《步步高 學案導學設計》2023-2023學年高中數(shù)學蘇教版選修1-2【備課資源】2.2.1

§2.2直接證明與間接證明2．2.1直接證明一、根底過關1．a(chǎn)，b，c∈R，那么以下命題中正確的選項是________．①假設a>b，那么ac2>bc2②假設eq\f(a,c)>eq\f(b,c)，那么a>b③假設a3>b3且ab<0，那么eq\f(1,a)>eq\f(1,b)④假設a2>b2且ab>0，那么eq\f(1,a)<eq\f(1,b)2．A、B為△ABC的內(nèi)角，A>B是sinA>sinB的________條件．3．直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出以下四個命題：①假設α∥β，那么l⊥m；②假設l⊥m，那么α∥β；③假設α⊥β，那么l⊥m；④假設l∥m，那么α⊥β.其中正確命題的個數(shù)是________．4．設a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，那么必有__________成立．①1≤ab≤eq\f(a2＋b2,2)②ab<1<eq\f(a2＋b2,2)③ab<eq\f(a2＋b2,2)<1④eq\f(a2＋b2,2)<ab<15．a(chǎn)，b為非零實數(shù)，那么以下四個條件中使不等式：eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≤－2成立的一個充分不必要條件是________．①ab>0②ab<0③a>0，b<0④a>0，b>0二、能力提升6．設0<x<1，a＝eq\r(2x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)，那么a、b、c的大小關系為________．7．設a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，那么a，b，c的大小關系為________．8．p＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，那么p、q的大小關系為________．9．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，求實數(shù)a，b的取值范圍．10．設a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋211．a(chǎn)>0，eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1，求證：eq\r(1＋a)>eq\f(1,\r(1－b)).三、探究與拓展12．a(chǎn)、b、c是不全相等的正數(shù)，且0<x<1.求證：logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc.答案1．③2．充要3．24．②5．③6．a(chǎn)<b<c7．a(chǎn)>c>b8．p>q9．解aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)?aeq\r(a)－aeq\r(b)>beq\r(a)－beq\r(b)?a(eq\r(a)－eq\r(b))>b(eq\r(a)－eq\r(b))?(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0?(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))2>0，只需a≠b且a，b都不小于零即可．即a≥0，b≥0，且a≠b.10．證明方法一3a3＋2b3－(3a2b＋2ab＝3a2(a－b)＋2b2(b－a＝(3a2－2b2)(a－b)．因為a≥b所以a－b≥0,3a2－2b2從而(3a2－2b2)(a－b)≥所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab方法二要證3a3＋2b3≥3a2b＋2ab只需證3a2(a－b)－2b2(a－b)≥只需證(3a2－2b2)(a－b)≥∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2∴上式成立．11．證明由eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1及a>0可知0<b<1，要證eq\r(1＋a)>eq\f(1,\r(1－b))，只需證eq\r(1＋a)·eq\r(1－b)>1，只需證1＋a－b－ab>1，只需證a－b－ab>0即eq\f(a－b,ab)>1，即eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1，這是條件，所以原不等式得證．12．證明要證logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc，只需證logx(eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2))<logx(abc)．由0<x<1，得只需證eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)>abc.由公式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)>0，eq\f(b＋c,2)≥eq\/