2023屆黑龍江省齊齊哈爾部分學校高三上學期10月月考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆黑龍江省齊齊哈爾部分學校高三上學期10月月考數(shù)學試題一、單選題1．全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式確定集合，然后由集合的運算法則計算．【詳解】，，∴.∵，∴.故選：D．2．已知復數(shù)，，則（

）A． B． C．7 D．5【答案】A【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的概念和復數(shù)的除法運算可得，再利用模長公式即可得解.【詳解】∵，∴，∴.故選：A3．命題“，”是命題“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結合不等式的性質(zhì)分析判斷.【詳解】若，，則，，∴.若，則，，或，.當，時，，.所以命題“，”是命題“”的充分不必要條件.故選：A.4．以下是100g大米和100g小麥面粉的營養(yǎng)成分表.下列結論最符合實際的是（

）營養(yǎng)成分能量（）水分（）蛋白質(zhì)（）脂肪（）碳水化合物（）膳食纖維（）鉀（）鈣（）VB1（）VB2（）大米34613.37.90.977.20.611280.150.04小麥面粉35911.212.41.774.10.81851350.20.06A．大米營養(yǎng)略高于小麥面粉營養(yǎng) B．小麥面粉營養(yǎng)略高于大米營養(yǎng)C．大米與小麥面粉的營養(yǎng)一致 D．大米與小麥面粉的營養(yǎng)無法比較【答案】B【分析】數(shù)據(jù)分析，得到小麥面粉只有水分與碳水化合物兩項指標略低于大米，其余8項指標均比大米高，從而得到小麥面粉營養(yǎng)略高于大米營養(yǎng).【詳解】由統(tǒng)計表得，100g大米和100g小麥面粉中，小麥面粉只有水分與碳水化合物兩項指標略低于大米，其余8項指標均比大米高，所以小麥面粉營養(yǎng)略高于大米營養(yǎng).故選：B5．已知角頂點在原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊在直線上，則（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡變形，從而可求出結果.【詳解】因為角頂點在原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊在直線上，所以，所以.故選：C6．已知，，是三個不同的平面，l，m是兩條不同的直線.在下列條件中，能推出的是（

）A．， B．，C．，，， D．，，【答案】D【分析】ABC可舉出反例，D選項可利用反證法得到.【詳解】如圖1，滿足，，此時與相交，即A錯誤；如圖2，當與相交時，設交線為n，只要l不在內(nèi)又不在內(nèi)，若，就有，，所以B錯誤；如圖3，當與相交時，設交線為n，若l，m都是內(nèi)與n平行的直線，則，，所以C錯誤；若，，如果與相交，那么與所成銳二面角或直二面角與l，m所成角相等，這與矛盾，所以D正確.故選：D7．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成角的形式，化簡可求得，則，從而可得，再求出的范圍，然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結果.【詳解】∵在中，，∴，∵∴.∵，∴，即.∴.根據(jù)條件得，∴.∴即.故選：A8．四棱錐S-ABCD所有棱長都為，底面ABCD是正方形，以點S為球心的球S與底面只有一個公共點，球S被該四棱錐所有面截得的弧長之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，分析可得SO就是球S的半徑，且球S被每個側面截得的弧長為，求和即可.【詳解】設正方形ABCD的中心為O，由于四棱錐S-ABCD所有棱長都相等，所以SO⊥底面ABCD.∵，∴AO=3，∵，∴SO=3.∵球S與底面只有一個公共點，∴SO就是球S的半徑，長為3.四個側面均為等邊三角形，且四個側面所在平面都經(jīng)過球心S，故截面圓半徑為3，且所截的弧所對圓心角為，故球S被每個側面截得的弧長為，所以球S被該四棱錐所有面截得的弧長之和為.故選：B二、多選題9．函數(shù)的部分圖象如圖，當時，關于x的方程有四個不同的根，這四個根由小到大分別是，，，，則（

）A．B．，，，成等差數(shù)列C．，，，成等差數(shù)列D．的取值范圍是【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，由有四個不同的根，結合函數(shù)圖象的對稱性可得，，，然后逐個分析判斷即可.【詳解】由于的函數(shù)圖象過點，∴，，∴，得，∵，即，得，∵，∴，∴.有四個不同的根如圖所示，根據(jù)對稱性得，，，∴，∴.當，，，時，，，，不成等差數(shù)列.由于，∴，，，是以m為首項，m為公差的等差數(shù)列.的取值范圍是.故B錯誤，ACD正確.故選：ACD10．函數(shù)滿足，，（a，b不同時為），當時，.若在集合或上是偶函數(shù)，數(shù)列滿足，，，，則（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．C．不等式的解集為D．【答案】BC【分析】由賦值法求得，確定函數(shù)的單調(diào)性，對稱性，由函數(shù)性質(zhì)得出數(shù)列的遞推公式，由遞推公式確定數(shù)列的周期性，然后可求值，解不等式．【詳解】∵，，，當時，，∴當時，，∴.，，，，∴，∴，.∴當時，，，，∴，即在區(qū)間上單調(diào)遞增.∵在集合或上是偶函數(shù)，曲線在上關于直線對稱，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，，∴，或.若，則，∴，∴，由對稱性和單調(diào)性得不等式的解集為.，，∴，，∴.若，則，不合題意，舍去．所以AD錯誤，BC正確.故選：BC．【點睛】本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性，數(shù)列的周期性，以及利用單調(diào)性與奇偶性解函數(shù)不等式．對學生的邏輯思維能力，運算求解能力要求較高，屬于困難題．對抽象函數(shù)，可用賦值法確定特殊的函數(shù)值，結合定義利用賦值法證明函數(shù)奇偶性與單調(diào)性．11．已知平面向量，，滿足，，，則（

）A．點C軌跡是圓 B．的最大值是3C．的最小值是1 D．的取值范圍是【答案】BD【分析】先假設點A，B固定，即與夾角是定值，設點A關于O的對稱點為，根據(jù)得到，即點C的軌跡是一個點或以為圓心，以為半徑的圓；若點A，B不固定，即與夾角不是定值，可判斷A錯誤；結合，的幾何意義，數(shù)形結合得到，B正確；C選項可舉出反例；D選項，求出，得到，求出當時，取得最大值為5，當時，取得最小值0，得到的取值范圍.【詳解】先假設點A，B固定，即與夾角是定值.設點A關于O的對稱點為，由得，，當時，，此時點C的軌跡是一個點，當時，點C的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓.若點A，B不固定，即與夾角不是定值，此時點C的軌跡也在變動，故A錯誤；∵，，∴點A，點B在以O為圓心，分別以1，2為半徑的圓上，.∴B正確；當點A，B固定且時，，∵在以O為圓心，以1為半徑的圓上，而點C的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，∴點A在點C的軌跡上，即.∴C錯誤.由于的最大值為，最小值為.∵，，根據(jù)假設，.∵，∴，.如果點A，B不固定，則是變量，且，∴當時，取得最大值為5，當時，取得最小值為0.所以D正確.故選：BD【點睛】向量相關的壓軸題，通常要數(shù)形結合進行求解，結合向量的線性運算和數(shù)量積運算進行求解，本題關鍵在于要先假設點A，B固定，即與夾角是定值，設點A關于O的對稱點為，根據(jù)得到，即點C的軌跡是一個點或以為圓心，以為半徑的圓，再討論四個選項的正誤.12．已知函數(shù)的定義域是，是的導數(shù)，若，，則下列結論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞減 B．的最大值為eC．的最小值為 D．存在正數(shù)，使得【答案】AC【分析】構造，得到，從而得到，結合，得到，求導得到，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，最值情況，判斷出ABC選項；解不等式得到解集為，故D錯誤.【詳解】由得，設，則.設c為常數(shù)，則，∴，∴.∵，∴，∴c=0，所以，∴.當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增.∵，∴在時取得極小值，也是最小值，無最大值.∴A正確，B錯誤，C正確，由得，∴.當時，，，.當時，.當時，，，.因此不等式即的解集是.所以D錯誤.故選：AC【點睛】當條件中出現(xiàn)類似的條件時，通常要構造函數(shù)來解決問題，本題中的難點是利用來構造，從而結合求出.三、填空題13．已知向量，的夾角為，，，，則___________.【答案】【分析】利用數(shù)量積的分配率，以及數(shù)量積的定義可轉化為，代入模長求解即可.【詳解】∵，∴，∴.∵，，∴，解得（已舍），∵，∴.故答案為：14．把一相鄰三邊長分別為2，4，6的長方體削成一個圓錐（圓錐的底面在長方體的底面上），則這個圓錐體積的最大值為___________.【答案】【分析】長方形中最大圓的直徑是這個長方形較短的邊長，根據(jù)圓錐底面在長方體不同的面上，求出體積比較可得．【詳解】長方形中最大圓的直徑是這個長方形較短的邊長.所以如果底面在邊長為2，4的長方形內(nèi)，則圓錐的體積為.如果底面在邊長為2，6的長方形內(nèi)，則圓錐的體積為.如果底面在邊長為4，6的長方形內(nèi)，則圓錐的體積為.故答案為：．15．已知函數(shù)，則方程不同解的個數(shù)是___________.【答案】5【分析】利用導數(shù)分類討論當、時函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極大值，解題意中的方程可得或，結合函數(shù)零點與方程的根之間的關系即可求解.【詳解】當時，，，單調(diào)遞增.當時，，，若，則，單調(diào)遞增，若，，單調(diào)遞減，又，∴在x=-1時取得極大值.由方程，得，解得或.由于，時，，時，，所以直線與直線與曲線分別有兩個交點和三個交點，即方程有兩個根，有三個根.所以原方程共有5個根.故答案為：5.16．在中，，，E為線段AC上一點（不與A，C重合），D為BE延長線上一點，AD=2，CD=1，則面積的最大值是___________.【答案】【分析】在中，由余弦定理得到，故，再利用三角形面積公式得到，又由得到，構造，利用導數(shù)可求得，從而可求得的最大值.【詳解】設，，，則，在中，由余弦定理得，.所以，所以的面積，根據(jù)條件得，故，解得，故，令，則，，構造函數(shù)，則，由得，，因為，所以舍去.令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，故當時，取得最大值，且最大值為.故答案為：..【點睛】本題解題的關鍵在于由余弦定理得到，再由三角形面積公式化得，構造函數(shù)利用導數(shù)求最大值，是跨章節(jié)的綜合題。四、解答題17．已知，是不共線向量，正項數(shù)列滿足，，向量與向量共線.(1)求的通項公式；(2)若，設，是數(shù)列的前n項和，求證.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由向量與向量共線，得，化簡后可得是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而可求出的通項公式；（2）由（1）可得，再利用裂項相消求和法可求得，從而可證得結論.【詳解】(1)∵向量，不共線，向量與向量共線，∴，即，∵，∴.∴是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴.(2)∵，∴.∴，∵∴.18．已知函數(shù).(1)求的最小正周期T和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD=2，銳角A滿足，求四邊形ABCD面積S的取值范圍.【答案】(1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換公式對函數(shù)化簡變形得，從而可求出最小正周期，再由求出其單調(diào)區(qū)間，（2）由，求得，再由圓的性質(zhì)可得，設AB=a，AD=b，BC=c，CD=d，分別在和中利用余弦定理結合基本不等式可得，，從而可求出四邊形ABCD面積S的取值范圍.【詳解】(1)，∴∴.由，得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)由于，根據(jù)（1）得，∵，∴，.分別設AB=a，AD=b，BC=c，CD=d.因BD=2，分別在和中由余弦定理得，，∴，.∵，，等號在a=b=2，時成立，∴，，解得，.∴.等號在a=b=2，時成立，∵，所以S的取值范圍是.19．某餐飲店餃子有水餃、蒸餃，面有帶湯面條、帶湯面塊、干拌面條、干拌面塊．其中蒸餃、干拌面條、干拌面塊是不把食物與湯混在一起盛的，稱為不帶湯食物，其余的都是把食物與湯混在一起的．(1)甲、乙、丙、丁四人各隨機在上述食品中選一種就餐．記事件A＝“恰有2人選擇面”，事件B＝“甲選擇不帶湯食物”，求；(2)若三名顧客在上述食物中各隨機選一種就餐，其中選擇餃子的人數(shù)是，求的分布列與數(shù)學期望．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）分別求解和，然后根據(jù)條件概率公式得出結果．其中的求解需要分甲選擇蒸餃和甲選擇干拌面條或干拌面塊兩種情況考慮；（2）由于有三名顧客就餐，所以分別求解的情況下的概率，列出分布列，利用期望公式求出期望．【詳解】(1)甲選擇不帶湯食物，這四人的選擇方法總數(shù)為，∴．若甲選擇蒸餃，則四人中恰有二人選擇面的方法總數(shù)為．若甲選擇干拌面條或干拌面塊，則四人中恰有二人選擇面的方法總數(shù)為．∴．所以．(2)由題意得所有可能取值為0，1，2，3．，，，．∴的分布列為0123P∴．20．如圖，三棱錐P-ABC所有棱長都等，PO⊥平面ABC，垂足為O．點，分別在平面PAC，平面PAB內(nèi)，線段，都經(jīng)過線段PO的中點D．(1)證明：平面ABC；(2)求直線AP與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先得到，根據(jù)平面幾何的知識得到O是的重心，從而求得；作求得，進而得到，從而證得結論；（2）先求出平面的法向量，再根據(jù)線法角的計算公式計算即可．【詳解】(1)解：連接，延長交AB于點，連接，延長交AC于點，分別連接，，．是平面與平面的交線，，，∵三棱錐P-ABC所有棱長都相等，∴O為正△ABC的重心，且，分別是AB，AC中點．∴．作交于點E，則．∵D是PO中點，∴．∴．同理，．∴．∵平面ABC，平面ABC，∴平面ABC．(2)解：根據(jù)條件得，，PO⊥AC．分別以過O平行于CA的直線為x軸，以直線OB為y軸，以直線OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．設，則，，，．是的中點，，由（1）知，即,設，則，易得：，同理得：．∴，，．設是平面的一個法向量，則，，∴，，∴，不妨取，解得：，．．所以直線AP與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題（1）中的解題關鍵是判斷，看似簡單其實不易，另外用相似去求得也不容易想到，這種用幾何法去證明線面平行，需要較強的平面幾何知識，并且對空間中點、線、面的位置關系要有比較好的把握；（2）的難點在于點的坐標計算，計算一條線上的點的坐標，要想到用向量去處理．21．已知直線與橢圓交于點A，B，與x軸交于點C，與y軸交于點D.當直線l經(jīng)過橢圓E的左頂點時，橢圓E兩焦點到直線l的距離之比為.(1)求橢圓E的離心率；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）得到經(jīng)過橢圓E的左頂點時，直線方程為，利用點到直線距離列出方程，求出3c=2a，進而計算出離心率；（2）根據(jù)3c=2a得到，直線l的方程為，設出橢圓E的方程為，聯(lián)立后得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)求出n=1，從而計算出.【詳解】(1)當直線