傳染病最簡單模型

傳染病最簡單模型：巳感染人數(shù)(病人)x(t),每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為入有 x(t+A?)—x(t)=Xx(t)At 又設(shè)x(0)=工。，得微分方程~^=Xx解得x(t)=x0e舄SI模型：區(qū)分巳感染者(病人)和未感染者(健康人)?？?cè)藬?shù)N不變，入為日接觸率，病人和健康人的比例分別為i(t),s(t)。則有d=XS"又有s(t)+i(t)=1。所以有d=Xi(l一社，i(0)=%。"、 1 1a求解出i(t)=——i ，傳染速度最快時刻為t=A-1ln(-—1)1+(-—1)e上 m\i0SIS模型：傳染病無免疫性?？?cè)藬?shù)N不變，病人的日接觸率為A，病人和健康人的比例分別為i(t),s(t)，接觸數(shù)b(感di染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù))。病人日治愈率為U，所以有Nd=ANsi—UNi… di 1…由s(t)+i(t)=1，。=入/日，就推出了=-切—(1—)］。dt bSIR模型：為A，病人日治愈率為U傳染病有免疫性。總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為i(t)，s(t)為A，病人日治愈率為U，接觸數(shù)b=A/U。且有s(t)+i(t)+r(t)=1。則有di—=Asi—Uidtds =—Asis0因通常r(0)=r0很小，故i0+s0因通常r(0)=r0很小，故i0+s0牝0。推出i(0)=i0，s(0)經(jīng)濟增長模型；1)道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)Q(t)，K(t)，L(t)，f0分別表示某地區(qū)在t時刻的產(chǎn)值、資金、勞動力和技術(shù)。靜態(tài)模型令z=Q/L，y=K/L，則z是每個勞動力產(chǎn)值，y是每個勞動力投資。由于z隨y增加而增長，但增速遞減。Z=Q/L=指(^)g(y)=ya, 0<a<1 Q=fL(K/L)a|'：Q(K,L)=fKaL1-a1 0 此為Douglas生產(chǎn)函數(shù)。更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)為Q(K,L)=fKaL,0<a,"1,f>02)資金與勞動力的最佳分配(靜態(tài)模型)S=Q-rK-wL資金來自貸款，利率r,勞動力付工資w,資金和勞動力創(chuàng)造的效益為資金與勞動力的分配比例K/L(每個勞動力占有的資金)，使效益S最大.Q r―『=——Q vvL ,% 推出awL1—otr3)經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長的條件投資增長率與產(chǎn)值成正比dK(動態(tài)模型)——=XQX>0dt,勞動力相對增長率為常數(shù)。地r地r業(yè)+有dr"dr它的解為y=fey01此為Bernoulli方程,L—[i

|Ll(1K日一Ko1匕D—)C-(1-oc)piz]>一般戰(zhàn)爭模型y(t)?乙方兵力，甲乙雙方的增援率為y(t)?乙方兵力，甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)。每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比.。則有，戲/)=f(x,y)—以工+a>0正規(guī)戰(zhàn)爭模型；雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)，f(x,y)=P—ay—otx+〃(/)

［炒-foe-py+V(O〔做，正規(guī)戰(zhàn)爭模型；雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)，f(x,y)=P—ay—otx+〃(/)

［炒-foe-py+V(Oay,a?乙方每個士兵的殺傷率，a=rypy,ry?射擊率，py?命中率g=-bx,b=rpXX,忽略非戰(zhàn)斗減員就有jSc=-ay匚|<j&=—bx工(0)=x,y(0)=0游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)，甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加，f(x,y)=cxy,c~乙方每個士兵g(x,y)=-dxy,d=rp=rsIs的殺傷率，C=rP,r~射擊率P?命中率， xxX小y,忽略yyy y非戰(zhàn)斗減員-cxy)&=-dxyi(