勒讓德函數(shù)市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第十章勒讓德多項(xiàng)式

勒讓德方程引出勒讓德方程求解勒讓德多項(xiàng)式函數(shù)展開(kāi)成勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)10.1勒讓德方程引出10.1勒讓德方程引出在球坐標(biāo)系下Laplace方程表示式為令代入上式得用遍乘各項(xiàng)并移項(xiàng)整理，即得10.1勒讓德方程引出引入?yún)?shù)分解整理得歐拉型方程球函數(shù)方程歐拉方程通解為任意常數(shù)。10.1勒讓德方程引出求函數(shù)方程兩端同時(shí)乘以并移項(xiàng)得引入?yún)?shù)

分解可得兩個(gè)常微分方程10.1勒讓德方程引出10.1勒讓德方程引出第一個(gè)方程與自然周期條件結(jié)合，組成本征值問(wèn)題解之可確定本征值和對(duì)應(yīng)本征函數(shù)10.1勒讓德方程引出第二個(gè)方程為連帶勒讓德方程令，并記勒讓德方程m=0時(shí)6.1勒讓德方程引出10.2勒讓德方程求解10.2勒讓德方程求解考慮勒讓德方程將其代入勒讓德方程，得令比較可得c=0時(shí)10.2勒讓德方程求解依此可得遞推公式

10.2勒讓德方程求解其中10.

2勒讓德方程求解10.

3勒讓德多項(xiàng)式10.

3勒讓德多項(xiàng)式能夠?qū)⑵渌禂?shù)一一推算出來(lái)，即

將10.2中遞推公式寫(xiě)成為了使這些表示式能夠?qū)懗杀容^簡(jiǎn)練形式,而且使所得多項(xiàng)式在x=1處取值等于1,取an為有10.

3勒讓德多項(xiàng)式普通地當(dāng)時(shí)，有當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，將這些系數(shù)代入到中得到10.

3勒讓德多項(xiàng)式n為正奇數(shù)時(shí)，將這些系數(shù)代入到中得到這兩個(gè)多項(xiàng)式能夠統(tǒng)一寫(xiě)成n

階勒讓德多項(xiàng)式圖象勒讓德多項(xiàng)式微分表示式多項(xiàng)式Rodrigues表示式10.

3勒讓德多項(xiàng)式當(dāng)為整數(shù)時(shí),取中總有一個(gè)是勒讓德多項(xiàng)式，在[－1，1

]上有界，這時(shí)另一個(gè)函數(shù)仍是無(wú)窮級(jí)數(shù)，記作此時(shí)Legendre方程通解為稱為第二類Legendre函數(shù)，它在[-1，1

]上仍是無(wú)界.10.

3勒讓德多項(xiàng)式故必須取常數(shù)從而勒讓德方程解就只有第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式：

注：法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德（A.M.Legendre1725～1833）最早專門研究過(guò)在球坐標(biāo)系中求解數(shù)學(xué)物理方程問(wèn)題時(shí)所碰到一類特殊函數(shù)．因?yàn)檫@類函數(shù)含有多項(xiàng)式形式，所以命名這類函數(shù)為勒讓德函數(shù).綜合可得以下結(jié)論：（1）當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，勒讓德方程在區(qū)間上無(wú)有界解．

（2）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，勒讓德方程通解為，其中稱為第一類勒讓德函數(shù)（即勒讓德多項(xiàng)式），稱為第二類勒讓德函數(shù).為整數(shù)，且要求在自然邊界條件下(即要求在有界解情況下)求解，則勒讓德方程解只有第一

類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式．因?yàn)榈诙惱兆尩潞瘮?shù)在閉區(qū)間上是無(wú)界．則稱u(x,r)為勒讓德多項(xiàng)式生成函數(shù)（母函數(shù)）叫作勒讓德多項(xiàng)式生成函數(shù)（或母函數(shù)）

10.5勒讓德多項(xiàng)式生成函數(shù)（母函數(shù)）

如圖10.2所表示，設(shè)在一個(gè)單位球北極放置一帶電量為正電荷，則在球內(nèi)任一點(diǎn)（其球坐標(biāo)識(shí)作）靜電勢(shì)為

（10.5.1）

靜電勢(shì)遵從拉普拉斯方程，且以球坐標(biāo)系極軸為對(duì)稱軸，

所以，應(yīng)含有軸對(duì)稱情況下拉普拉斯方程普通解形式，即

（10.5.2）

首先不妨研究單位球內(nèi)靜電勢(shì)分布．在球心，電勢(shì)應(yīng)該是有限，故必須取

（10.5.3）

為確定系數(shù)，在上式中令，并注意到則得到

（10.5.4）

將上式左邊在鄰領(lǐng)域上展為泰勒級(jí)數(shù)

（10.5.5）

比較（10.5.4）和（10.5.5）即知

于是（10.5.3）成為

(10.5.6)若考慮單位球內(nèi)、球外靜電勢(shì)分布，則有

（10.5.7）

于（19.3.6）中代入，即為

（10.5.8）

所以或叫作勒讓德多項(xiàng)式生成函數(shù)（或母函數(shù)）

10.

6函數(shù)展開(kāi)成勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)

1勒讓德多項(xiàng)式正交性稱為勒讓德多項(xiàng)式模值。是一個(gè)正交函數(shù)系.

10.6函數(shù)展開(kāi)成勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開(kāi)定理

設(shè)f(x)為[-1,1]上含有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)及分段連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且f(－1)＝－1,

f(1

)＝1，則f(x

)可展開(kāi)成上式稱為f(x

)傅立葉－勒讓德級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱F－L級(jí)數(shù)。其中10.

6函數(shù)展開(kāi)成勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)10.

6函數(shù)展開(kāi)成勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)例1

將函數(shù)f(x

)＝|x|在區(qū)間（－1，1）內(nèi)展成勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)。解因f(x

)在區(qū)間（－1，1）內(nèi)是偶函數(shù)，而是x奇函數(shù)，故下面計(jì)算從而10.

6函數(shù)展開(kāi)成勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)例2求證勒讓德多項(xiàng)式遞推公式已知時(shí)，重復(fù)利用上式能夠推出任意階當(dāng)勒讓德多項(xiàng)式表示式。10.

6函數(shù)展開(kāi)成勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)軸對(duì)稱拉普拉斯方程求解勒讓德多項(xiàng)式應(yīng)用例3

球形域內(nèi)電位分布在半徑為1球內(nèi)求調(diào)和函數(shù)u，使其在球面上滿足解：在球面坐標(biāo)系因?yàn)檫吔鐥l件不依賴于，所以u(píng)也不依賴于所提問(wèn)題可化為以下邊值問(wèn)題代入方程得化簡(jiǎn)并引入?yún)?shù)分解得到兩個(gè)常微分方程用分離變量法求解，令在第二個(gè)方程中，令則有勒讓德方程

為確保