初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練三角形邊角關(guān)系

9/6參考答案一、選擇題1、如圖過(guò)C作CE丄AD于E,過(guò)D作DF丄PB于F,過(guò)D作DG丄CE于G。顯然DG=EF=2aB=5,CD三DG，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，有CD=DG=5,所以CD長(zhǎng)度的最小值是5。EPFB2、如圖延長(zhǎng)AB、DC相交于E,在RtAADE中，可求得AE=16,DE=8r；3,于是BE=AE—AB=9,在Rt^BEC中，可求得BC=3<3,CE=6?』3,是CD=DE—CE=2\3BC+CD=5、3。3、由已知AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF???AD+AE+FD=EB+BC+CF=1(AD+AB+BC+CD)=112AEDF?.?EF〃BC,???EF〃AD,=——EBFC、AEDFk56k設(shè)==k,AE=AB=,DF=EEBFCk+1k+1k+16k4k13k+313k+3‘AD+AE+FD=3++==11k+1k+1k+1k+1作AH〃CD,AH交BC于H,交EF于G,則GF=HC=AD=3,BH=BC—CH=9-3=6...EG=蘭=￡，.:eg=4BH=24.??EF=EG+GF=24+3=39BHAB55555解得k=44、假設(shè)a、B、Y三個(gè)角都是銳角，即aV90°,B<90°,Y<90°,也就是A+BV90°,B+C<90°,C+A<90°oV2(A+B+CX270°,A+B+C<135°與A+B+C=180°矛盾。故a、B、Y不可能都是銳角，假設(shè)a、B、Y中有兩個(gè)銳角，不妨設(shè)a、B是銳角，那么有A+B<90°,C+A<90°,???A+(A+B+C)v180°，即A+180°<180°,A<0°這也不可能，所以a、B、Y中至多只有一個(gè)銳角，如A=20°,B=30°,C=130°,a=50。，選Ao5、折疊后，DE=BE,設(shè)DE=x，貝VAE=9—x,在Rt^ABC中，AB2+AE2=BE2,即卩32+(9-x)2二x2，解得x=5，連結(jié)BD交EF于O,則EO=FO,BO=DO*.*BD=\；92+32=3、10?.DO=102310在Rt^DOE中，EO=i'DE2-DO2=.'52—(10)2=,\EF=22<10。選Bo6、設(shè)AABC中，AB=AC=a,BC=b，如圖D是AB上一點(diǎn)，有AD=b，因a>b,故/人是厶ABC的最小角，設(shè)ZA=Q,則以b,b,a為三邊之三角形的最小角亦為Q,從

而它與△ABC全等，所以DC=b,ZACD=Q，因有公共底角ZB,所以有等腰AADC—,BCBDba-b人a,、s等腰△CBD,從而得=，即一=,令x=,即得方程x2—x—1=0,ABBCabba解得x==■v5+1選B。7、C。由于任意凸多邊形的所有外角之和都是360°，故外角中鈍角的個(gè)數(shù)不能超過(guò)3個(gè)，又因?yàn)閮?nèi)角與外角互補(bǔ),因此,內(nèi)角中銳角最多不能超過(guò)3個(gè),實(shí)際上,容易構(gòu)造出內(nèi)角中有三個(gè)銳角的凸10邊形。118、Ao設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（y），則xy=1,故厶ABO的面積為—xy=—,又因?yàn)锳ABO與厶CBO同底等高，因此△ABC的面積=2X^ABO的面積=1。二、填空題如圖設(shè)四邊形ABCD的一組對(duì)邊AB和CD的中點(diǎn)分別為M、N,MN=d,另一組對(duì)邊是AD和BC,其長(zhǎng)度分別為a、b,連結(jié)BD,設(shè)P是ab,a+bBD的中點(diǎn)，連結(jié)MP、PN,則MP=-,NP=-,顯然恒有d<—當(dāng)AD〃BC，由平行線等分線段定理知M、N、P三點(diǎn)共線，此時(shí)有,a+b十，,a+b,,「，、，土口‘‘a(chǎn)+ba+b、八d=—，所以d與—的大小關(guān)系是d<廠（或—>d）o12°o設(shè)ZBAC的度數(shù)為x,VAB=BBzAZBZBD=2x,ZCBD=4xVAB=AAZAZAAZB=ZABAz=ZCBD=4xVZAZAB=1（180o—x）21、2、3、NM2（180°—x）+4x+4x=180°，于是可解出x=12°o以3，5，7，9，11構(gòu)成的三數(shù)組不難列舉出共有10組，它們是（3，5，7）、（3，5，9）（3，5，11）、（3，7，9）、（3，7，11）、（3，9，11）、（5，7，9）、（5，7，11）、（5，95,11）、11）、（7,9,11）。由3+5V9,3+5V11,3+7V11可以判定（3,5,9）、（3,（3,7,11）這三組不能構(gòu)成三角形的邊長(zhǎng),因此共有7個(gè)數(shù)組構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)。4、過(guò)P作AB的平行線分別交DA、BC于E、F,過(guò)P作BC的平行線分別交AB、CD于G、H。設(shè)AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d,AP2=a2+c2,則BP2=b2+c2,CP2=b2+d2,DP2=d2+a2于是AP2+CP2=BP2+DP2，故DP2=AP2+CP2—BP2=32+52—42=18,DP=3「25、①設(shè)冬天太陽(yáng)最低時(shí)，甲樓最高處A點(diǎn)的影子落在乙樓的C處，那么圖中CD的長(zhǎng)度就是甲樓的影子在乙樓上的高度，設(shè)CE丄AB于點(diǎn)E,那么在△AEC中,ZAEC=90°,ZACE=30°,EC=20米。

所以AE=EC?tanZACE=20-tan30°=20x-^沁11.6（米）CD=EB=AB-AE=16-11.6=4.4（米）②設(shè)點(diǎn)A的影子落到地面上某一點(diǎn)C,則在△ABC中，ZACB=30°,AB=16米，所以BC-AB-cotZACB-16x時(shí)'3?27.7（米）。所BD以要使甲樓的影子不影響乙樓，那么乙樓距離甲樓至少要27.7米。BD6、提示：由題意ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°，設(shè)ZPBC=a,ZABC=60°則ZABP=60°—a,?：ZBAP=ZPBC=a,APBP.?.△ABPsAbpc,-,BP2=AP?PCBPPCBP-JAP?PC-148-4*3三、解答題1、證明：如圖延長(zhǎng)AD至E,使AD=DE，連結(jié)BE。VBD=DC,AD=DE,ZADC=ZEDB???△ACD^△EBDAAC=BE在厶ABE中，AEVAB+BE,即卩2ADVAB+AC1???ADV（AB+AC）1???ADV（AB+AC）在厶ABC中，不妨設(shè)aWbWc*.*a+b>c=a+b+c>2cp即p>2c=c<—,p另一方面c三a且c三b=2c三a+bA3c工a+b+c—pnc>—。因此3-c<P3、證明：①VZACB=90°,DE〃BC,DF〃AC,?DE丄AC,DE丄BC,從而ZECF=ZDEC=ZDFC=90°oVCD是角平分線ADE=DF,即知四邊形CEDF是正方形。②在RtAAED和RtADFB中，VDE〃BCAZADE=ZB