（AB′+C）'+D）'+C

，求

2.4邏輯代數(shù)基本定理Y'=（（（A′+B）C′）'D′）'C

′廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院

----對(duì)任一邏輯式Y(jié)，若將式中

變換次序先括號(hào)，然后乘，最終加

三、對(duì)偶定理

若兩邏輯式相等，則它們對(duì)偶式也相等。即：對(duì)偶式Y(jié)D利用對(duì)偶規(guī)則，可從已知公式中得到更多運(yùn)算公式。2.4邏輯代數(shù)基本定理廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院應(yīng)用舉例：利用對(duì)偶定理，可證實(shí)公式（17）：2.4邏輯代數(shù)基本定理廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法一、邏輯函數(shù)

邏輯代數(shù)中函數(shù)定義與普通代數(shù)中函數(shù)定義類(lèi)似，即隨自變量改變因變量。但和普通代數(shù)中函數(shù)概念相比，邏輯函數(shù)含有以下特點(diǎn)：

1．邏輯函數(shù)和邏輯變量一樣，取值只有0和1兩種可能；

2．函數(shù)和變量之間關(guān)系是由“或”、“與”、“非”三種基本運(yùn)算決定。

任何一個(gè)邏輯電路功效都可由對(duì)應(yīng)邏輯函數(shù)完全描述，所以，能夠借助抽象代數(shù)表示式對(duì)電路加以分析研究。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院二、邏輯函數(shù)表示方法真值表邏輯函數(shù)式邏輯圖波形圖卡諾圖計(jì)算機(jī)軟件中描述方式

各種表示方法之間能夠相互轉(zhuǎn)換2.5邏輯函數(shù)及其表示方法廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院1、真值表

若兩個(gè)邏輯函數(shù)相等，則它們真值表一定相同；反之，若兩個(gè)函數(shù)真值表完全相同，則這兩個(gè)函數(shù)一定相等。所以，要證實(shí)兩個(gè)邏輯函數(shù)是否相等，只要分別列出它們真值表，看看它們真值表是否相同即可。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法

---用來(lái)反應(yīng)輸入變量各種取值組合及其對(duì)應(yīng)輸出邏輯函數(shù)值表格稱(chēng)真值表。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2、邏輯函數(shù)式

----表示輸出函數(shù)和輸入變量邏輯關(guān)系表示式。又稱(chēng)邏輯表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)邏輯式。

邏輯表示式是由邏輯變量和“或”、“與”、“非”

等邏輯運(yùn)算符以及括號(hào)所組成式子。

慣用邏輯表示式有與或表示式、或與表示式、與非與非表示式、或非或非表示式、與或非表示式等。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法3、邏輯圖

----由邏輯（圖形）符號(hào)及對(duì)應(yīng)連線組成，用來(lái)表示邏輯變量之間關(guān)系圖形稱(chēng)為邏輯電路圖，簡(jiǎn)稱(chēng)邏輯圖。

4、波形圖（時(shí)序圖）

----將輸入變量全部可能出現(xiàn)取值與對(duì)應(yīng)輸出按時(shí)間次序依次排列起來(lái)畫(huà)成時(shí)間波形。

廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院例：2.5邏輯函數(shù)及其表示方法廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院6、EDA中描述方式

HDL(HardwareDescriptionLanguage)VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit)VerilogHDL EDIF DTIF 。。。

2.5邏輯函數(shù)及其表示方法5、卡諾圖廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法三、各種表示方法間相互轉(zhuǎn)換1.列真值表列真值表方法(1)按

n位二進(jìn)制數(shù)遞增方式列出輸入變量各種取值組合。(2)

分別求出各種組合對(duì)應(yīng)輸出邏輯值填入表格。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院舉例：舉重裁判電路（P29）ABCY0000010100111001011101112.5邏輯函數(shù)及其表示方法設(shè)開(kāi)關(guān)A、B、C斷開(kāi)時(shí)為0狀態(tài)，閉合時(shí)為1狀態(tài)；燈Y亮?xí)r為1狀態(tài)，燈滅時(shí)為0狀態(tài)。則可列出真值表為3

個(gè)輸入變量有23

=8

種取值組合。00000111(1)找出函數(shù)值為1項(xiàng)。(2)將這些項(xiàng)中輸入變量取值為

1

用原變量代替，取值為

0用反變量代替，則得到一系列與項(xiàng)(乘積項(xiàng)）。(3)將這些與項(xiàng)相加即得邏輯式。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.真值表邏輯式ABCY00000010010001111000101111011110Y

=

2.5邏輯函數(shù)及其表示方法比如:

+

AB′C+ABC′方法:

A′BC廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法3.邏輯式真值表

普通首先按自然二進(jìn)制碼次序列出函數(shù)所含邏輯變量全部不一樣取值組合，再確定其對(duì)應(yīng)函數(shù)值。

例：列出下面邏輯函數(shù)真值表

Y=

A′B

+

B′C+AC′解：（1）按自然二進(jìn)制碼次序列出變量A、B、C全部不一樣取值組合。（2）逐一將變量A、B、C各個(gè)取值組合代入邏輯函數(shù)中，求出對(duì)應(yīng)函數(shù)值。ABCY00000101001110010111011101111110廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法3.邏輯式真值表

普通首先按自然二進(jìn)制碼次序列出函數(shù)所含邏輯變量全部不一樣取值組合，再確定其對(duì)應(yīng)函數(shù)值。

例：列出下面邏輯函數(shù)真值表

Y=

A′B

+

B′C+AC′ABCY00000101001110010111011101111110快捷方法？廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法4.邏輯式邏輯圖

---用圖形符號(hào)代替邏輯式中邏輯運(yùn)算符。

比如:

先括號(hào)，然后與，用兩級(jí)電路實(shí)現(xiàn)廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法5.邏輯圖邏輯式

---從輸入到輸出逐層寫(xiě)出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)邏輯運(yùn)算式

比如:

廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法6.波形圖真值表P34例2.5.5ABCY00000

0

0

00

0

1

10

1

0

10

1

1

01

0

0

01

0

1

11

1

0

01

11

1廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院四、邏輯函數(shù)兩種標(biāo)準(zhǔn)形式

邏輯函數(shù)幾個(gè)常見(jiàn)形式2.5邏輯函數(shù)及其表示方法

任何一個(gè)邏輯函數(shù)，其表示式形式都不是唯一。下面從分析與應(yīng)用角度出發(fā)，介紹邏輯函數(shù)表示式基本形式、標(biāo)準(zhǔn)形式及其相互轉(zhuǎn)換。比如與或表示式

或與表示式與非-

與非表示式或非-

或非表示式與或非表示式廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法

邏輯函數(shù)兩種基本形式

-----“與-或”表示式和“或-與”表示式。

1.“與-或”表示式

----指由若干“與項(xiàng)”進(jìn)行“或”運(yùn)算組成表示式。

每個(gè)“與項(xiàng)”能夠是單個(gè)變量原變量或者反變量，也能夠由多個(gè)原變量或者反變量相“與”組成。

比如：

“與項(xiàng)”又被稱(chēng)為“乘積項(xiàng)”或“積項(xiàng)”，對(duì)應(yīng)地“與-或”表示式又稱(chēng)為“積之和”表示式。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.“或-與”表示式

----指由若干“或項(xiàng)”進(jìn)行“與”運(yùn)算組成表示式。

每個(gè)“或項(xiàng)”能夠是單個(gè)變量原變量或者反變量，也能夠由多個(gè)原變量或者反變量相“或”組成。

比如：

“或項(xiàng)”又被稱(chēng)為“和項(xiàng)”，對(duì)應(yīng)地“或-與”表示式又稱(chēng)為“和之積”表示式。但不論什么形式都能夠變換成兩種基本形式。

邏輯函數(shù)表示式能夠被表示成任意混合形式。比如，

廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法

邏輯函數(shù)兩種標(biāo)準(zhǔn)形式

邏輯函數(shù)兩種基本形式都不是唯一。比如：

為了在邏輯問(wèn)題研究中使邏輯功效能和唯一邏輯表示式對(duì)應(yīng)，引入了邏輯函數(shù)表示式標(biāo)準(zhǔn)形式。邏輯函數(shù)表示式標(biāo)準(zhǔn)形式是建立在最小項(xiàng)和最大項(xiàng)概念基礎(chǔ)之上。

最小項(xiàng)之和形式-----標(biāo)準(zhǔn)與或式最大項(xiàng)之積-形式----標(biāo)準(zhǔn)或與式廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院m是乘積項(xiàng)包含n個(gè)因子n個(gè)變量均以原變量和反變量形式在m中出現(xiàn)一次n個(gè)變量能夠組成2n個(gè)最小項(xiàng)1.最小項(xiàng)m2.5邏輯函數(shù)及其表示方法（1）最小項(xiàng)定義（n變量邏輯函數(shù)）（P35）（2）最小項(xiàng)數(shù)目廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院最小項(xiàng)舉例：兩變量A,B最小項(xiàng)三變量A,B,C最小項(xiàng)2.5邏輯函數(shù)及其表示方法廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院最小項(xiàng)取值對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)編號(hào)ABC0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m72.5邏輯函數(shù)及其表示方法（3）最小項(xiàng)編號(hào)----用mi表示最小項(xiàng)。（以3個(gè)變量為例）

全部最小項(xiàng)和必為1。A'B'CAB'C

任意兩個(gè)不一樣最小項(xiàng)乘積必為0。mi·mj=0廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法（4）最小項(xiàng)性質(zhì)

任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使其值為1。（以3個(gè)變量為例）廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)之和能夠合并，并消去一對(duì)因子，只留下公共因子。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法例：（4）最小項(xiàng)性質(zhì)相鄰最小項(xiàng)兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量互為反變量，其余變量均相同，稱(chēng)為相鄰最小項(xiàng)，簡(jiǎn)稱(chēng)相鄰項(xiàng)。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.邏輯函數(shù)最小項(xiàng)之和形式2.5邏輯函數(shù)及其表示方法由若干最小項(xiàng)相“或”組成邏輯表示式稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)與-或表示式，也叫做最小項(xiàng)表示式。

該函數(shù)表示式又可簡(jiǎn)寫(xiě)為F(A，B，C)=m1+m2+m4+m7

=

比如，以下所表示為一個(gè)3變量函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表示式

*3.最大項(xiàng)及邏輯函數(shù)最大項(xiàng)之積形式（自學(xué)）廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法

將一個(gè)任意邏輯函數(shù)表示式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)與-或式有兩種慣用方法，一個(gè)是代數(shù)轉(zhuǎn)換法，另一個(gè)是真值表轉(zhuǎn)換法。

（1）代數(shù)轉(zhuǎn)換法

------就是利用邏輯代數(shù)公理、定理和規(guī)則進(jìn)行邏輯變換，將函數(shù)表示式從一個(gè)形式變換為另一個(gè)形式。

1.轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)與-或式

（即最小項(xiàng)表示式）普通步驟以下：

Step1：先將函數(shù)表示式變換成普通“與-或”表示式。

Step2：重復(fù)使用

將表示式中全部非最小項(xiàng)“與項(xiàng)”擴(kuò)展成最小項(xiàng)。五、邏輯函數(shù)形式變換廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法例1：將邏輯函數(shù)表示式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表示式。

（1）代數(shù)轉(zhuǎn)換法

廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院例2：2.5邏輯函數(shù)及其表示方法將邏輯函數(shù)表示式

轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表示式。

解:Step1將函數(shù)表示式變換成普通“與-或”表示式。即：Step2把“與-或”式中非最小項(xiàng)“與項(xiàng)”擴(kuò)展成最小項(xiàng)。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法（2）真值表轉(zhuǎn)換法

邏輯函數(shù)最小項(xiàng)表示式與真值表含有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以，能夠經(jīng)過(guò)函數(shù)真值表寫(xiě)出最小項(xiàng)表示式。

因?yàn)楹瘮?shù)真值表與函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)表示式之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而任何個(gè)邏輯函數(shù)真值表是唯一，可見(jiàn)，任何一個(gè)邏輯函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式也是唯一。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.5邏輯函數(shù)及其表示方法例：將邏輯函數(shù)表示式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表示式。

解:首先，列出Y真值表以下表所表示:然后，依據(jù)真值表可直接寫(xiě)出Y最小項(xiàng)表示式。ABCY00000010010001111000101011011111廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院（1）與或式→與非與非式

----利用摩根定理將整個(gè)式子兩次求反。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.轉(zhuǎn)換為其它形式(P38)寫(xiě)出

與非表示式。例：還原律摩根定律廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院（3）與或式→與或非式

---利用Y+Y′=1，先求Y′最小項(xiàng)表示式，然后再求反。（Ｐ３８例２.５.８）2.5邏輯函數(shù)及其表示方法（2）或與式→或非或非式→與或非式

----利用摩根定理將整個(gè)式子兩次求反。例：還原律摩根定律或非或非式：摩根定律與或非式：廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法

實(shí)現(xiàn)某一邏輯功效邏輯電路復(fù)雜性與描述該功效邏輯表示式復(fù)雜性直接相關(guān)。普通說(shuō)，邏輯函數(shù)表示式越簡(jiǎn)單，設(shè)計(jì)出來(lái)對(duì)應(yīng)邏輯電路也就越簡(jiǎn)單。

因?yàn)椤芭c-或”表示式和“或-與”表示式能夠很方便地轉(zhuǎn)換成任何其它所要求形式。所以，從這兩種基本形式出發(fā)討論函數(shù)化簡(jiǎn)問(wèn)題，并將重點(diǎn)放在“與-或”表示式化簡(jiǎn)上。

為了降低系統(tǒng)成本、減小復(fù)雜度、提升可靠性，必須對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)。

邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)有3種慣用方法。即：代數(shù)化簡(jiǎn)法、卡諾圖化簡(jiǎn)法和列表化簡(jiǎn)法。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院化簡(jiǎn)目標(biāo)：消去多出乘積項(xiàng)和每個(gè)乘積項(xiàng)中

多出變量2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法例：

最簡(jiǎn)與-或式標(biāo)準(zhǔn)：

(1)乘積項(xiàng)(即與項(xiàng))個(gè)數(shù)最少(2)每個(gè)乘積項(xiàng)中變量數(shù)最少與門(mén)個(gè)數(shù)最少與門(mén)輸入端數(shù)最少?gòu)V東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法

------重復(fù)應(yīng)用基本公式和慣用公式，消去多出乘積項(xiàng)和多出因子，得到最簡(jiǎn)形式。一、公式（代數(shù)）化簡(jiǎn)法

這種方法沒(méi)有固定步驟能夠遵照，主要取決于對(duì)邏輯代數(shù)中基本公式、定理和規(guī)則熟練掌握及靈活利用程度。

幾個(gè)慣用方法以下：

廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法1.并項(xiàng)法：利用，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。利用A+AB

=A

吸收多出與項(xiàng)。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法2.吸收法：廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法3.消項(xiàng)法：利用，消去多出與項(xiàng)。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法4.消因子法：利用吸收律

，消去多出因子。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法5.配項(xiàng)法：（P41~P42---自學(xué)）

實(shí)際應(yīng)用中碰到邏輯函數(shù)往往比較復(fù)雜，化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)靈活使用所學(xué)公理、定理及規(guī)則，綜合利用各種方法。（參見(jiàn)P42例2.6.7）

代數(shù)化簡(jiǎn)法優(yōu)點(diǎn)：不受變量數(shù)目標(biāo)限制；當(dāng)對(duì)公理、定理和規(guī)則十分熟練時(shí)，化簡(jiǎn)比較方便。

代數(shù)化簡(jiǎn)法缺點(diǎn)：沒(méi)有一定規(guī)律和步驟，技巧性很強(qiáng)，而且在很多情況下難以判斷化簡(jiǎn)結(jié)果是否最簡(jiǎn)。

2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院二、卡諾圖化簡(jiǎn)法卡諾圖是最小項(xiàng)按一定規(guī)則排列成方格圖。1.最小項(xiàng)卡諾圖

卡諾圖是一個(gè)平面方格圖，每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，故又稱(chēng)為最小項(xiàng)方格圖。

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：(1)

n個(gè)變量卡諾圖由2n個(gè)小方格組成；

(2)幾何圖形上處于相鄰、相對(duì)、相重位置小方格所代表最小項(xiàng)為相鄰最小項(xiàng)。

卡諾圖中最小項(xiàng)排列方案不是唯一，但任何一個(gè)排列方案都必須具備以上特點(diǎn)。2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法變量取0代以反變量取1代以原變量AB二變量卡諾圖0101000110110001AB0101m0m1m2m3

0

1

2

3ABA'AB'

BA'B'A'BAB'AB2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法三變量卡諾圖ABC010011

10

m6

m7

m4

m2

m3000

m0

m5001

m1

6

7

5

4

2

3

1

0以循環(huán)碼排列以確保相鄰性01廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法四變量卡諾圖

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10ABCD00011110000111

10廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院五變量卡諾圖2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法ABCD相鄰項(xiàng)在幾何位置上也相鄰卡諾圖特點(diǎn)：循環(huán)相鄰性同一列最上與最下方格相鄰?fù)恍凶钭笈c最右方格相鄰廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法怎樣寫(xiě)出卡諾圖方格對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)？已知最小項(xiàng)怎樣找對(duì)應(yīng)小方格？比如:

原變量取1，反變量取0。1001？ABCD0001111000011110

1用原變量表示，0用反變量表示。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法

(1)

求邏輯函數(shù)真值表或者標(biāo)準(zhǔn)與-

或式或者與-

或式。

(2)

畫(huà)出變量卡諾圖。

(3)

依據(jù)真值表或標(biāo)準(zhǔn)與

-

或式或與

-

或式填圖?；静襟E2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)舉例

[例]

試畫(huà)出函數(shù)Y=∑m(0,1,12,13,15)卡諾圖解：

(1)

畫(huà)出四變量卡諾圖(2)

填圖邏輯式中最小項(xiàng)m0、m1、m12、m13、m15對(duì)應(yīng)方格填1，其余不填（或填0）。ABCD0001111000011110

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

1

1

1

1

1

已知標(biāo)準(zhǔn)與或式畫(huà)函數(shù)卡諾圖

廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法已知真值表畫(huà)函數(shù)卡諾圖[例]

已知邏輯函數(shù)Y真值表以下，試畫(huà)出Y卡諾圖。解：(1)

畫(huà)3變量卡諾圖。ABCY00010010010101101001101011011110ABC0100011110

6

7

5

4

2

3

1

0m0m2m4m6

1

1

1

1(2)找出真值表中Y=1

對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)，在卡諾圖對(duì)應(yīng)方格中填1，其余不填。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法已知一般表達(dá)式畫(huà)函數(shù)卡諾圖解：(1)

將邏輯式轉(zhuǎn)化為與或式(2)

作變量卡諾圖找出各與項(xiàng)所對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)方格填1，其余不填。[例]已知Y=A'D+((AB)'

(C+(BD)')'，試畫(huà)出Y卡諾圖。ABABCD0001111000011110(3)

依據(jù)與或式填圖

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

AB對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿(mǎn)足A=1，B=1方格BC'D對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿(mǎn)足B=1，C=0，D=1方格A'D對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿(mǎn)足A=0，D=1方格廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院

3.用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法（1）化簡(jiǎn)依據(jù)

在卡諾圖中，最小項(xiàng)相鄰性能夠從圖形中直觀地反應(yīng)出來(lái)。經(jīng)過(guò)把卡諾圖上表征相鄰最小項(xiàng)相鄰小方格“圈”在一起進(jìn)行合并，到達(dá)用一個(gè)簡(jiǎn)單“與”項(xiàng)代替若干最小項(xiàng)目標(biāo)。----含有相鄰性最小項(xiàng)可合并，并消去不一樣因子。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院（2）合并最小項(xiàng)規(guī)則2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法

兩個(gè)相鄰小方格能夠合并成一項(xiàng)，且消去一個(gè)變量。11A′B′C+AB′C11A′C'11ABABC0001111001=B′C(A′+A)=B′C消去取值不一樣變量取，保留取值相同變量。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法4（22）個(gè)相鄰小方格可合并成一項(xiàng)，且消去兩個(gè)變量。ABC0001111001

1111ABC00011110011111ABC0001111001

1

11

1CA′C′廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法ABCD00011110000111104（22）個(gè)相鄰小方格可合并成一項(xiàng)，且消去兩個(gè)變量。1111B′D′廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法8（23）個(gè)相鄰小方格可合并成一項(xiàng)，且消去3個(gè)變量。ABCD000111100001111011111111ABCD0001111000011110111111112n個(gè)相鄰小方格可合并成一項(xiàng)，且消去n個(gè)變量。C′B′廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院（3）卡諾圖化簡(jiǎn)步驟2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法

ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

畫(huà)函數(shù)卡諾圖

將各圈分別化簡(jiǎn)對(duì)填1相鄰最小項(xiàng)方格畫(huà)包圍圈

將各圈化簡(jiǎn)結(jié)果邏輯加

畫(huà)包圍圈規(guī)則包圍圈必須包含2n個(gè)相鄰1方格，且必須成矩形。先圈大再圈小，圈越大越好；1方格可重復(fù)圈，但須每圈有新1；每個(gè)“1”格須圈到，孤立項(xiàng)也不能遺漏。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)畫(huà)變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖

1

1

1

1

1

1

1

1(3)畫(huà)包圍圈dcba(4)將各包圍圈分別化簡(jiǎn)Yc

=BCD孤立項(xiàng)Yd=AB′C′DYb

=

A′BYa

=

A′D′(5)將各圈化簡(jiǎn)結(jié)果相加，得最簡(jiǎn)與或式廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法解：(1)畫(huà)變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖

1

1

1

1

1

1

1

1(4)求最簡(jiǎn)與或式

Y

=

1(3)畫(huà)包圍圈廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法找

AB

=11,C

=

1

公共區(qū)域找

A

=

1,

CD

=

01

公共區(qū)域找

B

=

1,

D

=

1

公共區(qū)域解：(1)畫(huà)變量卡諾圖ABCD0001111000011110(2)填圖

1

1(4)化簡(jiǎn)(3)畫(huà)圈[例]用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)0011m30100m4

1

1

1

1

1

1

1

1要畫(huà)嗎？Y=例：0001111001ABC廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法

1

1

1

1

1

1

1

1例：0001111001ABC廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法

1

1

1

1

1

1Y=例：0001111001ABC廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法

1

1

1

1

1

1Y=化簡(jiǎn)結(jié)果不唯一廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法[例]已知某邏輯函數(shù)卡諾圖以下列圖所表示，試寫(xiě)出其最簡(jiǎn)與或式。ABCD0001111000011110

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1Y=廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法[例]已知某邏輯函數(shù)卡諾圖以下列圖所表示，試寫(xiě)出其最簡(jiǎn)與或式。ABCD0001111000011110

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0方格極少且為相鄰項(xiàng)，故用圈0法先求Y′

最簡(jiǎn)與或式。當(dāng)0數(shù)目遠(yuǎn)少于1數(shù)目且相鄰時(shí)，采取圈0方法有時(shí)會(huì)比圈1來(lái)得簡(jiǎn)單。2.7含有沒(méi)有關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)一、約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中無(wú)關(guān)項(xiàng)廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院約束----指在一些邏輯函數(shù)中，輸入變量取值不是任意，有一定限制（約束），即有些取值是不允許出現(xiàn)。比如：在8421BCD碼中，1010~1111這6種代碼是不允許出現(xiàn)，這6種取值所對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)就為約束項(xiàng)。約束項(xiàng)----指不允許出現(xiàn)輸入變量取值組合所對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)。約束項(xiàng)值恒等于0。

通慣用約束條件來(lái)描述約束詳細(xì)內(nèi)容，約束條件用一個(gè)值恒為0條件等式表示。2.7含有沒(méi)有關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院任意項(xiàng)-----輸入變量一些取值組合根本不存在，或者一些取值組合也確實(shí)存在，但它存在對(duì)邏輯函數(shù)輸出沒(méi)有任何影響。比如：

A、B

為連動(dòng)互鎖開(kāi)關(guān)，設(shè)開(kāi)為

1

,

關(guān)為

0,

則

AB

只能取值

01

或

10

,

不會(huì)出現(xiàn)

00

或11。

無(wú)關(guān)項(xiàng)-----約束項(xiàng)和任意項(xiàng)都能夠?qū)懭牒瘮?shù)式中，也可不包含在函數(shù)式中，所以統(tǒng)稱(chēng)為無(wú)關(guān)項(xiàng)。

無(wú)關(guān)項(xiàng)在卡諾圖和真值表中用“”“

”來(lái)標(biāo)識(shí)，在邏輯式中則用字母d

和對(duì)應(yīng)編號(hào)表示。

2.7含有沒(méi)有關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院二、無(wú)關(guān)項(xiàng)在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)中應(yīng)用對(duì)含有沒(méi)有關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)來(lái)講，其無(wú)關(guān)項(xiàng)取值不論是1或0，都不會(huì)影響原函數(shù)邏輯功效，因而，將這類(lèi)邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，能夠利用其無(wú)關(guān)項(xiàng)使邏輯函數(shù)得到深入化簡(jiǎn)。

化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)視需要將無(wú)關(guān)項(xiàng)方格看作

1或

0

，使包圍圈最少而且最大，從而使結(jié)果最簡(jiǎn)。廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.7含有沒(méi)有關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)解：(1)畫(huà)變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)

Y=∑m(0,1,4,6,9,13)+∑d(2,3,5,7,10,11,15)ABCD00011110000111

10(2)填圖