八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 期中精選試卷易錯(cuò)題(Word版 含答案)

八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中精選試卷易錯(cuò)題(Word版含答案)八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形解答題壓軸題(難)1.如圖,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF丄CB,垂足為F?求證：△ABC雯△ADE；求ZFAE的度數(shù);【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)ZFAE二135。:(3)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】根據(jù)己知條件易證zBAC=ZDAE,再由AB=AD,AE=AC，根據(jù)SAS即可證得△ABC纟△ADE；已知ZCAE=90°,AC=AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得ZE=45°，由(1)知厶BAC雯△DAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得ZBCA=ZE=45°,再求得ZCAF=45°,由ZFAE=ZFAC+ZCAE即可得ZFAE的度數(shù);(3)延長(zhǎng)BF到G,使得FG=FB,易證△AFB竺△AFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB=AGrZABF=ZG,再由△BAC竺△DAEr可得AB=ADzZCBA=ZEDArCB=EDr所以AG=AD,ZABF=ZCDAf即可得ZG=ZCDAf利用AAS證得△CGA^△CDAr由全等三角形的性質(zhì)可得CG=CD,所以CG二CB+BF+FG二CB+2BF二DE+2BF?【詳解】(1)?/ZBAD=ZCAE=90°#???ZBAC+ZCAD=90°zZCAD+ZDAE=90°r???ZBAC=ZDAE#在厶BAC和厶DAE中,AB=AD<ZBAC=ZDAE,AC=AE???△BAC雯△DAE(SAS)；(2)JZCAE=90°rAC=AEr???ZE=45°#由(1)知厶BAQaDAEr???ZBCA=ZE=45°,???AF丄BCr???ZCFA=90°r.??zCAF=45°,???ZFAE=ZFAC+ZCAE=45o+90o=135°；(3)延長(zhǎng)BF到G,使得FG=FB,???AF丄BG,.??zAFG=ZAFB=90°#在厶AFB和厶AFG中，BF=GFZAFB=ZAFG,AF=AF???△AFB雯△AFG(SAS),AB=AGrZABF=ZG#???△BAC雯△DAEr???AB=ADrZCBA=ZEDArCB=ED,???AG=ADrZABF=ZCDAr???ZG=ZCDA,在厶CGA和厶CDA中，ZGCA=ZDCAZCGA=ZCDA,AG=AD???△CGA雯△CDA,???CG=CD,???CG二CB+BF+FG二CB+2BF二DE+2BF,???CD=2BF+DE?【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解決第3問(wèn)需作輔助線，延長(zhǎng)BF到G,使得FG=FB,證得△CG臉△CDA是解題的關(guān)鍵?2.如圖，/\ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線GF交AC于F,交&C的平行線BG于G點(diǎn)，DE丄DF,交于點(diǎn)E,連結(jié)EG.EF?(1)求證：BG=CF；(2)請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.【解析】(2)BE+CF>EF,【解析】(2)BE+CF>EF,證明詳見(jiàn)解析【分析】先利用ASA判定△EGD^aCFD,從而得出BG=CF：利用全等的性質(zhì)可得GD=FD,再有DE丄GF,從而得到EG=EF,兩邊之和犬于第三邊從而得出EE+CF>EF?【詳解】解:(1)TBG〃&C,:.ZDBG=ZDCF.???D為BC的中點(diǎn),:.BD=CD又???ZBDG=ZCDF,在△BGD與中,ADBG=ZDCFBD=CDZBDG=乙CDF:./\BGD^/\CFD(ASA)?:.BG=CF?(2)BE+CF>EF??:HBGD空/\CFD,:?GD=FD,BG=CF?又TDE丄FG,???EG=EF(垂直平分線到線段端點(diǎn)的距離相等).???在AEBG中，BE+BG>EG.即BE+CF>EF?【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL.如圖1,在MBC中，ZACB=90J,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且4D丄伽

于點(diǎn)￡）,BE丄MN于點(diǎn)、E?易得￡>E=AD+BE（不需要證明）?（1）當(dāng)直線MV繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，其余條件不變，你認(rèn)為上述結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫出此時(shí)DE、AD.施之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，其余條件不變，請(qǐng)直接寫岀此時(shí)【分析】⑴DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是DE=AD-BE.由垂直的性質(zhì)可得到ZCAD=ZBCE,證得AACD^ACBE,得到AD=CE,CD=BE,即有DE=AD-BE：（2）DE、AD、BE之間的關(guān)系是DE=BE-AD.證明的方法與⑴一樣.【詳解】（1）不成立.DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是DE=AD-BE,理由如下：如圖，AZACD+ZCAD^O0,又ZACD+ZBCE=9O0,AZCAD=ZBCE,在AACD和ZkCBE中，ZADC=ZCEB=90°<ZCAD=ZBCEAC=CB???△ACD空△CBE(AAS),AAD=CE,CD二BE,ADE=CE-CD=AD-BE；(2)結(jié)論：DE=BE-AD.VZACB=90°,BE丄CE,AD丄CE,AC=CB,AZACD+ZCAD=90°,又ZACD+ZBCE=9(T,AZCAD=ZBCE,在AACD和ACBE中，ZADC=ZCEB=90°<ZCAD=ZBCE,AC=CB?'?△ADC竺△CEB(AAS),AAD=CE,DUBE,ADE=CD-CE=BE-AD.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形全等的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角.在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)?作射線4Q,點(diǎn)B關(guān)于射線4D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E?連接CE并延長(zhǎng)，交射線AD于點(diǎn)尸??AE與AC的數(shù)量關(guān)系是:②設(shè)ZBAF=a,用&表示ZBCF的大??；(2)如圖，用等式表示線段AF>CF,E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證嘰【答案】⑴?AB=AE；②ZBCF"；⑵AF-EF=CF,理由見(jiàn)詳解.【解析】【分析】(1〉①根據(jù)軸對(duì)稱性，即可得到答案；②由軸對(duì)稱性，得：AE=AB,ZEAF=ZEAF=Q,由厶ABC是等邊三角形，得AB=AC,ZEAC=ZACE=60。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180。，即可求解；(2)作ZFCG=60"交AD于點(diǎn)G,連接BF,易證AFCG是等邊三角形，得GF=FC,再證AACG^ABCF(SAS),從而得AG=BF,進(jìn)而可得到結(jié)論.【詳解】①???點(diǎn)B關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,??.AB和AE關(guān)于射線AD的對(duì)稱，AAB=AE.故答案是:AB=AE；②???點(diǎn)B關(guān)于射線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,AAE=AB,ZBAF=ZEAF=G,???^ABC是等邊三角形，.??AB=AC,ZBAC=ZACB=60°,AZEAC=60''-20!,AE=AC,???ZACE=*[180_(60_2q)]=60+a,AZBCF=ZACE-ZACB=60+67-60°=Q.AF-EF=CF,理由如下:作ZFCG=60°交AD于點(diǎn)G,連接EF,VZBAF=ZBCF=<?,ZADB=ZCDF,AZABC=ZAFC=60:>,AAFCG是等邊三角形，.??GF=FC,???^ABC是等邊三角形，ABC=AC,ZACE=60,???ZACG=ZECF=d.在AACG和ABCF中,CA=CB???ZACG=ZBCF,CG=CFAAACG^ABCF(SAS),/?AG=BF,???點(diǎn)B關(guān)于射線4D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,/.AG=BF=EF,VAF-AG=GF,AAF-EF=CF.【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)定理，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵.5.已知：AABC,ZA=45‘，ZACB=90'f點(diǎn)D是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD=>/2+2,?M是線段CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BM,延長(zhǎng)MB到H,使得=以點(diǎn)B為中心，將線段BH逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，得到線段BQ,連接AQ.（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：ZABQ=ZAMB；（3）點(diǎn)N是射線AC上一點(diǎn)，且點(diǎn)/V是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)，連接B/V,如果QA=BN,求線段AB的長(zhǎng).ACD【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析：（3）=【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可以補(bǔ)全圖形：（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即町證明；(3)作QE丄AB,根據(jù)AAS證得?QEB=^BCM,根據(jù)HL證得Rf?QEA三Rt@BCN,設(shè)法證得AB=2CD,設(shè)AC=BC=x,則AB二忑x，CD=—x＞結(jié)合已知4D=JI+2，構(gòu)建方程即可求解.2【詳解】(D補(bǔ)全圖形如下圖所示：解：TZABH是@ABM的一個(gè)外角，???ZABH=ZBAM+ZAMB???ZABH=ZHBQ+ZABQ又???乙HEQ=ZBAM=45°.?.ZABQ=ZAMB過(guò)Q作QE丄AB,垂足為E,如下圖:???QE丄AB.?.ZQEB=ZBCM=90°,ZQEB=ZBCM在@QEB和?ECM中,<ZQBE=ZBMCQB=BM.?.?QEB=^BCM(AAS)???EB=CM,QE=BC,在R2QEA和RgBCN中?:QE=BC,QA=EN:.Rt^QEA=R2BCN（HL）:.AE=CN=CM+MD+DN*?*點(diǎn)N是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)，???MD=DN???AE=CM+2MD=EB+2MD??.AB=AE+EB=2EB+2MD=2（EB+MD）=2CD設(shè)AC=BC=x,則AB"x，CD=—x>2又?:AD=4^+2,AD=AC+CD=x+—x2：?X+^-X=y/2+22解得：x=2???AE=2忑【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).熟悉全等三角形的判定方法以及正確作出輔助線、構(gòu)建方程是解答的關(guān)鍵.二、八年級(jí)數(shù)學(xué)軸對(duì)稱解答題壓軸題（難）6.在等邊AABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，DCD4（如圖1）.⑴求證：ZBAD=ZEDC,（2）若點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為M（如圖2）,連接DM,AM.求證：DA=AM.【答案】（1）見(jiàn)解析：（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出ZBAC=ZACB=60°,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和和外角性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可.（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，町得DH二DA,然后結(jié)合（1）可得ZMDC=ZBAD,然后根據(jù)三角

形的內(nèi)角和，求出ZADM二60°即可.【詳解】解：⑴如圖］,AABC是等邊三角形，AZBAC=ZACB=6Q°,:.ZBAD=60Q-ZDAE,ZEDC=60Q?Zf,又?:DE二DA,:.ZE=ZDAE,:.ZBAD=ZEDC.(2)由軸對(duì)稱可得，DM=DE,ZEDC=ZMDC,?:DE=DA,:.DM=DA9由⑴可得，ZBAD=ZEDC,:.ZMDC=ZBAD.AABD中，ZBAD^ZADB=180°?Z8=120°,:.ZMDC^ZADB=120Q,:.ZADM=60\??.△ADM是等邊三角形，:.AD=AM.【點(diǎn)睛】本題主要考察了軸對(duì)稱和等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì).7.如圖1,在ZUBC中,ZACB=90l>,AC=-BC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AB二DE,BE//AC.2求證：/\ABC竺ADEB；連結(jié)4D、AE、CE,如圖2.求證：CE是ZACB的角平分線：請(qǐng)判斷△ABE是什么特殊形狀的三角形，并說(shuō)明理由.圖1圖2【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)①詳見(jiàn)解析；②△ABE是等腰三角形，理由詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】由AC//BE,ZACB=90°可得ZDBE=90%由AC二丄BC,D是BC中點(diǎn)可得AC二BD,利用2HL即可證明aABC^ADEB；(2)①由(1)得BE=BC,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得ZBCE=45°,進(jìn)而可得ZACE=45°,即可得答案;②根據(jù)SAS可證明△ACE竺ZXDCE,可得AE=DE,由AB=DE可得AE=AB即可證明ZkABE是等腰三角形.【詳解】(1)VZACB=90°,BE〃AC???ZCBE=90°AAABC和ADEB都是直角三角形TAC二-BC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)2???AC=BD又TAB二DE???△ABC絲ADEB(H.L.)①由(1)得：aABC^ADEB???BC=EB又VZCBE=90°:.ZBCE=45°:.ZACE=90<,-45°=45°AZBCE=ZACE???CE是ZACB的角平分線②AABE是等腰三角形，理由如下：AC=DC在MCE和ADCE中<AACE=ZBCECE=CEAAACE^ADCE(SAS)?AAE=DE又TAB二DEAAE=AB???△ABE是等腰三角形

圖2圖2【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的判斷與性質(zhì)，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵.已知'ABC?在圖①中用直尺和圓規(guī)作出zB的平分線和邊的垂直平分線交于點(diǎn)0(保留作圖痕跡，不寫作法).在(1)的條件下，若點(diǎn)D、E分別是邊BC和43上的點(diǎn)，且CD=BE,連接OD、OE求證：OD=OE；如圖②，在(1)的條件下，點(diǎn)E、F分別是AB.FC邊上的點(diǎn)，且的周長(zhǎng)等于BC邊的長(zhǎng)，試探究ZABC與ZEOF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.ZABC+2ZEOF=180，理由見(jiàn)解析.ZABC+2ZEOF=180，理由見(jiàn)解析.(3)ZABC與ZEOF的數(shù)量關(guān)系是【解析】【分析】利用基本作圖作ZABC的平分線；利用基本作圖作BC的垂直平分線，即可完成：如圖，設(shè)BC的垂直平分線交BC于G,作0H丄AB于H,用角平分線的性質(zhì)證明OH=OG,BH=BG,繼而證明EH=DG,然后可證明△OEH三氐ODG,于是可得到OE=OD：作OH丄AB于H,0G丄CB于G,在CB上取CD=BE,利用(2)得到CD=BE,\OEH=\ODG,OE=OD,AEOH=ZDOG,ZABC+ZHOG=180證明ZEOD=AHOG敝有ZABC+ZEOD=180,由厶3￡尸的周長(zhǎng)=BC可得到DF=EF,于是可證明NOEF=\OGF，所以有AEOF=ZDOF,然后可得到ZABC與ZEOF的數(shù)量關(guān)系.【詳解】解：(1)如圖，就是所要求作的圖形；(2)如圖，設(shè)BC的垂直平分線交BC于G,作OH丄AB于H,???BO平分ZABC,OH丄AB,OG垂直平分BC,AOH=OGtCG=BG,VOB=OB,???\OBH=\OBG,ABH=BG,VBE=CD,/?EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG,在△OEH和AODG中，OH=OG<ZOHE=ZOGD=9Q',EH=DG??.\OEH=\ODG,AOE=OD.（3）ZABC與ZEOF的數(shù)量關(guān)系是ZABC+2ZEOF=180,理由如卞;如圖②，作OH丄AB于H,OG丄CB于G,在CB上取CD二BE,由(2)可知，因?yàn)镃D二BE,所以△OEH=\ODG且OE=OD,

???AEOH=ZDOG,ZABC+乙HOG=180,???ZEOD=ZEOG+ZDOG=ZEOG+ZEOH=AHOG,???ZABC+ZEOD=1SO\VA3EF的周長(zhǎng)=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BCADF=EF,在厶OEF和厶OGF中，OE=OD<EF=FD,OF=OF???\OEF=\OGF,:.ZEOF=ADOF,:?ZEOD=2ZEOF,???ZABC+2ZEOF=ISQ.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，還考查了基本作圖.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)作出輔助線是解題關(guān)鍵，屬綜合性較強(qiáng)的題目，有一定的難度，需要有較強(qiáng)的解題能力.如圖1,在aASC中，ZBAC=90°，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)、,連接BD,點(diǎn)E為BD上一點(diǎn)，連接CE，ZCED=ZABD,過(guò)點(diǎn)A作4G丄CE,垂足為G,交ED于點(diǎn)⑴求證：ZFAD=2ZABDx(2)如圖2,若AC=CE，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，求證：AB=AC；⑶在⑵的條件下，如圖3,若EF=3,求線段DF的長(zhǎng).【答案】(1)詳見(jiàn)解析：(2)詳見(jiàn)解析：(3)6【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得ZADB=90°-ZABD，ZEFG=90?！猌CED，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和和已知條件即可推出結(jié)論：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和已知條件可得進(jìn)而可得4尸=4￡>，ABFA=Z.CDE，然后即可根據(jù)AAS證明AABF^/^CED,可得AB=CE,進(jìn)一步即可證得結(jié)論；（3）連接4E，過(guò)點(diǎn)4作4H丄肚交〃￡）延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接CH,如圖4.先根據(jù)已知條件、三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)推出ZAED=45°,進(jìn)而可得AE=AH＞然后即可根據(jù)SAS證明氐A(chǔ)BESMCH,進(jìn)一步即可推出ZCHD=90°,過(guò)點(diǎn)4作4K丄￡￡＞于K,易證MKD竺ZkCHD,可得￡＞K=DH，然后即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推得DF=2EF,問(wèn)題即得解決.【詳解】（1）證明：如圖1,-ZBAC=90°,:.ZADB=9Q°-ZABD,-AG丄CE,.\ZFGE=90°,ZEFG=ZAFD=90°-ZCED,:.ZFAD=180。—ZAFD-ZADF=ZCED+ZABD,???/CED=ZABD,.?.ZF'AD=2ZABD;Wl證明：如圖2,ZAFD=90?！猌CED,ZADB=90°-ZABD,ZCED=ZABD，.\ZAFD=ZADF,:.AF=AD^ZBFA=ZCDE,???點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，???AD=CD,AF=CDAABF\CED(AAS),:.AB=CE,vCE=AC,:.AB=AC；(3)解：連接AE,過(guò)點(diǎn)A作AH丄AE交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接CH,如圖4.?SAC=90。，/.ZBAE=ZCAH,設(shè)ZABD=ZCED=a,則ZFAD=2a,ZACG=90?！?a,?：CA=CE,ZAEC=ZEAC=45。+a,.\ZAED=45°,/.ZAHE=45°,:.AE=AH?:AB=AC,??仏ABE空\(chéng)ACH(SAS),ZAEB=ZAHC=135。，?.ZCHD=90°,過(guò)點(diǎn)4作4K丄劭于K,:.ZAKD=ZCHD=90°,-AD=CD,ZADK=ZCDH,:.\AKD竺氐CHD(AAS),DK=DH,???AK丄DF,AF=AD.AE=AHy.?.FK=DK,EK=HK,???DH=EF=3、???DF=6?【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，考查的知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)、難度較大，正確添加輔助線、構(gòu)造等腰直角三角形和全等三角形的模型、靈活應(yīng)用上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵.如圖，在“WC中，已知AB=AC,AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）若乙BAD=3T，求ZACB的度數(shù)；（2）若BC=6、4D=4，AB=5,且CE丄AB時(shí)，求CE的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，請(qǐng)直接寫出BP+EP的最小值.2424【答案】（1）ZACB=5y.（2）CE=——?（3）——?55【解析】【分析】（1）由已知得出三角形ABC是等腰三角形，/ACB=/ABC,AD是EC邊的中線，有ADIBC,求出NAEC的度數(shù)，即可得出/ACB的度數(shù).（2）根據(jù)三角形ABC的面積可得出CE的長(zhǎng)②6’，②6’，(3)連接CP,有BP=CP,BP+EP=EPYP,當(dāng)點(diǎn)E,P,C在同一條直線上時(shí)EP+EP有最小值，即CE的長(zhǎng)度.【詳解】解：⑴?/AB=AC,.?.ZACB=ZABC,?：AD是BC邊上的中線，ZADB=90,???ZBAD=37,:.ZA3C=90°—37°=53°,:.ZACB=5y.(2)?.?CE丄AB,S”abc=—BC?AD=—AB?CE,22BC=6,AD=49AB=5,3【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)主要有等腰三角形的“三線合一”，三角形的面枳公式等，充分利用等腰三角形的''三線合一”是解題的關(guān)鍵.三、八年級(jí)數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解解答題壓軸題(難)因式分解是多項(xiàng)式理論的中心內(nèi)容之一，是代數(shù)中一種重要的恒等變形，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)不可缺少的基礎(chǔ)知識(shí).在初中階段，它是分式中研究約分、通分、分式的化簡(jiǎn)和計(jì)算的基礎(chǔ)：利用因式分解的知識(shí)，有時(shí)可使某些數(shù)值計(jì)算簡(jiǎn)便.因式分解的方法很多，請(qǐng)根據(jù)提示完成下面的因式分解并利用這個(gè)因式分解解決提出的問(wèn)題.填空：■■X4+-=(X2Y+X2+-一亍=()2_兀2=()()4L4_64+#=(6，『+()+扌］-_=()()=()x()(叫加弓解決問(wèn)題，計(jì)算：)——7X7——H(.1)<.1)對(duì)+X+—12丿<2丿【答案】⑴①V,(1\62+-+6,6(1\62+-+6,62+--612丿12丿【解析】42.5,30.5:(2)1457T【分析】(1)根據(jù)完全平方公式和平方差公式計(jì)算可得;(2)利用前面所得規(guī)律變形即門J?【詳解】(1)+—-6(1)+—-6=42.5x30.5x2+x+-x2+x+-②62，42.5,30.5:1V62+6+-1V62+6+-2丿I42.5x303x72.5x56.5_30.5x20.5x56.5x42.5145【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用；熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵.12?閱讀下列因式分解的過(guò)程，再回答所提出的問(wèn)題:l+x+x(x+l)+x(x+l「=(l+x)[l+x+x(l+x)]=(l+x)~(l+x)=(1+x)'.上述分解因式的方法是法.分解1+X+x(x+1)+x(x+1)'+…+x(x+1)2019的結(jié)果應(yīng)為?分解因式：l+x+x(x+l)+x(x+l)‘+???+x(x+l)".【答案】(1)提公因式；(2)(1+X)2020；(3)(1+X廠【解析】【分析】用的是提公因式法；按照(1)中的方法再分解幾個(gè)，找了其中的規(guī)律，即可推測(cè)出結(jié)果；.由(2)中得到的規(guī)律即可推廣到一般情況.【詳解】解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法.(2)1+X+X(X+1)+X(X+1)-+X(X+1『=(1+A)34-X(X4-l)3=(l+X)41+X+X(X+1)4-X(A4-1)~+X(X+l)3+x(l+=(1+X)44-X(A+1)"=(1+X)'由此可知l+x+x(x+l)+x(x+1)'+???+x(x+1)2019=(1+x)""(3)原式=(l+x)[l+x+x(x+1)]+x(x+1)3+...+x(x+l)n,=(1+x)2(1+x)+x(x+1)3+...+x(x+1)n,=(1+x)3+X(1+X)3+...+X(1+x)n,=(1+x)n+x(x+1)n,=(1+x)n+1.【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法分解因式，找出整式的結(jié)構(gòu)規(guī)律是關(guān)鍵，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.已知一個(gè)三位自然數(shù)，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和，則稱這個(gè)數(shù)為“和數(shù)”，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的平方差，則稱這個(gè)數(shù)為“諧數(shù)”.如果一個(gè)數(shù)即是"和數(shù)”，又是“諧數(shù)”，則稱這個(gè)數(shù)為“和諧數(shù)”.例如321,???3=2+1,???321是“和數(shù)”，???3=2=1’，二321是“諧數(shù)”，二321是“和諧數(shù)”.(1)最小的和諧數(shù)是—，最大的和諧數(shù)是—；(2)證明：任意“諧數(shù)”的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)：(3)已知〃?=10b+3c+817(0<Z?<7,l<c<4,且也c均為整數(shù))是一個(gè)“和數(shù)”,請(qǐng)求出所有加.【答案】(1)110；954；(2)見(jiàn)解析；(3)m=880或853或826.【解析】

【分析】根據(jù)“和數(shù)"與“諧數(shù)”的概念求解可得：設(shè)“諧數(shù)"的百位數(shù)字為X、十位數(shù)字為y,個(gè)位數(shù)字為z,根據(jù)"諧數(shù)"的概念得x=y2-z2=(y+z)(y-z),由x+y+z=(y+z)(y-z)+y+z=(y+z)(y-z+1)及y+z、y-z+1必然一奇一偶可得答案；先判斷出2<b+2<9x10<3c+7<19,據(jù)此可得m=10b+3c+817=8xl00+(b+2)xlO+(3c-3),根據(jù)“和數(shù)"的概念知8=b+2+3c-3,即b+3c=9,從而進(jìn)一步求解可得.【詳解】最小的和諧數(shù)是110,最大的和諧數(shù)是954.設(shè)：“諧數(shù)”的百位數(shù)字為兀，十位數(shù)字為y,個(gè)位數(shù)字為z(l<x<9,0<y<9,0<z<9E)‘>Z且均為正數(shù))，由題意知，^=y2-z2=(y+z)(y-z)y+Z=(y+Z)(y-Z)+y+Z=(y+Z)(y-Z+1),zVy+z與)'一Z奇偶性相同，.?.y+z與y—z+l必一奇一偶，???(y+z)()'—z+i)必是偶數(shù)，???任意“諧數(shù)”的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)；V0<Z?<7,A2<Z?+2<9,V1<C<4,A3<3c<12,/.10<3c+7<19，/.〃?=817+10b+3c,=8xl00+(b+l)xl0+(3c+7)=8xl00+(Z?+2)xl0+(3c+7-10)=8xl00+(b+2)xl0+(3c—3),Tm為和數(shù)，8=Z?+2+3c—3,即b+3c=9,b=6b=3｛（或C或"c=2--rb=0c=3'?■、Am=880或853或826.【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意、熟練掌握“和數(shù)"與"諧數(shù)"的概念及整式的運(yùn)算.不等式的性質(zhì).對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)b的大小比較，有下面的方法：當(dāng)a—b>0時(shí)，一定有a>b,當(dāng)c/-b=O時(shí)，一定有a=b；當(dāng)a-bvO時(shí)，一定有ci<b.反過(guò)來(lái)也成立.因此，我們把這種比較兩個(gè)數(shù)大小的方法叫做"求差法".請(qǐng)根據(jù)以上材料完成下面的題目：已知：4=2Ty+8y,B=且A>B,試判斷V的符號(hào)；已知：a、b、c為三角形的三邊，比較a2+c2-b2和2oc的大小.【答案】⑴y>0：(2)a2+c2-b2<2ac【解析】【分析】根據(jù)題意得到2x2y+Sy-Sxy>Q,因式分解得到2y(x-2)‘>0,進(jìn)而得到y(tǒng)的符號(hào)即可：將a2+c2-b2和2ac作差，結(jié)合已知及三角形的兩邊之和人于第三邊可求.【詳解】解：(1)因?yàn)锳>B,所以A-B>0,即2x〉+8y_&yy>0,:.2y(x2+4-4.V)=2y(x-2)2>0,因?yàn)?x-2)訂0,Ay>0(2)因?yàn)閍2-b2+c2-2ac=a2-|-c2-2ac-b2=(a-c)2-b2=(a-c-b)(a-c+b),Ta+b>c,aVb+c,所以(a-c-b)(a-c+b)<0,所以a2-b2+c2-2ac的符號(hào)為負(fù).?°?a2+c2—b2<2ac【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較兩個(gè)式子的人小以及因式分解，解題的關(guān)鍵是理解題中的“求差法”比較兩個(gè)數(shù)的大小，并熟練掌握因式分解的方法.在現(xiàn)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代，密碼與我們的生活已經(jīng)緊密相連，密不可分.而諸如“123456”、生口等簡(jiǎn)單密碼又容易被破解，因此利用簡(jiǎn)單方法產(chǎn)生一組容易記憶的6位數(shù)密碼就很有必要了.有一種用“因式分解法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，如多項(xiàng)式：X3+2/-X-2因式分解的結(jié)果為(x-1)(x+l)(x+2),當(dāng)x=18時(shí)，x-1=17,x+l=19,x+2=20,此時(shí)可以得到數(shù)字密碼171920.根據(jù)上述方法，當(dāng)x=21,y=7時(shí)，對(duì)于多項(xiàng)式^-xy2分解因式后可以形成哪些數(shù)字密碼？(寫出兩個(gè))若多項(xiàng)式*+<m-3n)x2-nx-21因式分解后，利用本題的方法，當(dāng)x=27時(shí)可以得到其中一個(gè)密碼為242834,求m、門的值.【答案】(1)可以形成的數(shù)字密碼是：212814.21142&(2)m的值是56,n的值是

17.【解析】【分析】先將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，然后再根據(jù)數(shù)字密碼方法形成數(shù)字密碼即可；(2)設(shè)“+(m-3n)x2-nx-21=(x+p)(x+q)(x+r),當(dāng)x=27時(shí)可以得到其中一個(gè)密碼為242834,得到方程解出p、q、r,然后回代入原多項(xiàng)式即可求得m、n【詳解】x3-xy2=x(x2-y2)=x<x+y)(x-y),當(dāng)x=21,y=7時(shí)，x+y=28,x-y=14,???可以形成的數(shù)字密碼是:212814、211428；設(shè)*+(m-3n)x2-nx-21=(x+p)(x+q)(x+r),???當(dāng)x=27時(shí)可以得到其中一個(gè)密碼為242834,A27+p=24,27+q=28,27+r=34,解得，P~~3,Q—1?r=7,/.x3+(m-3n)x2-nx-21=(x-3)(x+1)(x+7),Ax3+(m-3n)x2-nx-21=x3+5x2-17x-21,m-3z?=5z=56一"=一17'八I?=17即m的值是56,"的值是17.【點(diǎn)睛】本題屬于閱讀理解題型，考查知識(shí)點(diǎn)以因式分解為主，本題第一問(wèn)關(guān)鍵在于理解題目中給到的數(shù)字密碼的運(yùn)算規(guī)則，第二問(wèn)的關(guān)鍵在于能夠?qū)⒃囗?xiàng)式設(shè)成(x+p)(x+q)(x+r),解出p、q、r四、八年級(jí)數(shù)學(xué)分式解答題壓軸題(難)TOC\o"1-5"\h\ziMX+1..2x已知：M=,N=.2x+l當(dāng)兀>0時(shí)，判斷M—N與0的關(guān)系，并說(shuō)明理由；設(shè)尸芻N?M當(dāng)尸3時(shí)，求X的值；若X是整數(shù)，求y的正整數(shù)值.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)①1；②4或3或1【解析】【分析】(1)作差后,根據(jù)分式方程的加減法法則計(jì)算即可；(2)(DffiM、N代入整理得到八解分式方程即可；2②把瘵形為：y=2+——,由于x為整數(shù)，y為整數(shù)z則x+l可以取±1,±2r然后——檢x+l

驗(yàn)即可?【詳解】(1)當(dāng)X>0時(shí)tM-N>0.理由如下：x+12x2x+1(x—l)-x+12x2x+1(x—l)-2(x+l)???x>Qt:.(x-l)2>or2(x+l)>0,???(「廠>0.M-N>0.2(x+l)(2)依題意，得：尸二+二=彳斗.X+lX+1X+1①當(dāng)y=3，即斗1=3時(shí)，解得：.經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，???當(dāng)尸3X+1時(shí)，X的值是1?②尸2x+4x+1②尸2x+4x+1-蘭—2+丄X+1X+12???X、y是整數(shù)，二一是整數(shù)，二X+1可以取±2?x+12當(dāng)x+l=l，即x=0時(shí)，y=2+-j-=4>02當(dāng)x+1…時(shí)，即2-2時(shí)，y=2-了=0(舍去);2當(dāng)x+l=2時(shí)，即x=l時(shí)，y=2+—=3>0;22當(dāng)x+l=-2時(shí)，即x=-3時(shí)，y=2+(—-)=1>0;—2綜上所述:當(dāng)*為整數(shù)時(shí)，y的正整數(shù)值是4或3或1.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法及解方式方程?確定x+1的取值是解答(2)②的關(guān)鍵.我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式，例如：-在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”?y—3V*2例如：像——，…這樣的分式是假分式；像一,x+3x-3x-3r—3—，???這樣的分式是真分式.類似的，假分式也可以化為整式與真分式的和(差)的形式.例如：將分式二蘭二2拆分成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和(差)的形式.

方法一：解：由分母為x+3,可設(shè)x'+2x-5=(x+3)(x+a)+b則由+2%-5=(x+3)(x+a)+b=x1+ax+3x+3a+b=+(a+3)x+(3a+b)對(duì)于任意X,上述等式均成立，@+3=2(a=-l???和;l解得初c[3a+b=-5[b=-2.x2+2_x_5_(x+3)(x-1)-2_(x+3)(x-1)2開]2x+3x+3x+3x+3x+3這樣，分式xh就被拆分成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式.x+3方法二：解：x2+2x-5x2+3x-x-3-2x2+2x-5x2+3x-x-3-2x(x+3)-(x+3)-2x(x+3)x+32x+3x+3x+3x-1-x+3x+3x+32x+3這樣，分式xh就拆分成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式.x+3r2_7r-3（1）請(qǐng)仿照上面的方法，選擇其中一種方法將分式一拆分成一個(gè)整式與一個(gè)真X-1分式的和（差）的形式；（2）已知整數(shù)x使分式11的值為整數(shù),求出滿足條件的所有整數(shù)x的值.x+29【答案】（1）X-6:（2）x=-l或-3或11或-15.x-1【解析】【分析】（1）先變形—7—3=——6-9,由“真分式”的定義，仿照例題即可得出結(jié)X—1X—1論；（2）先把分式化為真分式，再根據(jù)分式的值為整數(shù)確定整數(shù)x的值.【詳解】“八x2-lx-3x2-x-6x+6-9解：（1）=X—1X—1x（x-l）-6（x-l）-9x-1x-12〒+5x-11_2x'+4x+x+2-13x+2x+22x(x+2)+(x+2)—13772=2x+l-13=2x+l-137+2???x是整數(shù)，2「+x—11也是整數(shù),x+2/.x+2=l或x+2=-l或x+2=13或x+2=-13,Ax=-1或-3或11或-15.【點(diǎn)睛】本題考查了逆用整式和分式的加減法對(duì)分式進(jìn)行變形.解決本題的關(guān)鍵是理解真分式的定義對(duì)分子進(jìn)行拆分.某快遞公司有甲、乙、丙三個(gè)機(jī)器人分配快件，甲單獨(dú)完成需要x小時(shí)，乙單獨(dú)完成需要y小時(shí)，丙單獨(dú)完成需要z小時(shí).（1）求甲單獨(dú)完成的時(shí)間是乙丙合作完成時(shí)間的幾倍？（2）若甲單獨(dú)完成的時(shí)間是乙丙合作完成時(shí)間的a倍，乙單獨(dú)完成的時(shí)間是甲丙合作完成時(shí)間的b倍，丙單獨(dú)完成的時(shí)間是甲乙合作完成時(shí)間的c倍，求亠+亠+亠的a+lb+1c+1值.【答案】（1）甲單獨(dú)完成的時(shí)間是乙丙合作完成時(shí)間的丄匸』倍；（2）1【解析】分析：（1）先求出乙丙合作完成時(shí)間，再用甲單獨(dú)完成的時(shí)間除以乙丙合作完成時(shí)間即可求解；（2）根據(jù)“甲單獨(dú)作完成的天數(shù)為乙丙合作完成天數(shù)的a倍S可得亠1,運(yùn)用比—十—例的基本性質(zhì)、等式的性質(zhì)及分式的基本性質(zhì)可得丄=——-——：同理，根據(jù)“乙單a+1xy+yz+xzixz獨(dú)作完成的天數(shù)為甲、丙合作完成天數(shù)的b倍匕可得一=——-——：根據(jù)“丙單獨(dú)b+1xy+yz+xz1xy作完成的天數(shù)為甲、乙合作完成天數(shù)的c倍”，可得一=:,將它們分別代入c+1xy+yz+xz所求代數(shù)式，即可得出結(jié)果.詳解：（1）x4-[14-（—+—）]yzxy+xzyzxy+xz答：甲單獨(dú)完成的時(shí)間是乙丙合作完