機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題-答案要點(diǎn)

《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題解答一、填空題1、用最速下降法求f(X)=100(x2-xp2+(1-X1)2的最優(yōu)解時(shí)，設(shè)X(0)=[-0.5,0.5]T,第一步迭代的搜索方向?yàn)閇-47,-50]T。2、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是尋找搜索方向，二是計(jì)算最優(yōu)步長3、當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進(jìn)退法來確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成高一低一高趨勢。5、包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為 n 維優(yōu)化問題。6、函數(shù)14、將函數(shù)K*)=*12+*22-*n-10*1-4*2+60表示成―Xt14、將函數(shù)K*)=*12+*22-*n-10*1-4*2+60表示成―XtHX+BtX+C的形式錯誤！未1 2 12 1 2 2找到引用源。。15、存在矩陣H,向量打，向量d2,當(dāng)滿足d1娛=0，向量d1和向量d2是關(guān)于H共軛。16、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問題時(shí)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點(diǎn)。7、設(shè)G為nxn對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個(gè)非零向量d。，d"滿足(d0)TGd』0,則d0、di之間存在共軛關(guān)系。8、設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、 約束條件是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。9、對于無約束二元函數(shù)f(、,x2)，若在x0(xi0,x20)點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是錯誤！未找到引用源」117、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最 °--17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最用源。(錯誤！未找到引用源。正定一。庫恩-塔克條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)f(x)=x2-10x+36的極小點(diǎn)，初始搜索區(qū)間[a,b]=[-10,10],經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為[-2.3610]。12、優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量、,目標(biāo)函數(shù)、約束條件13、牛頓法的搜索方向dk=-Hkg,其計(jì)算量大，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn)附近位kk置。優(yōu)步長18、與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值（下降）的方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值（變化為零）的方向。19、對于一維搜索，搜索區(qū)間為a,b1中間插入兩個(gè)點(diǎn)%外a<外計(jì)算出fq）<f"）,則縮短后的搜索區(qū)間為（abi）20、由于確定（搜索方向）和最佳步長的方法不一致，派生出不同的無約束優(yōu)化問題數(shù)值求解方法。1、導(dǎo)出等式約束極值條件時(shí)，將等式約束問題轉(zhuǎn)換為無約束問題的方法有（消元法和（拉格朗日法）。2、優(yōu)化問題中的二元函數(shù)等值線，從外層向內(nèi)層函數(shù)值逐漸變（小）。3、優(yōu)化設(shè)計(jì)中，可行設(shè)計(jì)點(diǎn)位（可行域內(nèi)）內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。4、方向?qū)?shù)定義為函數(shù)在某點(diǎn)處沿某一方向的（變化率5、在n維空間中互相共軛的非零向量個(gè)數(shù)最多有（口）個(gè)。6、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的迭代過程可在可行域外進(jìn)行，懲罰項(xiàng)的作用是隨便迭代點(diǎn)逼近（邊界）或等式約束曲面。二、選擇題1、下面C方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共軛梯度法C、牛頓型法D、DFP法2、對于約束問題minf（X）=x2+x2-4x+4/ 、 1 2 2g（X）=x_x2—1>0g（X）=3-x>0g3（X）=x2>051根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷 X（1）=[1,17為 ，X（2）=[-,i]r 22為。DA.內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)B.外點(diǎn)；外點(diǎn)C.內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)D.外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解B優(yōu)化問題。A無約束優(yōu)化問題B只含有不等式約束的優(yōu)化問題C只含有等式的優(yōu)化問題D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題4、對于一維搜索，搜索區(qū)間為[a，b]，中間插入兩個(gè)點(diǎn)a1、b1，a1<b1，計(jì)算出f(a1)<f(b1)，則縮短后的搜索區(qū)間為D。A[a1，b1]B[b1，b]C[a1，b]D[a，b1]5、D不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A設(shè)計(jì)變量B約束條件C目標(biāo)函數(shù)D最佳步長6、變尺度法的迭代公式為xk+1=xk-ckHkVf(xk)，下列不屬于Hk必須滿足的條件的是C。A.Hk之間有簡單的迭代形式B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交D.對稱正定7、函數(shù)f(X)在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的AA、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四種無約束優(yōu)化方法中，D在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A梯度法B牛頓法C變尺度法D坐標(biāo)輪換法9、設(shè)f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(X)在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處B。A正定B半正定C負(fù)定D半負(fù)定10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法一黃金分割法的敘述，錯誤的是D，假設(shè)要求在區(qū)間［a，一插入兩點(diǎn)出、與，且出＜與。A、其縮短率為0.618B、a「b-九(b-a)C、a「a+九(b-a)D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值A(chǔ)方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值B方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值C方向。A、上升B、下降C、不變D、為零12、二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)就是_BA、等值線族的一個(gè)共同中心B、梯度為0的點(diǎn)C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點(diǎn)13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為B向量。A相切B正交C成銳角D共軛14、下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是AA可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。D初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)三、問答題（看講義1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理區(qū)別：（1）、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法（2）、插值法：沒有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？答，基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合形成新的目標(biāo)函數(shù)一一懲罰函數(shù)求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。答主要用數(shù)值解法，利用計(jì)算機(jī)通過反復(fù)迭代計(jì)算求得最佳步長因子的近似值4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。答：最速下降法此法優(yōu)點(diǎn)是直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點(diǎn)是收斂速度慢，越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點(diǎn)是收斂比較快，對二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點(diǎn)是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時(shí)及數(shù)量比較大。5、寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。6、什么是共軛方向？滿足什么關(guān)系？共軛與正交是什么關(guān)系？四、解答題1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f（X）=1.5x12+0.5x22-x1x2-2x1的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x（0）=[-2,4]t,選代精度￡=0.0（迭代一步）。解：首先計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù)錯誤！未找到引用源。，計(jì)算當(dāng)前迭代點(diǎn)的梯度向量值錯誤！未找到引用源。梯度法的搜索方向?yàn)殄e誤!未找到引用源。，因此在迭代點(diǎn)x（0）的搜索方向?yàn)閇12,—6]t在此方向上新的迭代點(diǎn)為:錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用源。把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量錯誤！未找到引用源。的函數(shù)錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長錯誤！未找到引用源。新的迭代點(diǎn)為錯誤！未找到引用源。當(dāng)前梯度向量的長度錯誤！未找到引用源。，因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第一迭代步完成。2、試用牛頓法求f(X)=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)=[2,1]T。解1：(注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，解2是修改題目后解法。)牛頓法的搜索方向?yàn)殄e誤！未找到引用源。，因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0)的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣m=[4*xl—4*x2—4]I8*x2—4*xl-錯誤！未找到引用源。嘰廠=M3錯誤！未找到引用源。不用搜索，當(dāng)前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下修改求解題目的初始點(diǎn)，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。以非最優(yōu)點(diǎn)x(0)=[1,2]T作為初始點(diǎn)，重新采用牛頓法計(jì)算牛頓法的搜索方向?yàn)殄e誤！未找到引用源。，因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0)的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù):|-4*xl—4*x2—4-8*x2—4*xl-初始點(diǎn)梯度向量：錯誤！未找到引用源。海色矩陣:海色矩陣逆矩陣：當(dāng)前步的搜索方向?yàn)椋哄e誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。新的迭代點(diǎn)位于當(dāng)前的搜索方向上：錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量錯誤！未找到引用源。的函數(shù)錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長錯誤！未找到引用源。新的迭代點(diǎn)為錯誤！未找到引用源。當(dāng)前梯度向量的長度錯誤！未找到引用源。，因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第二迭代步：⑴1)=IlVfll=0<E因此不用繼續(xù)計(jì)算，第一步迭代已經(jīng)到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)。這正是牛頓法的二次收斂性。對正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點(diǎn)。3、設(shè)有函數(shù)共為二乂產(chǎn)?*/々"?/?，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。解：首先利用極值必要條件錯誤！未找到引用源。找出可能的極值點(diǎn)：令錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。求得錯誤！未找到引用源。，是可能的極值點(diǎn)。再利用充分條件錯誤！未找到引用源。正定(或負(fù)定)確認(rèn)極值點(diǎn)。錯誤！未找到引用源。⑵=2>0—2 4I因此錯誤！未找到引用源。正定，錯誤！未找到引用源。是極小點(diǎn)，極值為f(X*)=-84、求目標(biāo)函數(shù)f(X)=x12+x1x2+2x22+4x1+6x2+10的極值和極值點(diǎn)。解法同上5、試證明函數(shù)f(X)=2xJ+5x22+x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在點(diǎn)[1,1,-2]T處具有極小值。解：必要條件：4*xl-2^x3 'V（f）= 10*x2-2*x3-6.2*xl—2*x2—2x3.將點(diǎn)[1,1,-2]t帶入上式，可得O-7（0=0.0.充分條件TOC\o"1-5"\h\z[4 。 2'V2(0=0102卜2 2-⑷=4>0錯誤！未找到引用源。=40錯誤！未找到引用源。14 0 2。102=S0—40—16=24>02 2 2錯誤！未找到引用源。正定。因此函數(shù)在點(diǎn)[1,1,-2]t處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問題minf(X)=(x1-3)2+(x2-2)2s.t.g1(X)=—x12—x22+5^0g2(X)=-x12x2+4三0g3(X)=x]0g4(X)=x2三0驗(yàn)證在點(diǎn)X=[2,lpKuhn-Tucker條件成立。解：首先，找出在點(diǎn)X=[2,1]T起作用約束：g1(X)=0g2(X)=0g3(X)=2g4(X)=1因此起作用約束為g/X)、g2(X)。然后，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示為起作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。求解線性組合系數(shù)錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。得到錯誤！未找到引用源。均大于0因此在點(diǎn)X=⑵1]7Kuhn-Tucker條件成立7、設(shè)非線性規(guī)劃問題minf(X)=(x-2)2+x21 2s.t.g(X)=x>0g2(x)=x2>0g(X)=X2-X2+1>0用K-T條件驗(yàn)證X*=1,。1為其約束最優(yōu)點(diǎn)。解法同上8、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=X1+x2,受約束于：g1(X)=-x12+x2>0g2(X)=x1>0寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解：內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的一般公式為.min^(x,ra))=F(x)xWR篦其中：r(i)>r(2)>r(3%..>^)…>0 是一個(gè)遞減的正值數(shù)列r(k)=Cr(k-i), 0VCV1因此罰函數(shù)為：0(X,rC1J)=xl+x2+r"+一+9、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=(x1-1)2+(x2+2)2受約束于：g1(X)=-x2-x1-1>0g2(X)=2-x1-x2>0g3(X)=x1>0g4(X)=x2>0試寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解法同上10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為x的方塊并折轉(zhuǎn)，造一個(gè)無蓋的箱子，問如何截法（x取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。11、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫出