《軸對(duì)稱》之“將軍飲馬”問題(二)

《軸對(duì)稱》之“將軍飲馬”問題（二）【變式3】若將軍騎馬從軍營(yíng)出發(fā)，先騎馬去草地邊吃草，再牽馬去河邊喝水，最后將馬送入河邊上的馬廄，問：馬廄建在何處，可使將軍走的路程最短？【圖示】【分析】我們同樣把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題，把軍營(yíng)看作一個(gè)點(diǎn)，而把草地邊和河邊看作兩條直線?問題即轉(zhuǎn)化為，如下圖：在ZMON的內(nèi)部有一點(diǎn)A,在OM上找一點(diǎn)B,在ON上找一點(diǎn)C,使得AB+BC最短.首先明確各點(diǎn)，線的屬性.點(diǎn)A是定點(diǎn)，OM,ON是定線，點(diǎn)B,點(diǎn)C是OM,ON上要找的點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn).第一步，顯然用“化折為直”，作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A''連接A'C?但是點(diǎn)C的位置并不確定，如何保證A'C最短呢？此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為射線ON外一點(diǎn)A'到ON上一點(diǎn)C之間距離的最小值.根據(jù)“垂線段最短”，則A'C丄ON時(shí)最短！【解答】【變式4】若將軍從軍營(yíng)A出發(fā)去河邊飲馬，之后牽馬在河岸散步200米，再騎回軍營(yíng)B，問從河邊何處開始散步，可使整個(gè)行程最短？【圖示】藍(lán)色部分即為散步所走的200米.【分析】我們繼續(xù)把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題，把軍營(yíng)A與軍營(yíng)B看作2個(gè)定點(diǎn)，把河看作一條直線?問題即轉(zhuǎn)化為，如下圖：在直線I上找兩個(gè)點(diǎn)C,D,使得AC+BD最短.A*B本題若作點(diǎn)A關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'C和BD,會(huì)出現(xiàn)兩線段不共線的問題，怎么辦？我們能不能把BD進(jìn)行相應(yīng)的平移，使得與A'C共線？完全可以，把BD沿著DC方向向左平移200米，問題即迎刃而解.或者我們可以這么想象，把河邊散步的200米，挪至回到軍營(yíng)B前，沿著與河平行的方向向右散步200米，問題也可解決.【解答】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)A'，將點(diǎn)B向左平移CD的長(zhǎng)度到點(diǎn)B'（實(shí)際為200米），連接A'B'，交直線I于點(diǎn)C，將點(diǎn)C向右平移CD的長(zhǎng)度到點(diǎn)D，點(diǎn)C，點(diǎn)D即為所求.【變式5】將軍每日需騎馬從軍營(yíng)出發(fā)，去河岸對(duì)側(cè)的瞭望臺(tái)觀察敵情，已知河流的寬度為30米，請(qǐng)問，在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最短？【圖示】灰紫色部分即為長(zhǎng)30米的浮橋.【分析】我們還是把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題，把軍營(yíng)與瞭望臺(tái)看作間隔30米的2條直線外側(cè)的定點(diǎn)?問題即轉(zhuǎn)化為，如下圖：在直線11上找一個(gè)點(diǎn)C，直線12上找一個(gè)點(diǎn)D，使得AC+BD+CD最短.由于CD長(zhǎng)度確定，則題目轉(zhuǎn)化為求AC+BD最短，考慮在河的兩側(cè)，要使線段之和最短，則2條線段在同一直線上時(shí)即可.但這里并不共線，因此繼續(xù)考慮平移.我們可以想成從軍營(yíng)出發(fā)先“渡河”，即沿CD方向行30米至點(diǎn)A'，再考慮“兩點(diǎn)之間，線段最短”.【解答】如圖，將點(diǎn)A沿CD方向，平移CD長(zhǎng)度（實(shí)際30米）至點(diǎn)A',連接A'B，交12于點(diǎn)D，過點(diǎn)作DC丄12于點(diǎn)C，連接AC?則橋CD即為所求.此時(shí)AC=A'D，而A'D+DB=A'B，最短.【總結(jié)&反思】這次的3道題，有涉及到沿河邊散步的問題，有造橋選址問題,但無外乎涉及到一個(gè)“平移”的思想方法，結(jié)合“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決，另外，有時(shí)還需考慮“垂線段最短”.如用口訣來總結(jié)，那就是：造橋散步怎么辦，想到平移就不難。若問萬般適用法，兩點(diǎn)線段垂最短?！揪毩?xí)】1）如圖，在直線l