高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專題(文理通用)之專題06 圓錐曲線中的軌跡問題-2020高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專題

專題六圓錐曲線中的軌跡問題9專題六圓錐曲線中的軌跡問題軌跡是動(dòng)點(diǎn)按照一定的規(guī)律即軌跡條件運(yùn)動(dòng)而形成的，這個(gè)軌跡條件一旦用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來，軌跡方程就產(chǎn)生了．根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這是高考的?？键c(diǎn)：一方面，求軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”，通過對(duì)方程的研究來認(rèn)識(shí)曲線的性質(zhì)；另一方面，求軌跡方程培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想．模塊1整理方法提升能力曲線軌跡方程的探求有兩種題型，第一種題型是曲線類型已知，該題型常用的方法是找條件或用待定系數(shù)法，難度不大；第二種題型是曲線類型未知，該題型常用的方法有以下種：1．定義法：如果所給的幾何條件能夠符合一些常見定義（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義），則可從定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，這種方法叫做定義法．2．直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件有明顯的等量關(guān)系，或者是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，易于表達(dá)成含未知數(shù)、的等式，從而得到軌跡方程，這種方法叫做直接法．3．參數(shù)法：求解軌跡方程有時(shí)很難直接找到動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使、之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做參數(shù)法．一般來說，引進(jìn)了個(gè)未知數(shù)與參數(shù)，要得到未知數(shù)與之間的關(guān)系，需要找個(gè)方程．常見的消參手法是：加、減、乘、除、平方、平方相加、平方相減以及整體消參等．相關(guān)點(diǎn)代入法、交軌法是參數(shù)法的一種特殊情況．例1已知點(diǎn)，圓：，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的方程及△的面積．【解析】（1）法1（定義法）：圓心，由垂徑定理可知，于是點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以的軌跡方程為，即．法2（直接法）：設(shè)的坐標(biāo)為，由可得．，，于是，即．法3（參數(shù)法）：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，其直線方程為，于是，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線方程為，．聯(lián)立消去可得，于是，將代入，消去參數(shù)，可得，整理可得（）．綜上所述，的軌跡方程為．（2）法1：由可知點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上．聯(lián)立，解得，于是點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是直線的方程為，即．△的面積為．法2：由可知點(diǎn)在的垂直平分線上，而的垂直平分線過圓心，所以直線的斜率為，直線方程為，即．因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離為，所以，于是△的面積為．【點(diǎn)評(píng)】解析幾何中兩直線垂直的常見轉(zhuǎn)化有以下4種：點(diǎn)在圓上，向量數(shù)量積為0，斜率乘積為，勾股定理．用“點(diǎn)在圓上”的角度能從定義法出發(fā)直接得到軌跡方程；用“向量數(shù)量積為0”的角度能避開分類討論．求軌跡方程時(shí)，先考慮定義法，看是否滿足某種曲線的定義，再考慮直接法，看能否得到一個(gè)幾何條件，進(jìn)而將該幾何條件代數(shù)化再化簡，最后再考慮參數(shù)法，引進(jìn)參數(shù)解決問題．例2在直角坐標(biāo)系中，曲線上的點(diǎn)均在圓：外，且對(duì)上任意一點(diǎn)，到直線的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)（）為圓外一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)、和、．證明：當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)、、、的縱坐標(biāo)之積為定值．【解析】（1）法1：由題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)到圓的圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以方程為．法2：設(shè)的坐標(biāo)為，由已知得，且點(diǎn)位于直線的右側(cè)，于是，所以，化簡得曲線的方程為．【證明】（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)的坐標(biāo)為，又，則過且與圓相切的直線的斜率存在且不為，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為，即．于是，整理得…①．設(shè)過所作的兩條切線、的斜率分別為、，則、是方程①的兩個(gè)實(shí)根，所以…②．由可得…③．設(shè)四點(diǎn)、、、的縱坐標(biāo)分別為、、、，則、是方程③的兩個(gè)實(shí)根，所以，同理可得．于是．所以當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)、、、的縱坐標(biāo)之積為定值．【點(diǎn)評(píng)】定義法和直接法非常相似，其出發(fā)點(diǎn)都是找?guī)缀螚l件，其區(qū)別在于對(duì)所找的幾何條件的理解．如果能發(fā)現(xiàn)所找的幾何條件是滿足某種曲線的定義的，則可以根據(jù)曲線的定義馬上得到所求的軌跡方程，這就是定義法．如果所找的幾何條件究竟?jié)M足哪種定義不太明顯，則可以利用直接法，把所找的幾何條件代數(shù)化，再把代數(shù)化后的式子化簡到最簡．第（2）問的定值證明需要引進(jìn)參數(shù)，而引進(jìn)多少個(gè)參數(shù)是因題而異的，一般是從點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程這兩個(gè)角度引進(jìn)參數(shù)．本題總共引進(jìn)了六個(gè)參數(shù)：、、、、、，其準(zhǔn)則是所引進(jìn)的參數(shù)都能幫助解題，且最終都能將其消去，這是解析幾何中“設(shè)而不求”的重要思想方法．例3已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線、分別交于、兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于、兩點(diǎn)．（1）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明：∥；（2）若△的面積是△的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程．【證明】（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為．不妨設(shè)直線：，直線：，則，，，，于是．當(dāng)線段垂直于軸時(shí)，不妨設(shè)，則有，，，于是，，所以∥．當(dāng)線段不垂直于軸時(shí)，直線的斜率為，方程為，即，因?yàn)樵诰€段上，所以．于是，，所以∥．【解析】（2）△的面積為．直線與軸的交點(diǎn)為，所以△的面積為．由，可得，于是（舍去）或…①．設(shè)中點(diǎn)為，則…②，…③．③式平方，可得，將①②代入，可得．【點(diǎn)評(píng)】本題采用了參數(shù)法求中點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)是引進(jìn)了2個(gè)未知數(shù)、與2個(gè)參數(shù)、，此時(shí)我們需要找3個(gè)方程：，，，通過這3個(gè)方程消去2個(gè)參數(shù)，從而得到與之間的關(guān)系．一般來說，引進(jìn)了個(gè)未知數(shù)與參數(shù)，要得到未知數(shù)與之間的關(guān)系，一般需要找個(gè)方程．找到方程后，通過加、減、乘、除、平方、平方相加、平方相減以及整體消參等手法進(jìn)行消參．這是參數(shù)法的關(guān)鍵所在．拋物線焦點(diǎn)弦有兩個(gè)常用結(jié)論：設(shè)是過拋物線（）焦點(diǎn)的弦，若，，則有（1），；（2）以弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．模塊2練習(xí)鞏固整合提升練習(xí)1：已知圓：，圓：，動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）是與圓、圓都相切的一條直線，與曲線交于、兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長時(shí)，求．【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則，，兩式相加，可得，所以圓心是以、為焦點(diǎn)，的橢圓（左頂點(diǎn)除外）．，，，所以的方程為（）．（2）由（1）可知，，所以，于是，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)圓的半徑最長時(shí)，圓的方程為．①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诘臅r(shí)候，此時(shí)顯然就是軸，．②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖诘臅r(shí)候，顯然的斜率不為，設(shè)與軸交于點(diǎn)，則有，即，由此解得，且，于是直線方程為．聯(lián)立，消去，可得．由弦長公式，有．練習(xí)2：已知橢圓：，為橢圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線、，其中、為切點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)為定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（2）若、相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程．【解析】（1）設(shè)、，則切線方程為，點(diǎn)在切線上，所以…①．同理，切線方程為，點(diǎn)在切線上，所以…②．由①②可得直線的方程為，即．（2）①若直線、的斜率都存在，不妨設(shè)其斜率分別為、，則．設(shè)過點(diǎn)的直線方程為．由消去可得．因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，即．由、與橢圓相切可知、是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，即．②若直線、中有一條斜率不存在，則另一條斜率為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足．綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為．【點(diǎn)評(píng)】給定圓錐曲線和點(diǎn)，用、、、分別替換、、、，得到直線，我們稱點(diǎn)和直線為圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線．其結(jié)論如下：當(dāng)在圓錐曲線上的時(shí)候，其極線是曲線在點(diǎn)處的切線；當(dāng)在圓錐曲線外的時(shí)候，其極線是曲線從點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；當(dāng)在圓錐曲線內(nèi)的時(shí)候，其極線是曲線過點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡．特別地：橢圓（），與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為．雙曲線（，），與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為．拋物線（），與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為．在橢圓（）中，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為，這就是橢圓的右準(zhǔn)線．本題采用整體法進(jìn)行消參方法，這是消參的一種方法．第（2）小問也可以引進(jìn)、、，共2個(gè)未知數(shù)、和4個(gè)參數(shù)：、、、，利用以下5個(gè)方程進(jìn)行消參：、、，、．練習(xí)3：如圖，拋物線：和：（）．點(diǎn)在拋物線上，過作的切線，切點(diǎn)分別為、（為原點(diǎn)時(shí)，、重合于）．當(dāng)時(shí)，切線的斜率為．（1）求的值；（2）當(dāng)/r