最新高中新課程數(shù)學(新課標人教A版)選修2-3《2.3.1離散型隨機變量的均值》教案2

2．3離散型隨機變量的均值與方差2．3．1離散型隨機變量的均值一、復習引入：1.隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示2.離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量3．連續(xù)型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出假設(shè)是隨機變量，是常數(shù)，那么也是隨機變量并且不改變其屬性〔離散型、連續(xù)型〕5.分布列:設(shè)離散型隨機變量ξ可能取得值為x1，x2，…，x3，…，ξ取每一個值xi〔i=1，2，…〕的概率為，那么稱表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列6.分布列的兩個性質(zhì)：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．7.離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是，〔k＝0,1,2,…，n，〕．于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nP……稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記＝b(k；n，p)．8.離散型隨機變量的幾何分布：在獨立重復試驗中，某事件第一次發(fā)生時，所作試驗的次數(shù)ξ也是一個正整數(shù)的離散型隨機變量．“〞表示在第k次獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生.如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為、事件A不發(fā)生記為，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么〔k＝0,1,2,…，〕．于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：ξ123…k…P……稱這樣的隨機變量ξ服從幾何分布記作g(k，p)=，其中k＝0,1,2,…，．二、講解新課：根據(jù)隨機變量的分布列，我們可以方便的得出隨機變量的某些制定的概率，但分布列的用途遠不止于此，例如：某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射擊之前，可以根據(jù)這個分布列估計n次射擊的平均環(huán)數(shù)．這就是我們今天要學習的離散型隨機變量的期望根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，我們可以估計，在n次射擊中，預(yù)計大約有次得4環(huán)；次得5環(huán)；…………次得10環(huán)．故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為，從而，預(yù)計n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為．這是一個由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應(yīng)的概率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平．對于任一射手，假設(shè)其射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，即各個〔i=0，1，2，…，10〕，我們可以同樣預(yù)計他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù):…．ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…那么稱……為…，那么有…，…，所以期望的一個性質(zhì):ξx1x2…xn………Pp1p2…pn…于是……＝……)……)＝，由此，我們得到了期望的一個性質(zhì):5.假設(shè)ξB〔n,p〕，那么Eξ=np證明如下：∵，∴0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．又∵，∴＋＋…＋＋…＋．故假設(shè)np．三、講解范例：例1.籃球運發(fā)動在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分的期望解：因為，所以例2.一次單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，總分值100分學生甲選對任一題的概率為0.9，學生乙那么在測驗中對每題都從4個選擇中隨機地選擇一個，求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望解：設(shè)學生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數(shù)分別是，那么~B〔20,0.9〕,,由于答對每題得5分，學生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是5和5所以，他們在測驗中的成績的期望分別是：例3.根據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01．該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元．為保護設(shè)備，有以下3種方案：方案1：運走設(shè)備，搬運費為3800元．方案2：建保護圍墻，建設(shè)費為2000元．但圍墻只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水．試比擬哪一種方案好．解：用X1、X2和X3分別表示三種方案的損失．采用第1種方案，無論有無洪水，都損失3800元，即X1=3800.采用第2種方案，遇到大洪水時，損失2000+60000=62000元；沒有大洪水時，損失2000元，即同樣，采用第3種方案，有于是，EX1＝3800,EX2＝62000×P(X2=62000)+200000×P(X2=2000)=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600,EX3=60000×P(X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P(X3=0)=60000×0.01+10000×0.25=3100.采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案2.值得注意的是，上述結(jié)論是通過比擬“平均損失〞而得出的．一般地，我們可以這樣來理解“平均損失〞：假設(shè)問題中的氣象情況屢次發(fā)生，那么采用方案2將會使損失減到最?。捎诤樗欠癜l(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的，所以對于個別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的．例4.隨機拋擲一枚骰子，求所得骰子點數(shù)的期望解：∵，=3.5例5.有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%，對這批產(chǎn)品進行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，那么抽查終止，否那么繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過10次求抽查次數(shù)的期望〔結(jié)果保存三個有效數(shù)字〕解：抽查次數(shù)取110的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出1件檢查的試驗可以認為是彼此獨立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次〔=1，2，…，10〕取出次品的概率：〔=1，2，…，10〕需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：123456789100.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316根據(jù)以上的概率分布，可得的期望例6.隨機的拋擲一個骰子，求所得骰子的點數(shù)的數(shù)學期望．解：拋擲骰子所得點數(shù)123456P所以1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．拋擲骰子所得點數(shù)例7.某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km時租車費為10元，假設(shè)行駛路程超出4km，那么按每超出lkm加收2元計費(超出缺乏lkm的局部按lkm計)．從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km．某司機經(jīng)常駕車在機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計費)，這個司機一次接送旅客的行車路程ξ是一個隨機變量．設(shè)他所收租車費為η(Ⅰ)求租車費η關(guān)于行車路程ξ的關(guān)系式；(Ⅱ)假設(shè)隨機變量ξ的分布列為ξ15161718P0.10.50.30.1求所收租車費η的數(shù)學期望．(Ⅲ)某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km，問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘?解：(Ⅰ)依題意得η=2(ξ-4)十10，即η=2ξ+2；(Ⅱ)∵η=2ξ+2∴2Eξ+2=34.8〔元〕故所收租車費η的數(shù)學期望為34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15所以出租車在途中因故停車累計最多15分鐘四、課堂練習：1.口袋中有5只球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3球，以表示取出球的最大號碼，那么〔〕A．4；B．5；C．4.5；D．4.75答案：C2.籃球運發(fā)動在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分．某運發(fā)動罰球命中的概率為0.7，求⑴他罰球1次的得分的數(shù)學期望；⑵他罰球2次的得分η的數(shù)學期望；⑶他罰球3次的得分的數(shù)學期望．解：⑴因為，，所以1×＋0×ηη012P所以0×＋1×＋2×＝1.4．⑶的概率分布為ξ０１23P所以0×＋1×＋2×＝2.1.3．分析：任取1升水，此升水中含一個大腸桿菌的概率是，事件“ξ=k〞發(fā)生，即n個大腸桿菌中恰有k個在此升水中，由n次獨立重復實驗中事件A〔在此升水中含一個大腸桿菌〕恰好發(fā)生k次的概率計算方法可求出P(ξ=k),進而可求Eξ.解：記事件A：“在所取的1升水中含一個大腸桿菌〞，那么P(A)=．∴P(ξ=k)=Pn(k)=C)k(1－)n－k〔k=0,1,2,….,n〕．∴ξ～B(n,)，故Eξ=n×=五、小結(jié)：(1)離散型隨機變量的期望，反映了隨機變量取值的平均水平；(2)求離散型隨機變量ξ的期望的根本步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ公式E〔aξ+b〕=aEξ+b，以及服從二項分布的隨機變量的期望Eξ=np六、課后作業(yè)：P64-65練習1,2,3,4P69A組1,2,31.一袋子里裝有大小相同的3個紅球和兩個黃球，從中同時取出2個，那么其中含紅球個數(shù)的數(shù)學期望是〔用數(shù)字作答〕解：令取取黃球個數(shù)(=0、1、2)那么的要布列為012p于是E〔〕=0×+1×+2×=0.8故知紅球個數(shù)的數(shù)學期望為1.22.袋中有4個黑球、3個白球、2個紅球，從中任取2個球，每取到一個黑球記0分，每取到一個白球記1分，每取到一個紅球記2分，用表示得分數(shù)①求的概率分布列②求的數(shù)學期望解：①依題意的取值為0、1、2、3、4=0時，取2黑p(=0)==1時，取1黑1白p(=1)==2時，取2白或1紅1黑p(=2)=+=3時，取1白1紅，概率p(=3)==4時，取2紅，概率p(=4)=01234p∴分布列為〔2〕期望E=0×+1×+2×+3×+4×=3.學校新進了三臺投影儀用于多媒體教學，為保證設(shè)備正常工作，事先進行獨立試驗，各設(shè)備產(chǎn)生故障的概率分別為p1、p2、p3，求試驗中三臺投影儀產(chǎn)生故障的數(shù)學期望解：設(shè)表示產(chǎn)生故障的儀器數(shù)，Ai表示第i臺儀器出現(xiàn)故障〔i=1、2、3〕表示第i臺儀器不出現(xiàn)故障，那么：p(=1)=p(A1··)+p(·A2·)+p(··A3)=p1(1－p2)(1－p3)+p2(1－p1)(1－p3)+p3(1－p1)(1－p2)=p1+p2+p3－2p1p2－2p2p3－2p3p1+3p1p2p3p(=2)=p(A1·A2·)+p(A1··)+p(·A2·A3)=p1p2(1－